1、- 1 -定远重点中学 2017-2018 学年第二学期期中考试高二（理科）数学试题注意事项：1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将第 I 卷（选择题）答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。第 I 卷（选择题 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。) 1.已知 f(x)= ,则 的值是（ ）A.- B.2 C. D.-22.可导函数 y=f（x）在一点的导数值为 0 是函数 y=f（x）在这点取极值的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.必要非充分条件 D.充要条件3.
2、若复数 是实数，则 x 的值为( )A. B.3 C. D.4.设 f（x）=xcosxsinx，则（ ）A.f（3）+f（2）0 B.f（3）+f（2）0 C.f（3）+f（2）=0 D.f（3）f（2）05.已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式 的解集为( )A.B.- 2 -C.D.6.已知 i 是虚数单位，若 z（1+i）=1+3i，则 z=（ ）A.2+ i B.2i C.1+ i D.1i7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D.8.已知 a 为实数,若复数 为纯虚数,则 的值为( )A.1 B.0 C. D.9.曲线 在点
3、处的切线的斜率为 2，则 的最2ln0,fxbxa1,f 8ab小值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 3210.“杨辉三角”又称“贾宪三角” ，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的详解九章算法一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A. B. C. D. 2016720158201572016811.设 为定义在 上的函数 的导函数，且 恒成立，则（
4、 fx*Rfxfxf- 3 -）A. B. C. D. 34ff34ff34ff12.函数 的示意图是（ ）21xyeA. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算： （ x）dx= 14.若 , ，且 为纯虚数，则实数 的值为 . 12zai34zi12za15.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片
5、上的数字是 。16.记 当 时，观察下列等式：123kkkSn, 123, ，1n，32216S，43n，5341120Sn- 4 -，6542512SAnnB可以推测， 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. (10 分) 已知复数 x2+x2+（x 23x+2）i（xR）是 420i 的共轭复数，求 x 的值18. (12 分) 已知函数 .321=5fx（）求 的单调区间；fx（）若曲线 与 有三个不同的交点，求实数 的取值范围.yf2yxmm19. (12 分) 已知函数 .(1)求函数 的单调区间；(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数的最小值 .20. (12 分) 已
6、知数列 ， ， ， ， 为该数列的前 项和（1）计算 ；（2）根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明21. (12 分) 设 y=f（x）是二次函数，方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且 f（x）=2x+2（1）求 y=f（x）的表达式；（2）求 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积- 5 -22. (12 分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为 元，推销费用为 元，预计当每包药品销售价为 元时，一年的市场销售量为613tx万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的 ，但为了鼓励20x 025药品研发，每包药品的售价又不
7、得低于生产成本的 02(1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价 的函数关系式，并指出其定义域；wxx(2) 当每包药品售价 为多少元时，年利润 最大，最大值为多少？x- 6 -参考答案1.A【解析】f(x)= ， = = = =故选 A2.C【解析】对于可导函数 f（x）=x 3 ， f（x）=3x 2 ， f（0）=0， 不能推出 f（x）在 x=0取极值，故导数为 0 时不一定取到极值，而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，此点处的导数一定为 0故应选 C3.A【解析】 ， 因为复数是实数，所以 。选 A.4.A【解析】f（x）=xcosxsinx，函数是奇函数 f（x）
8、=xsinx，x（，），f（x）0，函数是减函数如图：- 7 -f（3）+f（2）0 故选：A5.D【解析】导函数 ， 则函数单调递增，导函数 ， 则函数单调递减，而不等式 等价于 或 ， 结合图象可知不等式的解集为 .选 D。6.A【解析】由 z（1+i）=1+3i，得 ， 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案7.D【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是 8.C【解析】复数 为纯虚数，可得 a=1，故答案为：C.- 8 -9.B【解析】对函数求导可得， 根据导数的几何意义， ，2.fxab12fab即 b1.2a= =( ) )= +52 +5=4+5=9，当且仅当88ab(
9、28a8ab2即 时，取等号.所以 的最小值是 9.2 8ab13 4ab故选 B.10.B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为 1,第二行公差为 2,第三行公差为 4,第 2015 行公差为 ，2014故第 1 行的第一个数为： ，12第 2 行的第一个数为： ，03第 3 行的第一个数为： ，14第 行的第一个数为： (n+1)2n2，n2n表中最后一行仅有一个数，则这个数是 .015811.A【解析】 ，即 ，设 ，则0fxf0fxffxg，当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，2ffgxg0+，- 9 -， ，故选 A.4343,ffg43ff12.C【解析
10、】 ，2121xxyee令 y=0 得 x= ，当 x 时, y0，22 y= (2x1)在( , )上单调递减,在( ,+)上单调递增，e112当 x=0 时, y= (01)=1,函数图象与 y 轴交于点(0,1)；0令 y= (2x1)=0 得 x= , f(x)只有 1 个零点 x= ，e2当 x 时, y= (2x1)0，12e综上，函数图象为 C.故选 C.13.【解析】由定积分的几何意义知 dx 是由 y= 与直线 x=0，x=1 所围成的图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以 1 为半径的圆的面积的 ，故 dx= ，（x）dx= = ， （ x）dx= 故答案为： 14. 3
11、8- 10 -【解析】 为纯虚数122348463425aiiaizi 38046a8a15.1 和 3【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3；（1）若丙的卡片上写着 1 和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和3；（2）若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”；甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是 1 和 3，故甲 1 和 316. 4【解析】通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项
12、次数的倒数；列出方程求出 A，B 的值，进一步得到 A-B解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以 A= ，A+ + +B=11625解得 B=- ，所以 A-B= + = ，14故答案为：17.解：复数 420i 的共轭复数为 4+20i，x 2+x2+（x 23x+2）i=4+20i，根据复数相等的定义，得 ，- 11 -解得 x=318.() 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；() .,121,25m【解析】 () 2 分23fx令 ，解得 或 . 4 分01x当 时， ；当 时， 12x或 0f20fx 的单调递增区间为 ，单调递
13、减区间为 6 分f ,1,2（）令 ，即xm3215xxm 3215设 ，即考察函数 与 何时有三个公共点 8 分gxxygxy令 ，解得 或 .03当 时， 3x或 0gx当 时， 在 单调递增，在 单调递减 9 分gx,0,310 分10532根据图象可得 . 12 分5m19.(1) 当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;(2)2.【解析】(1) ，函数 的定义域为 .当 时， ，则 在 上单调递增，- 12 -当 时，令 ，则 或 (舍负)，当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，当 时，
14、 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(2)解法一：由 得 ， ，原命题等价于 在 上恒成立，令 ，则 ，令 ，则 在 上单调递增，由 ， ，存在唯一 ，使 ， .当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数， 时， ， ，又 ，则 ，由 ，所以 .故整数的最小值为 2.解法二： 得，令 ，- 13 - 时， ， 在 上单调递减， ，该情况不成立. 时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， ，恒成立 ，即 .令 ，显然 为单调递减函数.由 ，且 ， ，当 时，恒有 成立，故整数的最小值为 2.综合可得，整数的最小值为 2.20.(1) (2) ，证明见解析.【解析】（1） （2
15、）猜想 ，用数学归纳法证明如下：当 时， ，猜想成立； 假设当 时，猜想成立，即 ，- 14 -当 时，故当 时，猜想成立由可知，对于任意的 ， 都成立21.（1）解：f（x）=2x+2 设 f（x）=x 2+2x+c， 根据 f（x）=0 有两等根，得=44c=0 解得 c=1，即 f（x）=x 2+2x+1；（2）解：S= = 22.（1） （2）2601,5wxtx3max2347t【解析】 (1)由题意， 2601,5wxtx(2) 2 23030tt x 当 时， ， 在 上恒成立，即 为减函数，所1t31twx1,5wx以， 万元max2846wt当 时， ，当 时 ，23t,5t23tx0x当 时， ，即 在 上为增函数，在15x0w 231,t上为减函数，所以， 万元23,t3max2347tt
