1、- 1 -宁夏平罗中学 2018 届高三数学第四次（5 月）模拟试题 理 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）(每小题只有唯一 一个正确选项)1已知 UR, |12,|3MxNx,则 NMCU)(（ ）A. |23x或 B. |C. |1x D. |23x2.i为虚数单位，复数 iz在复平面内对应的点所在象限为 （ ）A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限3.某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.530， ，样本数据分组为17.520， .5， ， 2.， ， 2， ， ， .根据直方图，这320
2、名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是 （ ）A68 B72 C76 D80 4我国古代数学名著九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第 3 天所织布的尺数为 （ ）A 103B 4C 2031 D 525.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （ ）A 2 B C.5D.86. 函数 1()ln|fx的图象大致是 （ ）A B C D7从标有数字 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张(取后不放
3、回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 （ yO-xy1-xyO1-xy1- 2 -）A14B23C13D128已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）A. 甲是军人，乙是工人，丙是农民 B. 甲是农民，乙是军人，丙是工人C. 甲是农民，乙是工人，丙是军人 D. 甲是工人，乙是农民，丙是军人9. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 （ ）A 4 B283C 43D 2010. 已知函数 ()sin()0
4、)fx，若将函数 ()fx的图象向右平移 6个单位后关于 y轴对称，则下列结论中不正确的是 （ ）A. 56 B. (,0)12是 (fx图象的一个对称中心 C. ()2f D. 6x是 图象的一条对称轴11. 已知双曲线 21:4Cy，双曲线2:1(0)yCab的左、右焦点分别为 12,F,M是双曲线 2的一条渐近线上的点，且 2OMF, 为坐标原点，若26OS，且双曲线 1,的离心率相同，则双曲线 的实轴长是 （ ）A. 32 B. 4 C. 8 D. 1612.已知对任意 2,xe不等式 2xa恒成立（其中 2.718.e，是自然对数的底数） ，则实数 a的取值范围是 （ ）231正 视
5、 图俯 视 图 侧 视 图- 3 -A 02e， B 0e（ ， ） C.(,2)e D 24(,)e.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 已知 |2,|,aba与的夹角为 45，且 ba与 垂直，则实数 14.设实数 ,xy满足约束条件20,3,xy则 yx的最大值为 15.设21(3)adx，则二项式261()a展开式中的第 6项的系数为_16.已知数列 n的前 项和为 nS,且 24, =30S, 2n时, 12(1)nnaa,则n的通项公式 三、简答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）如图，在圆内接四边形 ABCD中， 8， 7BD，
6、 5A.（1）求 C的大小； （2）求 面积的最大值.18 （本小题满分 12 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D 四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ）； （）试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方- 4
7、 -差 与 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 的 大 小 .（ 只 需 写 出 结 论 ）19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， BCD=135，侧面 PAB底面 ABCD， BAP=90， AB=AC=PA=2， E、 F 分别为 BC、 AD 的中点，点 M 在线段 PD 上（1）求证： EF平面 PAC； （2）如果直线 ME与平面 PBC所成的角和直线 ME与平面 ABCD所成的角相等，求 PDM的值20. （本小题满分 12 分）已知 A20B（ -， ） ， （ ， ） 为椭圆 C的左、右顶点， F为其右焦点，
8、P是椭圆 C上异于 ， 的动点，且 P面积的最大值为 23.（1）求椭圆 的方程；（2）直线 A与椭圆在点 B处的切线交于点 D，当点 在椭圆上运动时，求证:以 BD为直径的圆与直线 F恒相切.21 （本小题满分 12 分）已知函数 2ln,0xfaR.（1）讨论函数 fx的单调性；（2） 若函数 有两个零点 1x， 2 12()x，且 2ae，证明： 12xe.请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)在平
9、面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 2, xmty（ 为参数） ，以坐标原点为- 5 -极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2241sin，且直线l经过曲线 C的左焦点 F（1）求 m的值及直线 l的普通方程；（2）设曲线 的内接矩形的周长为 L，求 的最大值23. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)设函数 |fxp.（I）当 2时，解不等式 41fx；（II）若 1fx的解集为 ,02,， 21pmn（ 0， 1n） ，求证：mn.- 6 -参考答案1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10、 11 12答案 A C B C D B D A B C D A二填空题：13. 14. ; 15. -24; 16. 2n17.（1）在 中，由余弦定理得 1cos，则 60，结合圆的内接四边形的性质可得 120BCD.（2）法 1：在 中，由余弦定理得 22BDCBDCcos，结合均值不等式的结论有 349，则 493. 1SinBD 4912.当且仅当 BC， 面积的最大值为 2.法 2：由几何关系可知，当 为弧 D中点时， B上的高最大，此时 C是等腰三角形，此时 D上的高 723E，据此可得 C面积的最大值为 49312.试题解析：（1）在 AB中，由余弦定理得 22cosD2857
11、1，解得 60，注意到 18BAC，可得 2.（2）法 1：在 BCD中，由余弦定理得2cosBCD，即 7120 2BCD，- 7 - 2BCDC， 349，即 493B. 12BCDSsinD 1312024CsinBCD 49312.当且仅当 ， BCD 为等腰三角形时等号成立，即 面积的最大值为 49312.法 2：如图，当 C为弧 BD中点时， B上的高最大，此时 BCD是等腰三角形，易得30BD，作 上的高 CE，在 RtE中，由 ， 72，得 73，可得 723BCDS 491，综上知，即 面积的最大值为 2.18. 分布列如下- 8 -0 1 2p 63612=0+=1E（ ）
12、，即所求数学期望为 1.（）由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大。19.(1）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，所以 由 分别为 的中点，得 ， 所以 因为侧面 底面 ，且 ，所以 底面 又因为 底面 ，所以 又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）解：因为 底面 ， ，所以 两两垂直，以 分别为 、 、 ，建立空间直角坐标系，则， 所以 ， ， ，设 ，则 ，所以 ， ，易得平面的法向量 设平面 的法向量为 ，由 ， ， 得 令， 得 - 9 -因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，或 （
13、舍） 综上所得： 20 （1）2143xy；（2）证明见解析.【解析】试题分析: （1）由题意知知 2213, ,abcA，由此能求出椭圆 C的方程；（2）设直线 AP的方程为 0ykx， 2, 143ykx得22234161kx.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点 P在椭圆上运动时，以 BD为直径的圆与直线PF恒相切试题解析：(1)设椭圆 C的方程为 210,xyabFc,由题意知 2213, ,abcA解之得 b3,1c,故椭圆 C的方程为 143xy.(2)证明：设直线 AP的方程为 20kx.则点 D坐标为 2,kB中点 E的坐标为 ,.由
14、 2 1,43yx得 22241610xk.- 10 -设点 P的坐标为 0,xy，则201634kx.200268,k34xk.点 F坐标为 1,当 2k时，点 P的坐标为 31,2,直线 PFx轴，点 D的坐标为 2,.此时以 BD为直径的圆 xy与直线 相切.当 12k时，则直线 F的斜率 0241PFkkx.直线 P的方程为 241y.点 E 到直线 F的距离 322228841d61kkk.又因为 4,BDkdBD.故以 为直径的圆与直线 PF相切.综上得，当点 在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直径 PF恒相切.【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查圆与直线相切的证明，解题时要认真审题，
15、注意点到直线距离公式的合理运用，是一道难题。21已知函数 2ln,0xfaR.（1）讨论函数 f的单调性；（2） 若函数 x有两个零点 1x， 2 12()x，且 2ae，证明： 12xe.21 （1）当 0a时，知 f在 0,上递减；当 0时， f在 0,a上递减，在 ,上递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：- 11 -（1）由函数的解析式了的 2xfa， (0)x，分类讨论有：当 0a时，知fx在 0,上递减；当 0时， f在 ,a上递减，在 ,上递增；（2）由（1）知， a， 1minfxfln，且2(0)xflne，故10,xe， 2,e，原问题等价于 12，结合单调性转化为2f
16、即可，而 24xf lnlex， ,e，构造函数，令 4tgtlnete， ,t，结合导函数的性质可得te，即 20fx，则结论得证.试题解析：（1） fxa， ()，当 0时， 0f，知 fx在 0,上是递减的；当 a时， 2axf，知 fx在 0,a上是递减的，在,上递增的.（2）由（1）知， 0a， 1minfxfaln，依题意 ln，即 e，由 2ae得， 2()fxlx， 10,xe， 2,x，由 0fln及 2f得， 2，即 2,e，欲证 12xe，只要 1xe，注意到 f在 ,上是递减的，且 10fx，只要证明 20ex即可，由 22fln得 22elnx，- 12 -所以 22
17、 2exf lnex2224exlnex2224exlnl22llex， ,e，令 4tgtnt， 2，则 242 0etettt，知 gt在 ,e上是递增的，于是gt，即 2fx，综上， 12xe.请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 2, xmty（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2241sin，且直线 l经过曲线 C的左焦点 F（1）求 m的值及直线 l
18、的普通方程；（2）设曲线 的内接矩形的周长为 L，求 的最大值23.选修 4-5：不等式选讲设函数 |fxp.（I）当 2时，解不等式 41fx；（II）若 1fx的解集为 ,02,， 21pmn（ 0， 1n） ，求证：mn.22（1）见解析 （2） 46【解析】试题分析：（1）将 22xy， siny代入上式并化简得214xy，所- 13 -以 2,0F，又直线 l的普通方程为 xym，将焦点代入得得 2m，所以直线l的普通方程为 20xy；（2）设椭圆 C的内接矩形在第一象限的顶点为cos,in，所以椭圆 的内接矩形的周长为24si46sinL（其中 tan2） ，此时椭圆 C的内接矩形
19、的周长取得最大值 试题解析：（1）因为曲线 C的极坐标方程为 2241sin，即 22sin4，将 22xy， siny代入上式并化简得 xy，所以曲线 C的直角坐标方程为 1，于是 22cab， 2,0F，直线 l的普通方程为 xym，将 ,代入直线方程得 2m，所以直线 l的普通方程为 （2）设椭圆 C的内接矩形在第一象限的顶点为 2cos,in（ 02） ，所以椭圆的内接矩形的周长为 24cosin46L（其中 tan） ，此时椭圆 的内接矩形的周长取得最大值 23(1) 17,2 (2)见解析【解析】试题分析：（I）当 2p时，不等式化为 214x，分类讨论，即可求解不等式的解集；（II）根据 1fx得 或 1x，根据题意里程方程组，求得 1p，得到12mn，再利用基本不等式，即可作出证明.试题解析：（I）当 p时，不等式化为 214x- 14 -23,1 ,1xx不等式的解集为 7,2（II）根据 1fx得 1px p f的解集为 ,02,故 0 12，所以 21mn， 0m， n 1212 91mn，当且仅当 3， 4n时取等号 m
