1、DSZ12016 年普陀区高考数学二模试卷含答案2016.04一 填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分；1.、若集合 ， ，则 _RxyxA,1| RxB,1| BA2.、若函数 的反函数为 ，则不等式 的解集为_f)(0)(f2)(1f3、 （理）若 且 是第二象限角，则 _53sin42cot（文）若 且 是第二象限角，则 _itan4.、若函数 是定义在 R 上的奇函数，且满足 ，则)(xf )(2(xfxf_2016(f5.、在 的展开式中，其常数项的值为_83x6、若函数 ， ，则函数 的单
2、调递增区间为_f2sin)(6)(xfg)(xg7、 （理）设 是曲线 （ 为参数）上的一动点， 为坐标原点， 为线段Ptansecyx OM的中点，则点 的轨迹的普通方程为_OM（文）设 是曲线 上的一动点， 为坐标原点， 为线段 的中点，则点12x P的轨迹方程为_8、 （理）在极坐标系中， 为极点，若 ， ，则 的面积为_O6,A32,BAOB（文）不等式组 所表示的区域的面积为_023yx9、 （理）袋中装有 只大小相同的球，编号分别为 ，现从该袋中随机地取出 只，55,4323DSZ2被取出的球中最大的号码为 ，则 _E（文）袋中装有 只大小相同的球，编号分别为 ，若从该袋中随机地取
3、出 只，55,43213则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_（结果用最简分数表示）10、若函数 （ ） ，则方程 的解 _xf5log)(01)()(xff x11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为 3，高为 ） ，共做了 20 颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_cm10c（损耗忽略不计）212.、如图所示，三个边长为 的等边三角形有一条边在同一直线上，2边 上有 10 个不同的点 ，记 （3CB101,P iiAPBM2） ，则 _10,2i 2M13、设函数 ，记 ，若函数 有且仅有两个零0),1()xfaxf xfxg)()(xg点，则
4、实数 的取值范围是_14.、已知 ，从集合 中选出 （ , ）个数 ，使*Nnn,32, kN2kkjj,21之同时满足下面两个条件： ； jjk21 （ ） ，则称数组 为从 个元素中选出 个元素mjii1,ki kj,21nk且限距为 的组合，其组合数记为 . 例如根据集合 可得 .给定集合mknC, 3,31,2C，可得 _7,6543,22,37二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15、若 、 表示两条直线， 表示平面，下列命题中的真命题为（ ）ab（A）若 ， ，
5、则 （B）若 ， ，则/b/ab（C）若 ， ，则 （D）若 ， ，则a/a/16、过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，且这两点的横坐标xy82AB之和为 ，则满足条件的直线（ ）9DSZ3（A）有且只有一条 （B）有两条 （C）有无穷多条 （D）必不存在17、若 ，则“ ”是“ ”成立的( )条件z1Im,Rez|z（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分又非必要18、对于正实数 ，记 是满足下列条件的函数 构成的集合：对于任意的实数M)(xf且 ，都有 成立.下列结论中正Rx21,21x121212 xfx确的是（ ）（A）若 ，则21)(,)(gf2
6、1)(Mgf（B）若 且 ，则21,Mxxf 0x21)(xf（C）若 ，则21)(,)(gf 21)(gf（D）若 且 ，则21xx2121)(Mxf三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、 （本题满分 12 分）（文）在正四棱柱 中，底面边长为 ，体积为 ，1DCBA12为 的中点；证明： 与 是异面直线，并求出它们所成EABE1的角的大小（结果用反三角函数值表示）（理）在正四棱柱 中，底面边长为 ， 与1CBA1BC底面 所成的角的大小为 ，如果平面 与底面ABCD2arctnD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大
7、小（结果用反三角函数值）DSZ420、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.（理）已知函数 xxfcos3sin)(（文）已知函数 f 2i（1）若 ，求函数 的值域；20x)(xf（2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且 ，ABCCBA, cba,A23)(f， ，求 的值；b3c)os(DSZ521、 （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分，某企业参加 项目生产的工人为 人，平均每人每年创造利润 万元.根据现实的需要，A010从 项目中调出 人参与 项目的售后服务
8、工作，每人每年可以创造利润 万xB 503xa元（ ） ， 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高 ；0a %2.0x（1）若要保证 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 名工人创造的年总利润，A1则最多调出多少人参加 项目从事售后服务工作？B（2）在（1）的条件下，当从 项目调出的人数不能超过总人数的 时，才能使得40项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 的a取值范围；DSZ622、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分. 第 3小题满分 6 分.已知椭圆 ： 的中心为 ，一个方向向量为 的直线
9、与 只有一个1452yxO),1(kdl公共点 ；M（1）若 且点 在第二象限，求点 的坐标；kM（2）若经过 的直线 与 垂直，求证：点 到直线 的距离 ；O1l 1l25d（3）若点 、 在椭圆上，记直线 的斜率为 ，且 为直线 的一个法向量，且NPONkOP，求 的值；541k2DSZ723、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且 ， （ ） ；nanS1a1nnaS*N（1）求证：数列 是等差数列；（2）设数列 满足： ，且 ，求nb12nan384lim121n
10、kk bb正整数 的值；k（3）若 、 均为正整数，且 ， ，在数列 中，mkc， ，求 ；1c1kkamcc21DSZ82015 学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1. 2. 3.【理科】 【文科】 4. 5. 123，2706. ， 7. .281,5kzk1482yx8.【理科】 .【文科】 9.【理科】 【文科】 10 . 11. . 16954912. 8013 14. 2a10二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个
11、正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.题号 15 16 17 18答案 C B B C三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分 12 分）【文科】 【解】根据已知条件, 为正四棱柱 的高C1 1DCBA底面四边形 是正方形，且面积为 ,1AB故由 ，可得 .2 分shV22DSZ9假设 与 不是异面直线，则它们在同一平面内EA1BC由于点 、 、 在平面 内，则点 也在平1AB1C面 内，这是不可能的，故 与 是异面直线.5 分1 E取 的中点为 ，连接
12、, ,所以 , 或其补角，即为异面直线BAE11/1EB与 所成的角.7 分1C在 ， , , ,9 分1527B51EC由余弦定理得， ,即8521754cos1085arcos1EBC所以异面直线 与 所成的角的大小为 .12 分EA1BC85arcos【理科】 【解】根据题意，可得 底面 ，1ABCD所以 是 在平面 上的射影，故 即为直线 与B1 1B1底面 所成的角，即 .2 分ACD12arctn在 中， 3 分 RT11BC以 为坐标原点，以射线 所在的直线分别为 轴，,DAzyx,建立空间直角坐标系，如图所示：由于 平面 ，故 是平面的一个法向量，且 5 分D1ABC1 1D2
13、,0, , ,故 , 7 分0B2012,1BC设 是平面 的一个法向量,zyxn所以 ,即 ,01BC02zxy不妨取 ,则 ,即 9 分zy1,nDSZ10设平面 与底面 所成的二面角为 ,则 1CBDA,5210cos1n即 11 分5ars所以平面 与底面 所成的二面角大小为 .12 分1CBDA5arcos20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.20.【解】 （1） xxf cos3sin)( xxcos3sin2 分2co32sinx 23i由 得， ， 4 分034x 1sinx，所以函数 的值域为 6 分2132si
14、nx )(f 23,0（2）由 得，3si)(Af 32sinA又由 得， ，只有 ，故 .82043A分在 中，由余弦定理得，ABCbcaos22,73cos294故 10 分7a由正弦定理得， ，所以 BbAasini721siniaAb由于 ，所以 12 分ab72cosDSZ1114 分BABAsincoscos 14752372121.（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分，【解】 （1）根据题意可得， 3 分%2.010xx10展开并整理得， 5 分52解得 ，最多调出的人数为 人6 分50x（2） ，解得 7 分%4140x
15、，对于任意的 恒成立92.105310xxa 40,x分即 %21010532 xxa即 对于任意的 恒成立10 分24,当 时，不等式显然成立；0x当 时， 11 分40 12501025xxa令函数 ，可知函数 在区间 上是单调递减函f)()(f40,数12 分故 ，故 13 分10254)(minfxf 1.50x故 ，所以实数 的取值范围是 14 分.50aaa22.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分. 第 3小题满分 6 分.DSZ12【解】 （1）设直线 ： ，根据题意可得：1 分lmxy，消去 并整理得 2 分452yx
16、m04510922bx，解得 ，因为 在第二象限，故451022b92mM， 3 分3代入得 ，解得 ，进而 ，故 .4 分292x3x4y34,5（2）根据题意可得，直线 ： 5 分1l0ky设直线 ： （ ） ，则 5 分lmkxy1452yxmk消去 得 6 分0105422，解得 ，4102 kk 02mk即 7 分m且 ， ，故 8 分452kx452kmy 45,22kM点 到直线 的距离M1l 22211kmkd2254k 当 时， ；9 分0k 当 时， ，当且仅当 时等号成立.d259452k45k综上可得，点 到直线 距离 .10 分M1ld（3）根据条件可得直线 的斜率
17、，11 分OPk2由于 ，则直线 的斜率的 12 分541kN541DSZ13于是直线 的方程为 ，由 ，可得 13 分ONkxy54kxy5412 2245kx设点 ，则 14 分),(1yxP 221212 66yx同理 15 分2ON22450k16 分22P21621945362k23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.【解】 （1）当 时， ， ，故 ；1 分n21aS12a当 时，21nann变形得 ，由于 ，所以 2 分n 01所以 ， ， ，于是 ， .3 分12n2*Nan*N由于 ，所以数列 是以 1 首项，1 为公差的等差数列.4 分nana（2）由（1）得 ，所以 5 分n12nanbnn214)1(2，且 ，当 时， 7 分521nb8211nb故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.8 分1n4于是 ，即 9 分121limnkkn bb 1k384912kb，故 ，解得 .10 分kkkb251432 925k2kDSZ14（3）则由（1）得 ， ， 12 分ka11kamc121cckk14 分kmkk Cmc2)()1 16 分c21mC131Cm20 故 .18 分cc21
