1、- 1 -山东省桓台第二中学 2018 届高三数学 4 月月考试题 理本试卷，分第卷和第卷两部分共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟 第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 iia2，则 aA 5 B 5 C 5i D 5i2已知集合 2|0x， |xa,若 AB，则实数 a的取值范围是A 1， B 1， C 1， D 1，3已知等比数列 na满足 4， 264，则 2A 2 B 1 CD 84直线 3ykx与圆22()(3)4y相交于 ,MN两点，若 23，则 k的取值范围是A,0
2、B,3C ,3 D,035下列四个结论 中错误的个数是若 0.40.433,log5,l0.4abc，则 abc“命题 p和命题 q都是假命题”是“命题 pq是假命题”的充分不必要条件若平面 内存在一条直线 a垂直于平面 内无数条直线，则平面 与平面 垂直已知数据 12, nx的方差为 3，若数据 12,1,0,Rnaxaxa 的方差为 ,则 a的值为A 0 B 1 C D 36某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 8(4) B 8() C 1 D 167已知向量与 AC的夹角为 20，且 1AB， - 2 -2AC，若 PABC，且 PB，则实数 的值为A 45 B 45 C D
3、 28某程序框图如右图所示，运行该程序输出的 k值是A 4 B 5 C 6 D 79若直线 )2(xky上存在点 ,xy满足01y，则实数k的取值范围是A 41, B 51, C ， 51 D 51,410已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足2()()fxfx当 (,0)时，()2fx；若 24m，则实数 m的取值范围是A 1， B ， C 1,) D ,)第卷(共 100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11在区间 0,1上随机选取两个数 x和 y，则满足 20xy的概率为 12观察下列各式： 3=， 32+， 31+=6， 3321+4=1，由此推
4、得：31+2n13 6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 人，则不同的站法种数为 14已知 lg2xf，若 0fafb，则 4ab的最小值是 15设双曲线 21(0,)yab-=的右焦点是 F，左、右顶点分别是 12,A，过 F做x轴的垂线交双曲线于 ,BC两点，若 12AC，则双曲线的离心率为 - 3 -三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16 （本小题满分 12 分）如图，在 ABC中， M是边 的中点， 57cos14BAM , 3tan2AC（）求角 的大小；（）若角 6， 边上的中线 的长为21，求 ABC的面积17 （本小题满分 12 分）如图，已知三棱锥 O的三条侧棱 O
5、A， B， C两两垂直，为等边三角形， M为 C内部一点，点 P在 M的延长线上，且 P（）证明： BA；（）证明： ；（）若 :5:61O，求二面角 BOAP的余弦值18(本小题满分 12 分)在标有“甲”的袋中有 4个红球和 3个白球，这些球除颜色外完全相同（）若从袋中依次取出 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（）现从甲袋中取出个 2红球， 1个白球，装入标有“乙”的空袋若从甲袋中任取 2球，乙袋中任取 1球 ，记取出的红球的个数为 X，求 的分布列和 数学期望 EX19(本小题满分 12 分)已知数列 na和 b满足 123(N*)nba 若 na是各项为正数的
6、等比数列，且14， 326（）求 n与 ；（）设 1ncba，记数列 nc的前 项和为 nS求 nS；求正整数 k，使得对任意 N*，均有 kOABCP- 4 -20 （本小题满分 13 分）已知抛物线 2:4Cyx，点 M与抛物线 C的焦点 F关于原点对称，过点 M且斜率为 k的直线 l与抛物线 交于不同两点 B,A，线段 的中点为 P，直线 F与抛物线 C交于两点D,E（）判断是否存在实数 k使得四边形 ED为平行四边形若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由；（）求 2PMF的取值范围21 （本小题满分 14 分）已知 R，函数 lnxfe（ 2.718e 是自然对数的底数） （）若 1
7、0f，证明：曲线 yf没有经过点 2,03M的切线；（）若函数 x在其定义域上不单调，求 的取值范围；（）是否存在正整数 n，当 1,ne时，函数 fx的图象在 轴的上方，若存在，求 n的值；若不存在， 说明理由- 5 -参考答案1-5 BCABB 6-10 BCBBC11. 1412. 2n13.1414. 9215. 16. 解：（）由 57cos14BAM 得 2sin14 ， 所以 3ta5BA 2 分又 MC所以 tantatant()1nAMCBB32514 分又 0,B ， 所以 23B 6 分（）由（）知 ，且 6AC 所以， 6，则 ABC7 分设 Mx，则 2Ax在 B中由
8、余弦定理得 2 2cosBMBM，9 分即 271 - 6 -解得 3x 10 分故 214sin3ABCS 12 分17. 证明：（）因为 OA， B， C两两垂直，所以 22CA， 21 分又 B为等边三角形，所以 22 2 分故 OA 3 分（）取 B的中点 D，连接 O、 P 4 分因为 ， P，所以 ,ABD ，所以 A平面所以 AB 6 分（）如图建立空间坐标系因为 :5:61POC，可设 1OC,则 5,6APO 由（）同理可得 B 7 分因为 22A，所以 P 8 分所以 (0,)(1,0)(,)(0,1)OBC 设 (,)Pxyz （ 0,yz ）所以 2266AxBPyzz
9、所以 (1,) 10 分平面 OAB的法向量为 (0,1)C设平面 P的法向量为 0,nxyz 则 002xyznOPAxABCPMyzOD- 7 -取 01,z 则 02y 所以 (0,21)n11 分15cosOC12 分18. 解：（）记“第一次取到红球”为事件 A， “后两次均取到白球”为事件 B，则47PA， 432765B所以， “第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率” 1|5PA4 分（或 13265|CPBA） 4 分（） X的所有可能取值为 0,3 5 分2143(0)8121243436()+CP112243439() =82X1243()CP 9 分X的分布列为
10、： X0123P831910 分11502389EX12 分19. 解：（）解：由题意 123()nbaN ， 326b知 3264ba又由 ，得公比 4q（ ，舍去）所以数列 n的通项为 2*()n 3 分所以(1)2(1)123a- 8 -故数列 nb的通项为 *(1)nN 5 分（）由（）知 *1()(2nncnNba7 分所以 211311122nnn nS 9 分因为 12340,0cc；当 5时， 1()12nnc而 11()()(2)nnn得 5()n所以，当 5时， 0c；综上，对任意 *N恒有 4nS，故 4k 12 分20. 解：（）设直线 l的方程为 )(1xy，设 ()
11、(4321 ,D,xEy,B,xA联立方程组 xyk412)(，得 0422kxxk)(显然 0k，且 ，即 2，得 1且 得 2214kx-， 12x 4 分21kP， k)kyP212( 直线 F的方程为： 12x，- 9 -联立方程组 xyk412)(，得 0141222 )()(kxkxk ，得 243kx-， 143x 6 分若四边形 AEBD为平行四边形，当且仅当 221kx-432xk)(，即 012)(k，得 0,k，与 且 0矛盾 8 分故不存在实数 使得四边形 AEBD为平行四边形 9 分（）22 42222 131PFkkkM11 分由 1k且 0，得 21k；当 23，
12、 2PMF取得最小值 3；当 12k时， 2取 1；当 2k时， 2PMF取 1；所以 23,)FP 13 分21. 解证：（）因为 10f，所以 ，此时 lnfx，证法一：设曲线 yx在点 0,()Pfx处的切线经过点 2,03则曲线 f在点 0,f处的切线 0()yffx所以 02ln1l3xx化简得： 00l 2 分- 10 -令 2()1ln3hxx，则 23()1xh， 所以当 0,时， 0， 为减函数，当 2,3x时， ()hx， ()为增函数，所以 22()1lnl033h，所以 0021ln3xx无解所以曲线 yf的切线都不经过点 2,03M4 分证法二：设曲线 x在点 0,(
13、)Pfx处的切线经过点 ,0 s则曲线 yf在点 0,f处的切线 0()yffx所以 0ln1lxs化简得： 0sx 2 分令 ()lhx，则 ()1sxh，所以当 ,s时， x， 为减函数，当 x时， ()0， ()为增函数，所以 ()1lnlhss，要使 存在零点 0x，则须有 ，所以 ln0s，即 1，所以曲线 yf的切线都不经过点 2,3M4 分（）函数的定义域为 ,，因为 1lnxfe，所以 fx在定义域上不单调，等价于 有变号零点，5 分令 0f，得 1lnxe，令 1lnxge（ 0） 因为 lxg，令 lh， 210hx，- 11 -所以 hx是 0,上的减函数，又 10h，故
14、 是 hx的唯一零点，6 分当 ,1， ， gx， x递增；当 x， 0h， ， g递减；故当 时， x取得极大值且为最大值 1e，所以 1e，即 的取值范围是 ,e8 分（）证法一：函数 fx的图象在 轴的上方，即对任意 0x， ()f恒成立0fxln0x令 lnxF（ ） ，所以 2211x xeFe 9 分（1）当 n时， 2,，即 2当 0x时， 0x， Fx是减函数，所以 10Fxe；当 1时， 211e，令 xGe，则 20xG，所以 Gx是增函数，所以当 2时， 2e，即 0F所以 Fx在 ,上是增函数 ，所以 2ln1l2eFx，当 1,2时，取 1,2m，且使 21m，即 2
15、e，则 0Gee，因为 20，故 Gx存在唯一零点 1,2t，即 Fx有唯一的极值点且为最小值点 ,10 分所以 minlnte，又 01te，即 1te，- 12 -故 min1l,2Fxtt，设 1()ln,2rtt，因为 2()0rtt，所以 t是 ,上的减函数，所以 1lnt，即 min0Fx所以当 2,e时，对任意 ， f恒成立12 分（2）当 n时， 1n，因为 132ne，取 3e，则 32llxxeeF， 31lln20F，所以 0f不恒成立，综上所述，存在正整数 1n满足要求，即当 2,e时，函数 fx的图象在 轴的上方 14 分证法二： ()0fx恒成立，等价于 ln()x
16、Pe的最大值；当 ,1， lnxPe，所以 lx恒成立9 分当 ,x时， l()0x，1ln1l()xxPee，设 lnq， 21()0q，所以 ()x在 1,上是减函数，因为 ()lnq， 1(3)ln02q，所以 q有唯一零点 2,3t 10 分当 ,xt时， ()0x，即 ()0Px， ()是增函数，当 时， ，即 ， x是减函数，所以 maxln()tPe，且 1()ln0qtt，所以 1lntt- 13 -所以 max1()()ttPe 12 分设 ()tMt， 2,3所以 21()0tMte，所以 t在 ,上是减函数，所以 ()，即 32()2ee 13 分因为 1n使 0fx，所以 2e，只有 1n符合要求，综上所述，存在正整数 满足要求，即当 2,时，函数 fx的图象在 轴的上方 14 分
