1、- 1 -下学期高二数学 4 月月考试题 04一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 i为虚数单位，复数 1iz，则复数 z的共轭复数的虚部为A. 2 B. 2 C. 2 D. 12i2质量 m2 kg 的物体作直线运动，运动距离 s(单位： m)关于时间 t(单位：s)的函数是s(t)3 t21，且物体的动能 U 1mv2，则物体运动后第 3s 时的动能为A18 焦耳 B361 焦耳 C342 焦耳 D324 焦耳3在复平面内， O 是原点， A， ， 表示的复数分别为2i，32i，15i，那么 C表示的复数
2、为A28i B23i C44i D44 i4已知函数 y f(x)和 y g(x)的图象如图，则有A f (x) g(x) B g(x) f(x)C f (x) g(x) D g(x) f(x)5下列表述正确的是归纳推理是由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一种间接证明法；若 zC，且 21zi，则 2zi的最小值是 3A B C D6设 a， b， c都是正实数，则三个数 a b1， b c， c a1的值A都大于 2 B至少有一个不小于 2C都小于 2 D至少有一个不大于 27. 观察：5 2 124，7 21 48，11 21120
3、，13 21 168， 所得的结果都是 24 的倍数，由此推测可有A其中包含等式：15 21224 B一般式是：(2 n3) 214( n1)( n2) C其中包含等式 1012110 200 D24 的倍数加 1 必是某一质数的完全平方 8. 给出命题：若 a， b 是正常数，且 a b， x， y(0，)，则 ybxa x 2)(当且(第 4 题)- 2 -仅当 ybxa时等号成立 )根据上面命题，可以得到函数 f(x) 2 x19(x 210 ， )的最小值及取最小值时的 x 值分别为A116 2， 13 B25， 51 C116 ， 5 D25， 3 9设函数 ()sinco)(04)
4、xfex，则函数 ()fx各极小值点之和为A 80 B 8C 20 D 82010. 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有A 6种 B 8种 C 3种 D 4种11. 已知 (),fxg都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件： 为奇函数， ()x为偶函数； (1)0,f；当 x时，总有 ()()fxgfxgAA.则 (2)0fx的解集为A (1,2)3, B 1,0(,)C () D )312. 直线 l与函数 sin(,yx的图像相切于点 A，与 x轴交于点 B，且 lOP ，O为坐标原点， P为图像的最高点，过切点 作 轴的垂线，垂足为 C，则
5、A= A24B2C24D 2二填空题：（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分将答案填在题中横线上 ）13函数 21()ln(0)fxax存在单调递减区间，则 a 的取值范围是 14在数列 中， 11,nnf，且 ()fx满足下表，则 2013= .15. 在我校春季运动会上，有甲、乙、丙、丁四位同学进行 4100 接力赛跑，要求甲不能x1 2 3 4 5()f5 4 2 1 3第 10题- 3 -跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有 种接力赛跑方式。 （用数字作答）16将边长为 1 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯 形 的 周 长 )梯 形
6、 的 面 积，则 S的最小值是 三、解答题：（本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17(本小题满分 10 分) 设 13()ln,2fxaxaR，曲线 ()yfx在 1处的切线与直线 x0 垂直（1）求 a的值；（2）求函数 ()f的极值.18(本小题满分 12 分) 观察下列各等式(i 为虚数单位)：(cos 1isin 1)(cos 2isin 2)cos 3isin 3；(cos 3isin 3)(cos 5isin 5)cos 8isin 8；(cos 4isin 4)(cos 7isin 7)cos 11isin 11；(cos 6isin 6)
7、(cos 6isin 6)cos 12isin 12记 f(x)cos xisin x(1)猜 想 出 一 个 用 (),()fyf表 示 的 反 映 一 般 规 律 的 等 式 ， 并 证 明 其 正 确 性 ；(2)根据(1)的结论推出 f n(x)的表达式；(3)利用上述结论计算：207i1 3 125sin co 12si co .19. (本小题满分 12 分)已知函数 ()lnfxa（1）求 fx的单调区间；（2）设 2()g，若对 1(0,)x，均 20,1x，使得 12()fxg，求实数 a的取值范围.20(本小题满分 12 分) 若函数 ()ln()2afx在 ,e上有两个零
8、点.21(本小题满分 12 分) 已知函数 2()1xbf在点 (,1)f的切线方程为30xy- 4 -（1）求函数 ()fx的解析式；.（2）设 lng，求证： ()gxf在 1,)x上恒成立. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) xlog 2 3(1)计算 21(sfxd；（2）设 S(n) 3)nN)，用数学归纳法证明： S(n)- S= 132n.答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D C A D B C B A D A C二、填空题：13. 14. 5 15. 14 16. 三、解答题：17.解：(1) 213()afx因为 f(
9、x)在 x1 处的切线与直线 x=0 垂直，所以 0所以 a-1.4 分(2)函数 ()f的定义域为 (,)22 2131(3)1xxfx，令 ()0f得： 12,（舍去）当 ,x时， f (x)0， ()f在 0,1上是减函数；当 (时， f (x)0 ， 在 )上是增函数所以，函数 f(x)在 x =1 处有极小值 3.10 分(注：若没有舍去 21，而得函数 ()fx有极大值，扣去 3 分)18. 解：(1) f(x)f(y) f(x y)2 分证明： f(x)f(y)(cos xisin x)(cos yisin y)(cos xcos ysin xsin y)(sin xcos yc
10、os xsin y)icos( x y)isin( x y) f(x y).5 分(2) f(x)f(y) f(x y)，,0 32- 5 -)()()( nxffxfxfn nxsico.8 分(3)207i1 3 125is co 12is co 607in 607 in i 29is 6co2i.12 分19.解：（1）函数的定义域为 (0,)， 1(axfx当 0a时， )fx，所以 在 0,)上为增函数；当 时， 1(,()(fxfa是增函数；,)xx是减函数。综上所述：当 0时， ()fx在 0上为增函数；.当 a时， 增区间是 1(,)a，减区间是 1(,)a6 分（2）对 1(
11、,)x，均 2,x，要使 12fxg成立对于 0， 01时，需使得 maax()()恒成立由（1）知当 a时， ()fx在 ,上为增函数， 1f无最大值；当 时， 1ma()ln()ln()fa又 2()gxx在 20,单调递减，所以 2max02g所以 01ln()a ，则 3ae所以，实数 的取值范围是 31(,)12 分20. 解： 22()1)()xaafx3 分- 6 -当 12a时， 21()0)xaf对于 ,xe恒成立，即函数 ()fx在 0,e上为增函数，所以不合题意；.5 分当 12ae时，令 21()0)xaf，得 12xa，当 0x时， ()0fx，函数 (f为减函数，当
12、 时， ()0fx，函数()f为增函数，所以当 12a时，函数 )x（ (0,)取到最小值，所以要使函数 ()fx在 ,e上有两个零点，.则102()ln01()2()ln0afeefaa，解得 1ln2a9 分当 12e时， (fx对于 ,e恒成立，即函数 ()fx在 0,e上为减函数，所以不满足题意。11 分综上可知： a的取值范围是 1ln2,) 12 分21解：（1）当 x时，由 30xy得 2，又 ()2bf，即 4ba因为 2(1)()axxf ，所以 ()14bf，由得： 2,a.4 分（2）要证： ln1x在 ,)上恒成立只要证： 2()在 上恒成立- 7 -即证： 2ln20
13、xx在 1,)上恒成立设 ()lh，则 1(2ln2hxx因为 1,x，所以 n,x，即 ()l0x所以 2()l在 1,上是增函数，则 ()1h所以 gxf在 1,)x上恒成立12 分22.解： （1） 由定积分的性质得：2222221111()(log)logl(3)3sfddxxdxd2 分由于函数 xy 与 ）(y 在区间1，2上的图象关于直线 2对称，故根据定积分的几何意义知： 2 12 1d3logdlog)0，而 23d 1x，则 S .6 分（2）用数学归纳法证明： S(n)- S= n， 即证： 1132nn()当 1n时，左边= 223)34，右边= ，所以等式成立；假设 (,)kN等式成立，即 113kk()成立，那么当 1n时，左边=12113(2)(2)32kkk()1111()3()k kk k11113322kkkk.这就是说，当 n时，等式成立。根据可知，等式对任意的 nN都成立。12 分
