1、 1 2014 海文 考研 强化 班 讲义 2 高等数学 强化讲义 一 函数 极限 连续 1 函数 一 函数的基本概念 D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则 f ，使每一个 xD ，都有一个确定的实数 y 与之对应，则称这个对应规则 f 为定义在 D 上的一个函数关系，或称变量 y 是变量 x 的函数，记作 ( ), y f x x D. 二 函数的基本 性 态 1 奇偶性 (1) 定义：偶 )()( xfxf ；奇 )()( xfxf 。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇 . (3) 原函数：奇原偶 , 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数 , 其中 0, ( )() ()x fxf t d
2、t fx 偶 奇奇 , 偶 2 有界性 (1) 定义： 0M, xX ，有 Mxf )( . (2) 无界： 0M, xX ，有 ()f x M . (3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设 )(xf 在 ,ab 连续 , 则 )(xf 在 ,ab 有界 . 设 )(xf 在 (, )ab 连续 , 且 lim ( ), lim ( )x a x bf x f x 存在 , 则 )(xf 在 (, )ab 有界 . 3 周期性 (1) 定 义： )()( xfTxf 3 (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同
3、 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。 4 单调性 (1) 定义：递增 (递减 ) 当 12xx 时，均有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x或 (2) 导函数： ( ) ( )0 ( )f x f x 单增 (减 )； ( ) ( )0 ( )f x f x 单增 (减 ). 题型一 无界与无穷的判定 例 1 设 c o s( ) s i n , ( )xf x x e x f x 则 是 （ ） （ A） 偶函数 （ B）有界函数 （ C） 周期函数 （ D）单调函数 . 例 2 当 0x 时，变量xx 1sin12是（ ） （ A）无穷小 （ B
4、）无穷大 （ C）有界的，但不是无穷小量 （ D）无界的，但不是无穷大 题型二 函数性态的判定 例 3 设 ()fx是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是 ( ) （ A） 0( ) ( )x f t f t dt （ B） 0( ) ( )x f t f t dt （ C） ()fx （ D）根据上面条件无法判断 4 例 4 设函数 ()fx具有二阶导数，并满足 ( ) ( ),f x f x 且 ( ) ( 1).f x f x若(1) 0,f 则（ ） (A) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) .f f f (B) (5 ) ( 5 ) ( 5 ).f f f (C) ( 5 )
5、( 5 ) ( 5 ) .f f f (D) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) .f f f 练习： 设 ()fx在 ),( 内可导，且对任意 21,xx ，当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf ，则 ( ) （ A） 对任意 0)(, xfx （ B）对任意 0)(, xfx （ C）函数 )( xf 单调增加 （ D）函数 )( xf 单调增加 . 例 5 设函数2| | sin ( 2 )() ( 1)( 2 )xxfx x x x 在下列哪个区间内有界 ( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 三 各种其他的函数 1分段函数：函数关系要用
6、两个或多于两个的数学式子来表达 2 复合函数 ()x ： )(ufy 与 )(xu 复合而成的复合函数 ,u 为中间变量 . 3 反函数、隐函数 (1)原来的函数为 )(xfy ,若把 y 作为自变量， x 作为因变量，便得一个函数5 )(yx ，且 yyf )( ，称 )(yx 为 )(xfy 的反函数 . (2) 隐函数 : ( , ) 0F x y . 4 初等函数 (1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三 角，反三角 . (2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数 . 题型三 分段函数的复合 方法：各种情形分别讨论 . 例 6 设 0 , 0()1,
7、 0xfx x , 22 , 1()| | 2 , 1xxgx xx ， 试求 ( ), ( )f g x g f x. 2 极限 一 极限的概念 1 数列极限： axnn lim 对于 0 0N 当 Nn 时有 axn . 2 函数的极限 (1) 0xx (自变量趋向于有限值的情形 ) (a) Axfxx )(lim0 0 , ( )x x f x A 0 ， 0 ，当 |0 0xx 时， 有 |)(| Axf . (b) 0 1lim ( )xx f x A (左极限 ) 01, ( )x x f x A . 0 2lim ( )xx f x A (右极限 ) 02, ( )x x f x
8、 A . (c) Axfxx )(lim000lim ( ) lim ( )x x x xf x f x A . (2)x (自变量趋向于无穷大的情形 ) (a)lim ( )x f x A , ( )x f x A 0 ， 0M，当 |xM 时， 有 |)(| Axf . (b) 1lim ( )x f x A 1, ( )x f x A . 6 2lim ( )x f x A 2, ( )x f x A . (c) lim ( )x f x A lim ( ) lim ( )xxf x f x A . (3) 常见有 不同极限的函数：分段函数、 ,arctanxex 二 极限的性质 1 有
9、界性： axnn lim nx 有界； 0lim ( )xxf x a 00 , 0 | | , ( )x x f x 有界 2 有理运算性质： (1) 若0lim ( ) ,xxf x A , 0lim ( )xxg x B , 则 (a) 0lim ( ) ( )xx f x g x A B (b) 0lim ( ) ( )xx f x g x AB (c) 0()lim ( 0 )()xx f x A Bg x B . (2) 推广： 加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为 0，上述运算法则就成立 . (3) 延伸： 若0()lim ()xxfx Agx ，则 (
10、a) 00lim ( ) 0 lim ( ) 0 ;x x x xg x f x (b)00l im ( ) 0 , 0 l im g ( ) 0x x x xf x A x . 例 设 221lim 3sin 1xx ax bx ，求 a 和 b . 3 保号性：0lim ( ) ( ) 0 0 ,xx fx 当 00 | | ,xx 有 ( ) ( )0fx 三 极限的两个存在准则 (1)单调有界定理 : 若数列 nx 单调且有界 , 则 nx 有极限 . (2)夹逼准则 : 设在 0x 的领域内恒有 ( ) ( ) ( )x f x x, 且 00lim ( ) lim ( )x x x
11、 xx x A, 则0lim ( )xxf x A . 四 无穷小和无穷大 1 无穷大量 : 若0lim ( )xxfx , ()fx称为 0xx 的无穷大量 . 7 正无穷：0lim ( )xxfx ； 负无穷：0lim ( )xxfx . 2 无穷小量： 若0lim ( ) 0xxfx , 称 ()fx是 0xx 时的无穷小量。 (1) 设 ()fx、 ()gx 都是 0xx 时的无穷小量 , 若且 0limxxfx lgx ， (a) 0l ，称 xf 是比 xg 高阶的无穷小，记以 xgoxf , (b) 0l ，称 xf 与 xg 是同阶无穷小。 (c) 1l ，称 xf 与 xg
12、是等阶无穷小，记以 xgxf . (2)若 ( ), ( )f x g x 为无穷小 ,且 0lim 0kxx fx cgx ,称 ( ) ( )f x g x是 的 k 阶无穷小 . (3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小 ; 有限个无穷小的 和 (乘积 )仍然为无穷小 . (4) 等价无穷小的作用 : 若 , , 则 lim lim. (5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理 . 3 无穷小和无穷大关系 : 非零无穷小的倒数为无穷大 ; 无穷大的倒数为无穷小 . 题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论 核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形 例 1 设对 ,x 有 (
13、) ( ) ( )x f x g x 且 lim ( ) ( ) 0x g x x , 则 lim ( )x fx( ) A 存在且为 0 B 存在但不一定为 0 C 一定不存在 D 不一定存在 例 2 设数列 nx 与 ny 满足 lim 0nnn xy , 则下面断言正确的是 ( ) A 若 nx 发散，则 ny 必发散， B 若 nx 无界，则 ny 必有界 C 若 nx 有界， 则 ny 必为无穷小 D若 1nx为无穷小，则 ny 必为无穷小 8 例 3 设 , , nnna b c 均为非负数列 , 且 lim 0nn a ,lim 1nn b ， limnn c , 则 ( ) A
14、 ,nna b n B ,nnb c n C limnnn ac不存在 D limnnn bc不存在 例 4 设函 数 ()fx在 , 内单调有界 , nx 为数列 , 下面命题正确的是 ( ) A 若 nx 收敛，则 ( )nfx 必收敛 B 若 nx 单调，则 ( )nfx 必收敛 C 若 ( )nfx 收敛， 则 nx 收敛 D若 ( )nfx 单调， 则 nx 收敛 题型二 求函数的极限 步骤 1：四则运算和等价无穷小 注 1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形 . 注 2：常见的等价无穷小 当 0x 时， xxsin ， xxtan ， xxarcsin ， xx arctan ，
15、 221cos1 xx ， xex 1 ， xx 1lim ， axx a 11 当 x 时 , 110 n n nn n na x a x a a x . 例 5 求极限 110| sin |lim 21xx xxex e . 9 例 6 若 12 40 , 1 1 sinx a x x x 时与是等价无穷小，则 _ .a 例 7 0 ln (1 )lim _ _ _ _ _ _ _ _1 c o sx xxx . 例 8 求 4 6 810( 2 1 ) ( 1 ) 5 ( )l im ( 2 )x x x x x xI x 例 9 求 112 10lim ( )xxxI x e e 例
16、10 求 sin30limxxxeex 例 11 求 2 11l i m ( a r c t a n a r c t a n )1x x xx 例 12 设0ln (1 ( ) sin 5 )lim 121xxf x x , 求 0lim ( )x fx 10 步骤 2：恒等变形 (1). 含 ()()vxux 的极限 . (a)若直接计算 ()lim ( )vxux 且 ( ) 1ux , 直接利用公式 ()l i m ( ) e x p ( ( ( ) 1 ) ( ) )vxu x u x v x (b) 将 ()()vxux 写成 ()( ) e x p ( ( ) ln ( ) )vx
17、u x v x u x 求解 . 例 13 求 11 cos0arcsi nlim 3 xxx . 例 14 30 1 2 c o slim 13xxxx（ - ） (2) 有理化变形 333322 3,a b a ba b a bab a b ab 例 15 3 2 33li m ( 8 1)xI x x x (3) 分子、分母同时除以最大的无穷大 常见的无穷比较 : l n ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )xx x x x a a ， 例 16 求 224 1 1lim c o sxx x xxx 11 例 17 设 sin 2 2 c o s( ) lim nxnxx x e xfx
18、xe , 求0lim ( )x fx. 步骤 3：洛必达法则和导数定义 (1) 先进行步骤 1和 2，然后再用第 3步 , 符合洛必达法则用洛比达法则 ; (2) 若洛必达法则无法使用 , 则利用导数定义求解 , 此类问题一般为抽象型问题 . 例 18 求2220100coslim si nxxx t dtx 例 19 设函数 561 c o s 20 sin , 56x xxf x t d t g x ，则当 0x 时， fx 是 gx的（ ） 无穷小量的比较 （ A） 低阶无穷小 （ B） 高阶无穷小 （ C） 等价无穷小 （ D） 同阶但不等价的无穷小 例 20 xxI xxe)1(li
19、m 1012 例 21 设 ( ) 0fx 且可微 , 求极限 10()lim () yyf x xyfx步骤 3 ： 泰勒定理 含： s in , c o s , (1 ) , l n (1 ) , xx x x x e可直接利用 Peano 形式的泰勒定理 . 例 22 求011lim( )1 xxxex . 题型三 求数列的极限 方法 1：将 n 换成 x , 直接利用求函数极限的方法求解 . 例 23 2lim tan ( )4nn n . 例 24 求 3 2212 (1 co s )lim 1nnn nnn方法 2：单调有界必有极限 , 应用在递推数列求极限 例 25 设 103x
20、, 且 1 (3 )n n nx x x , 证明 nx 极限存在并且此极限 . 13 方法 3：夹逼准则 . 例 26 求12lim n n nn pn a a a ，其中 0, 0ipa. 题型四 求数列连加和的极限 方法 1：直接合并 例 27 求 2 2 23 3 312limn nn n n 方法 2：夹逼准则 一般情况下只放分母不放分子 , 且必须使左右两边的放缩项极限相同 . 例 28 求 2 2 26 6 6 212l im 2nnn n n n n n 方法 3：定积分定义 . 若函数 ()fx在区间 0,1 上可积 , 则 1 101101 1 1l i m ( ) ( )
21、 , l i mnnnniiiif f x d x f f x d xn n n n 例 29 求 1 1 1l i m12n n n n n 例 30 2sin sinsinl im1112nnnn nnn 14 练习： 12li m (1 ) (1 ) (1 )nn nn n n 题型五 已知极限求未知参数 1 若是 x 的多项式型问题，考虑多项式的最高次数 . 2 若是 00 型 , 根据分子或分母极限为 0得到一个参数再求解其他参数 . 例 31 设 54lim 3 2 cx x x x l , 求 ,cl. 例 32 确定 ,abc值，使 30sinlim 0ln 1xxba x x
22、 CCt dtt . 3 连续 一 连续与间断 1 连续的概念 (1) 若 00lim xfxfxx ，则称 xf 在点 0x 处连续。 (2) 若 00lim xfxfxx ，则称函数 xf 在点 0x 处左连续；如果 00lim xfxfxx ， 则称函数 xf 在点 0x 处右连续 . 如果函数 xfy 在点 0x 处连续，则 xf 在 0x处既是左连续，又是右连续 . 2 间断点的分类：非连续点 0 0limxx f x f x 15 (1) 第一类间断点 : )(lim0 xfxx 与 )(lim0 xfxx 都存在的间断点： 若 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx ，则
23、称 0x 为跳跃型间断点 . 若 )(lim0 xfxx = )(lim0 xfxx ，则称 0x 为可去间断点 . (2) 第二类间断点 : )(lim0 xfxx 与 )(lim0 xfxx 中至少有一个不存在的间断点 若 )(lim0 xfxx 与 )(lim0 xfxx 中至少有一个为无穷大 ，则称 0x 为无穷型间断点 . 当 0xx 时函数值在摆动 , 称为摆动型间断点 . 3 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点 . 二 连续函数的性质 1 连续函数运算的性质 . (1) 若 ( ), ( )f x g x 在 0x 连续 , 则 ( ) ( )f x g x , ( )
24、 ( )f x g x 在 0x 连续，若还有条件 0( ) 0gx ，则 ()()fxgx 在在 0x 也连续 . (2) 若 ()fx在 0x 连续 , ()gx 在 0()fx 连续 , 则 ( ( )g f x 在在 0x 连续 . (3) 初等函数在定义域内都连续 . 2 闭区间连续 函数的性质 : 闭区间 a,b上的连续函数 )(xf (1)（有界性定理） )(xf 在 a,b上有界。 (2) (最值定理 ) )(xf 在 a,b上有最大值和最小值 . (3)(介值定理 ) 设 ,mM为 )(xf 在 a,b上的最小值最大值，则 对 ()c m c M ， 至少存在一点 ),( b
25、a ，使 cf )( . (4)(零点定理） 若 ( ) ( ) 0f a f b，则至少存在一点 ,ab ，使 0)( f . 注：若 ( ) ( ) 0f a f b，则至少存在一点 ),( ba ，使 0)( f . 题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义 . 抽象函数：一般利用连续函数运算性质 . 例 1 设 f x x 和在 内有定义， fx为连续函数，且 0,f x x 有16 间断点，则 （ A） fx必有间断点。 （ B） 2fx必有间断点。 （ C） fx必有间断点。 （ D） xfx必有间断点。 例 2 设函数nn xxxf 211lim)(
26、，讨论函数 )(xf 的间断点，其结论为 ( ) （ A）不存在间断点 （ B）存在间断点 1x （ C）存在间断点 0x （ D）存在间断点 1x 例 3 设 322011l n 1 si n , 0 ,0 , 0 ,1 si n , 0 ,xxxxxf x xt dt xx 则 fx在 0x 处 ( ) （ A）极限不存在 （ B）极限存在，但不连续 （ C）连续，但不可导 （ D）可导 例 4 求 xfxt xtxxt s i ns i ns i ns i nlim 的间断点，并判别其类型。 17 题型二：证明 , ( )Fc或者方程 ()Fx c 有根 . 若具体已知了某些函数值或者函
27、数值的等式 , 用零点定理 ; 若没有这些信息 , 一般采取介值定理 , 只要证明 m c M . 例 5 设 ()fx在 , ab 连续，且 12, , , ,nx x x a b ，求证存在 ,ab 使得 12( ) ( ) ( ) ( )n nf f x f x f x . 例 6 设 )(xf 是 0,1 上非负连续函数，且 (0) (1) 0.ff证明：对任意实数 r （ 01r），必存在 0 0,1x ，使得 0 0,1xr ，且 00( ) ( )f x f x r。 例 5设 )1()0(,1,0)( ffxf 且上连续在 ， (1)证明：存在 )21()(,1,0 ff使 ；
28、 (2)证明：存在 )1()(,1,0 nff 使 (2n 且 n 为正整数） . 第二章 一元函数微分学 1 导数与微分 18 一 导数与微分的基本概念 1 导数的概念： 00 0 000 0( ) l im l imx x xf x x f x f x f xfx x x x 左导数： 000 0( ) limx f x x f xfx x 右导数： 000 0( ) l imx f x x f xfx x 导数存在 左右导数存在且相等 2 微分的基本概念 (1) 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x f x x f x A x o x x 在 可 微 ： . 0
29、0( ) ( ) xxf x x x f x A x A d x 在 的 微 分 d(2) 0()f x x在 可 微 0()f x x在 可 导 且 0( )A f x 0 00( ) ( ) ( )xxf x f x x f x d x d3 可导 (微 )、连续关系： 0( )fx存在 ()fx 在 0x 可微 ()fx在 0x 连续 . 4 导数的几何意义：切线 的斜率 题型一：可导性的讨论 核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论 . 例 1 设函数 ( ) 0f x x在 连续 , 则下面命题错误的是 ( ) （ A）若0()limxfxx存在 , 则 (0) 0f （
30、 B）若0( ) ( )limxf x f xx存在 , 则 (0) 0f （ C）若0()limxfxx存在 , 则 (0)f 存在 （ D）若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在 , 则 (0)f 存在 例 2 设 (0) 0f , ( ) 0f x x在 可导的充要条件的是 ( ) （ A） 20 1 coshlimh f h 存在 （ B） 01lim hhfeh 存在 （ C） 20 sinhlimh fhh 存在 （ D） 02limhf h f hh 存在 19 例 3 设 fx可导 , ( ) (1 | sin |)F x f x x,则 (0) 0f 是 ()F
31、x在 0x 可导的 ( )条件 (A) 充分必要 (B) 充分非必 要 (C) 必要非充分 (D) 即非充分也非必要 注：若 ( ) | | ( )f x x a x 且 ()x 在 xa 连续 , ()fa存在 ( ) 0.a 例 4 函数 232f x x x x x 有 ( )个不可导点 . （ A） 3； （ B） 2； （ C） 1； （ D） 0. 二 导数与微分的计算公式 1 导数的有理运算和复合运算法则 (1) 1 2 1 2()f f f f (2) 1 2 1 2 1 2()f f f f f f (3) 1 1 2 1 2222( ) f f f f fff(4) 1 2
32、 1 2 2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )f f x f f x f x 2 微分的有理运算和形式不变性 (1) 2( ) , ( ) , ( )u v d u u d vd u v d u d v d u v v d u u d v d vv (2) ( ) ( )df u f u du , 不管 u 是最终变量还是中间变量 . 3 特殊函数求导法 (1) 反函数求导： 1( )( )xy yx, 3“( )( ) ( )yxxy yx(2)参数函数求导： ( )( )dy y tdx x t, 232 “ ( ) ( ) “ ( ) ( )( )d y y t x t x t y
33、 tdx xt。 (3)隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法 . 20 (4)变上限函数求导：设 xf 在 ba, 上连续，则 xa f t dt f x. 推广 : 21 2 2 1 1xx f t d t f x x f x x 4 连环相乘的对数求导法：应用在形如 12 ()( ) ( )12( ) ( ) ( ) ( ) nvxv x v x nf x u x u x u x 的函数 两边取对数 1 1 2 2l n ( ) ( ) l n ( ) ( ) l n ( ) ( ) l n ( )nnf x v x u x v x u x v x u x 从而1 1 2 2(
34、) ( ( ) l n ( ) ( ) l n ( ) ( ) l n ( ) ) () nnfx v x u x v x u x v x u xfx 题型二：求显函数的导师 (1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数 . (2) 公式：四则、复合、对数 . 例 5 设 33 23() 1 (3 )xxfx xx , 求 ()fx 例 6 设 1 ( 2 ) ( 1 0 0 )()1 ( 2 ) ( 1 0 0 )x x xfx x x x , 求 (1)f 例 7 设 2 sin( ) (1 ) xf x x , 求 ()fx. 例 8 设 ()Fx在 0x 连续 , 且0(
35、)lim 2xfxx ,令100( ) , 0( ) 0 , 0sin ,0xf xt dt xF x xt dt xt , 求 ()Fx. 21 例 9 设 2 1c o s , 0()0 , 0xxx xx ,且 ()fx在 0x 可导 , 令 ( ) ( ( )F x f x ,求 (0)F . 题型三：隐函数和参数函数求导 隐 函数求导有三种方法 : 一般情形下求导和求微分的方法等价 .但若只要求隐函数在某点的高阶导数 (或导数 )一般采取直接求导得到 ,yy的关系 , 不采取解出y 再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法 . 例 10 函数 ()y yx 由方程 tan( )y x
36、 y确定 , 求 , “yy. 例 11 设可导函数 ()y yx 由方程 sin ( ) 0yxx u du 确定 ,其中可导函数 ( ) 0u ,且 (0) (0) , 求 “(0)y . 例 12 设设可导函数 ()y yx 由参数方程 23 2 3sin 1 0yx t te t y 所确定 , 求 202 |.tdydx . 22 三 高阶导数 (1) fx 在点 0x 处的导数称为 fx在点 0x 处的二阶导数，记以 0xf .若 fx 的 1n 阶导数的导数存在，称为 xfy 的 n 阶导数，记为 xyn 或nndxyd . (2)运算法则： ( ) ( ) ( )( ( ) (
37、 ) ) ( ) ( )n n nu x v x u x v x ， ( ) ( ) ( )0( ( ) ( ) ) ( ) ( )nn k k n knku x v x C u x v x (3) 常见函数的高阶导数： ()( ) (ln ) ,x n x na a a ()()x n xee , ()si n( ) si n( ) ,2mmax a ax m ( 1 ) 1 ( 1 ) , ( 1 ) 0 , mnnm m m m n x m nx mn 题型四 求高阶导数 1 直接将函数写成常见函数的加减式 , 然后利用常见函数的公式求解 . 2 若函数为 ( ) ( )kf x x g
38、 x ,利用莱布尼茨公式求解 . 3 若只求某点的高阶导数 ()()nfa, 利用泰勒公式 ()0( ) ( )( )nnnf x f a x a例 13 设2() 56xfx xx , 求 ()()nfx. 例 14 求函数 2( ) ln(1 )f x x x在 0 点的 100阶导数 (100)(0)f . 23 2 中值定理和导数的应用 一 微分中值定理 1洛尔定理 : 设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续 ,在开区间 ),( ba 内可导 )()( bfaf , 则存在 ),( ba ，使得 0)( f . 2 拉格朗日定理：设函数 xf 在闭区间 ba, 上连续 ,在开区间
39、ba, 内可导， 则 存在 ba, ，使得 fab afbf . 推论 : 若在 ba, 内可导，且 0xf ，则 xf 在 ba, 内为常数。 例 证明 a r c ta n a r c ta n 2xxee . 3 柯西中值定理 :设函数 xf 和 xg 在闭区间 ba, 内皆连续，在开区间 ba, 内皆可导，且 0xg ，则存在 ba, 使得 gfagbg afbf ba 。 二 泰勒定理（泰勒公式） (1) Lagrange余项：设 xf 在包含 0x 的区间 ba, 内有 1n 阶导数，在 ba, 上有n 阶连续导数，则对 bax , ，有公式 1210 0 00 0 0 0 01
40、! 2 ! ! 1 !nn nnf x f x f x ff x f x x x x x x x x x (2)皮亚诺余项 : 设 xf 在 0x 处有 n 阶导数，则有 20 0 00 0 0 0 01 ! 2 ! !n nnf x f x f xf x f x x x x x x x o x xn 注：上面展式称为以 0x 为中心的 n 阶泰勒公式 ; 00x 时，也称为麦克劳林公式。 (3) xe , xsin , xcos ， x1ln 和 x1 等的 n 阶泰勒公式 . 三 极值 1 若对点 0x ,存在它的某一邻域 , 使得其中 0x x x，总有 0f x f x ，24 称 0
41、xf 为函数 xf 的一个极大 (小 )值，称 0x 为极大 (小 )值点 . 2 必要条件 : 0()fx 为极小值 00 xf (驻点 )或 fx的不可导点 . 3充分条件 : 一阶判别法和二阶判别法 (1) 0x 为可能极值点 , fx 在 00 ,xx 和 00,xx 异号，左边小于 0右边 大于 0为极大值， 反之为极小值 . (2) xf 在 0x 处有二阶导数，且 00 xf ， 00 xf ，则当 00 xf ， 0xf 为极大值， 0x 为极大值点 . 题型一：极值的判断与求解 1 若只知道函数的连续性 , 利用极值的定义求解 . 2 若已知函数可导 , 先求可能的极值点 , 然后再用充分条件判断 . 注：极值的两个充分条件不能互相替代 , 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导数判别法 . 例 1 设 xf 在 0x 处连续，若 20lim 1x fxx , 问 (1) 当 0x 时 , fx是否存在 ? (2) 0x 是否为 fx的极值点 ? 例 2 设 ()y yx 由方程 3 2 22 2 2 1y y xy x 确定 , 求 ()y yx 的极值点和极值 . 例 3 求函数 2 221()x tf x x t e dt 的单调区间 与极值 . 25 四 最大值和最小值 1闭区
