四川省资阳中学2017-2018学年高二数学下学期半期考试试题 理.doc

1、- 1 -四川省资阳中学 2017-2018 学年高二数学下学期半期考试试题 理一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）1若 z=4+3i,则 = ( )zA. 1 B. -1 C. + i D. - i4534532下列结论正确的是（ ）A. 若 B. 若 ，则xysin,co 1xeyC. 若 ，则 D. 若 ，则21 23将 个不同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种A. B. C. D. 4. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，则椭圆上满足 的点 （ ）1625yx 21F、 21PFA有 2 个 B有 4 个 C不一定存在 D一定不存在5. =（ ）dx

2、0sinA. B. C. 2 D. 46已知 ， 为 的导函数，则 的图象是（ ）)2sin(41)(xf(f)xf )(xf7. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两2:1(0)xyEab(3,0)F,AB点若 的中点坐标为 ，则 的方程为 （ ）AB,E- 2 -A B C D214536xy21367xy2178xy2189xy8 是双曲线 的右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，F2:(0,)CabF垂足为 ，交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）AB2AFCA. B. C. D. 2 231439.设曲线 (nN *)在 (1,1)处的切线与 x 轴的交点的

3、横坐标为 ，则1xy nx的值为( )201627071207loglogl A B1 C 1 D116 20617log10已知可导函数 为定义域上的奇函数， 当 时，有()fx(),).ff0x，则 的取值范围为（ ）)(3fxf 32A B C D27,87,88,14,811.已知函数 ，若对任意的 ，都有5)(,ln)( 23xgxaxf 2,1x成立，则 的取值范围是( )2)(1gxfA(0，) B1，) C(，0) D(，112斜率为 的直线 过抛物线 焦点 ，交抛物线于 两点，点kl2(0)ypxF,AB为 中点，作 ，垂足为 ，则下列结论中不正确的是（ ）0,PxyOQAB

4、A. 为定值 B. 为定值k OC. 点 的轨迹为圆的一部分 D. 点 的轨迹是圆的一部分二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 ，且 为 的一个极值点，则),(6ln4)(2为 常 数baxxf 2x)(f的值为_.a14已知函数 ，其中 ，则不同的二次函数的个数共有 cbay2 1,34c、种 - 3 -15在平面直角坐标系 中，已知 ABC 顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆xoy上，则 _.1625yxBCAsin16设函数 若 ，则 的最大值为_；若 无.,23)(axf 0)(xf )(xf最大值，则实数 的取值范围是_3、解答题（70 分）17

5、（10 分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 .一双曲线和该椭圆有公共132焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为73，求椭圆和双曲线的方程.18 （12 分）设函数 过点 （1）求函数的极大值和极小值34fxa),3(P（2）求函数 在 上的最大值和最小值1,19 （12 分）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 两点，2:4EyxFl,AB交 轴于点 为坐标原点.（1）若 ,求直线 的方程；y,CO4OABk（2）线段 的垂直平分线与直线 轴, 轴分别交于点 ，求 的最小值.ABlxy,DMNDCFMS20 （12 分）已知函数

6、 .)(ln21)(2Raxxf（1）若曲线 处的切线 与直线 垂直，求 的值；）（，在y（2）讨论函数 的单调性；若存在极值点 ，求实数 的取值范围.)2,1(0x- 4 -21 （12 分）设函数 )1ln(2)(xxf（1）若关于 的不等式 在 有实数解，求实数 的取值范围； x0m,em（2）设 ，若关于 的方程 至少有一个解，求 的最小值 )(g2fxp)(gp（3）证明不等式： 1ln3nN 22 （12 分）已知函数 21ln,fxgxx（1）设 ，求 的单调递增区间；2GxG（2）证明：当 时， ；01fx（3）证明： 时，存在 ，当 时，恒有 1k00,x12fxgkx- 5

7、 -高 2016 级第四学期文科数学半期试题答案一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 点 M 的直角坐标（ ，-1 ）化成极坐标为（ ）A. （2， ） B. （2， ） C. （2， ） D. （2， ）【答案】 D【解析】解：点 M 的直角坐标（ ，-1），由 x=cos， y=sin， =cos，-1=sin，解得： =2，= ，极坐标为（2， ），故选 D根据 x=cos， y=sin，可得极坐标本题考查了直角坐标化成极坐标的计算要牢记 x=cos， y=sin 的关系比较基础2. 已知 F1（-1，0）， F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过 F1的直线 l 交椭圆于

8、M， N 两点，若 MF2N 的周长为 8，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】解：由题意，4 a=8， a=2， F1（-1，0）、 F2（1，0）是椭圆的两焦点， b2=3，椭圆方程为： 故选： A由题意可知 MF2N 的周长为 4a，从而可求 a 的值，进一步可求 b 的值，则椭圆方程可求本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解，属于基础题3. 抛物线 y2=4x，直线 l 过焦点且与抛物线交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点， x1+x2=3，则 AB 中点到 y 轴的距离为（ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】 B【解析】解：直线

9、 l 过抛物线的焦点且与抛物线 y2=4x 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点， x1+x2=3， AB 中点的横坐标为：，则 AB 中点到 y 轴的距离为：故选： B利用已知条件求出 A、 B 的中点的横坐标即可本题考查抛物线的简单性质的应用，是4.下列运算正确的是（ ）A B（ x2cosx）=-2 xsinx C（3 x）=3 xlog3e D2eex【答案】 A- 6 -【解析】解：B（ x2cosx）=2 xcosx-x2sinx； C（3 x）=3 xln3；D 应该为（lg x）= 故选 A运用导数的求导公式对各运算检验即可 本题考查了导数的运算；熟记公式是关

10、键5.某箱子的容积 V（ x）与底面边长 x 的关系为 ，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 以上都不正确【答案】 B【解析】解：某箱子的容积 V（ x）与底面边长 x 的关系为 ，可得x（0，60） V（ x）=60 x- ，令 60x- =0，可得 x=40，当 x（0，40）时，V（ x）0，函数是增函数，当 x（40，60）时， V（ x）0，函数是减函数，函数的最大值为： V（40）=16000此时 x=40 故选：B求出函数的定义域，函数的导数，利用函数的最值求解即可6.函数 y=f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函

11、数 y=f（ x）的图象可能是（ ）A. B. - 7 -C. D. 【答案】 D【解析】解：由当 f（ x）0 时，函数 f（ x）单调递减，当 f（ x）0 时，函数f（ x）单调递增，则由导函数 y=f（ x）的图象可知： f（ x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A， C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B，故选 D根据导数与函数单调性的关系，当 f（ x）0 时，函数 f（ x）单调递减，当 f（ x）0时，函数 f（ x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y

12、=f（ x）的图象可能本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题本题考查函数的最值的求法、导数的应用，考查转化思想以及计算能力7.已知动点 P 在曲线 2x2-y=0 上移动，则点 A（0，-1）与点 P 连线中点的轨迹方程是（ ）A. y=2x2 B. y=8x2 C. 2y=8x2-1 D. 2y=8x2+1【解析】解：设 AP 中点坐标为（ x， y），则 P（2 x，2 y+1）在 2x2-y=0 上，即 2（2 x） 2-（2 y+1）=0，2 y=8x2-1故选 C先设 AP 中点坐标为（ x， y），进而根据中点的定义可求出

13、P 点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程本题主要考查轨迹方程的求法8.已知直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为 ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为（ ）A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定【答案】 B【解析】解：直线 l 的参数方程为： ，消去 t 为参数可得：2 x-y+1=0圆 C 的极坐标方程为 ，根据 x=cos， y=sin 带入可得： ，圆心为（0， ），半径 r= 那么：圆心到直线的距离 d= d ，直线 l 与圆 C 相交故选 B消去 t 为参数可得直线 l 的普通方程；根据 x=cos， y=sin 带入可得圆 C 的直角坐

14、标方程圆心到直线的距离与半径比较可得直角的关系- 8 -本题主要考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转换点到直线的距离公式属于基础题9.函数 f（ x）= ax-lnx 在区间1，+）上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A. （-，-2 B. （-，0 C. （-，1 D. 1，+）【答案】 B【解析】解： f（ x）= ax-lnx，（ x0）， f（ x）= a-，若函数 f（ x）= ax-lnx 区间1，+）上为减函数，则 a-0 在区间1，+）恒成立，即 a0，故选： B求出函数的导数，问题转化为 a-0 在区间1，+）恒成立，求出 a 的范围即可本题主要考查利用导数研究函数

15、的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题10.已知函数 f（ x）=ln x+ax2-2x 有两个极值点，则 a 的取值范围是（ ）A. （-，1） B. （0，2） C. （0，1） D. （0，3）【答案】 C【解析】解： f（ x）=+ ax-2= ，（ x0），若函数 f（ x）=ln x+ax2-2x 有两个极值点，则方程 ax2-2x+1=0 有 2 个不相等的正实数根， ，解得：0 a1，故选： C求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题11.参数方程 （ t 为参数）所表示

16、的曲线是（ ）A. B. C. D. 【答案】 D- 9 -【解析】解： ， x 与 y 同号（ t=1 除外），将 代入 消掉参数 t 得： x2+y2=1（ xy0， x0）；故选 D根据 可知 x 与 y 同号（ t=1 除外），将 代入 消掉参数 t 后即可判断本题考查圆的参数方程，易错点在于对“ x 与 y 同号（ t=1 除外）”的判断与应用，也是本题的难点，属于中档题12.定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数为 f（ x），已知 xf（ x）+ f（ x）- f（ x），f（2）=，则不等式 f（ ex-2）- 0（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. （0，ln4

17、） B. （-，0）（ln4，+）C. （ln4，+） D. （2，+）【答案】 B【解析】解：由 xf（ x）+ f（ x）- f（ x），得 xf（ x）+ f（ x）+ f（ x）0，即（ x+1） f（ x）+ f（ x）0，设 g（ x）=（ x+1） f（ x），则 g（ x）= f（ x）+（ x+1） f（ x）0，即 g（ x）为减函数， f（2）=， g（2）=3 f（2）=3=1，则不等式 f（ ex-2）- 0 等价为，当 x0 时， ex-10，则不等式等价为（ ex-1） f（ ex-2）-10，即（ ex-2+1） f（ ex-2）1，即 g（ ex-2） g（2

18、），则 ex-22，则 ex4，则 xln4，当 x0 时， ex-10，则不等式等价为（ ex-1） f（ ex-2）-10，即（ ex-2+1） f（ ex-2）1，即 g（ ex-2） g（2），则 ex-22，则 ex4，则 xln4， x0，此时不等式的解为 x0，综上不等式的解为 x0 或 xln4，即不等式的解集为（-，0）（ln4，+），故选： B 根据条件构造函数 g（ x）=（ x+1） f（ x），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，注意要对分母进行

19、讨论二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）- 10 -13.已知抛物线的准线方程是 x=，则其标准方程是_【答案】 y2=-2x【解析】解：由题意可知： =， p=1 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为： y2=-2px，将 p 代入可得 y2=-2x，故答案为： y2=-2x先根据准线求出 p 的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将 p 的值代入可得答案本题主要考查抛物线的标准方程属基本知识的考查14.已知曲线 f（ x）=2 x2+1 在点 M（ x0， y0）处的瞬时变化率为-8，则点 M 的坐标为

20、_ 【答案】（-2，9）【解析】解： y=2x2+1， y=4 x，令 4x0=-8，则 x0=-2， y0=9，点 M 的坐标是（-2，9），故答案为：（-2，9）求导函数，令其值为-8，即可求得结论本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题15.M 是椭圆 上的任意一点， F1、 F2是椭圆的左、右焦点，则| MF1|MF2|的最大值是_ 【答案】9【解析】解：设 M（ x0， y0），由题意知 ， ，| MF1|MF2|=（3+ ）（3- ）=9- 当 x0=0 时，| MF1|MF2|有最大值 9故答案为：9由题意可设 M（ x0， y0），可先求出离心率，然后根据椭圆的第

21、二定义用 x0分别表示出| MF1|和| MF2|，求出| MF1|MF2|的表达式，把其看为关于 x0的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答16.双曲线 一条渐近线的倾斜角为，离心率为 e，则 的最小值为_【答案】【解析】解：由题意， b= ， c=2a = = （当且仅当 a= 时取等号）当 a= 时， 的最小值为 故答案为： 根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论- 11 -本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式的运用，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（本小题满分 10 分）已

22、知函数 f（ x）= x3+ax2+bx（ a， b R）若函数 f（ x）在 x=1 处有极值-4（1）求 f（ x）的单调递减区间；（2）求函数 f（ x）在-1，2上的最大值和最小值【答案】解：（1） f（ x）=3 x2+2ax+b，依题意有 f（1）=0， f（1）=-4.2分，即 得 3 分所以 f（ x）=3 x2+4x-7=（3 x+7）（ x-1），4 分由 f（ x）0，得 ，所以函数 f（ x）的单调递减区间 6 分（2）由（1）知 f（ x）= x3+2x2-7x， f（ x）=3 x2+4x-7=（3 x+7）（ x-1），令 f（ x）=0，解得 ， x2=1f（

23、x）， f（ x）随 x 的变化情况如下表：.9 分.由上表知，函数 f（ x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增故可得 f（ x） min=f（1）=-4， f（ x） max=f（-1）=810 分【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力（1）首先求出函数的导数，然后令 f（ x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数 f（ x）在-1，2上的最大值和最小值18.（本小题满分 1

24、2 分）已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 =2 sin（+），直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 P- 12 -（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）求 + 的值【答案】解：（1）利用极坐标公式，把曲线 C 的极坐标方程 =2 sin（+）化为 2=2sin+2cos，普通方程是 x2+y2=2y+2x，即（ x-1） 2+（ y-1）2=2；5 分（2）直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 P，把直线 l 的参数方程 代入曲线 C 的普通方程（ x-1） 2+（ y-1） 2=2 中，得 t2-t-1=

25、0，7 分 ；9 分 + = + = = = = .12 分【解析】（1）利用极坐标公式，把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得到 t2-t-1=0，由根与系数的关系，求出 + = 的值本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题19.（本小题满分 12 分）已知直线 y=ax+1 和抛物线 y2=4x（ F 是抛物线的焦点）相交于 A、 B两点（）求实数 a 的取值范围；（）求实数 a 的值，使得 0FBA【答案】解：（）将直线方程代入双曲线方程， ，整理得： a2x2-（4-2

26、 a）+1=0.2 分由题意可知，0，即（4-2 a） 2-4a20，解得： a1，4 分由当 a=0 时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，5 分实数 a 的取值范围（-，0）（0，1）；6 分（）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由（）可知： x1+x2= ， x1x2= ，8分 =（ x1-1）（ x2-1）+ y1y2=（ x1-1）（ x2-1）+（ ax1+1）（ ax2+1），=（ a2+1） x1x2+（ a-1）（ x1+x2）+2，9 分- 13 -=（ a2+1） +（ a-1） +2=0，解得： a=-32 ，11 分由 a（-，0）（0，1）所以实数

27、a 的值为-3-2 或-3+2 12 分【解析】（）将直线方程代入椭圆方程，由0 及 a0，即可求得实数 a 的取值范围；（）由以 AB 为直径的圆过 F，则 =0，即可求得 a 的值本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题20.（本小题满分 12 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）（）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程；（）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C设曲线 C上任一点为 M（ x， y），求的取值范围【答案】解：（）直线 l

28、的普通方程 x+y-2 -1=0 3 分曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2=4；.5 分（）曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C的方程为 ，则点 M 参数方程为 ，7 分代入 x+y 得， x+y= 2cos+ 8 分=2sin .9 分=4sin（ ）-4，4 11 分 x+y 的取值范围是-4， 412 分【解析】（ I）利用 2=x2+y2，将 =1 转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成 t=2（ x-1）代入下式消去参数 t 即可；（ II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 ，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可本题主

29、要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题21.（本小题满分 12 分）已知函数 f（ x）= ex-x-1（ e 是自然对数的底数）- 14 -（1）求证： ex x+1；（2）若不等式 f（ x） ax-1 在 x，2上恒成立，求正数 a 的取值范围【答案】证明：（1）由题意知，要证 ex x+1，只需证 f（ x）= ex-x-10，.1分求导得 f（ x）= ex-1，.2 分当 x（0，+）时， f（ x）= ex-10，.当 x（-，0）时， f（ x）= ex-10，. f（ x）在 x（0，+）是增函数，在 x（-，0

30、）时是减函数，.4 分即 f（ x）在 x=0 时取最小值 f（0）=0，.5 分 f（ x） f（0）=0，即 f（ x）= ex-x-10， ex x+1.6 分（2）不等式 f（ x） ax-1 在 x，2上恒成立，即 ex-x-1 ax-1 在 x 上恒成立，亦即 a 在 x 上恒成立，.7 分令 g（ x）= ， x ，8 分以下求 g（ x）= 在 x 上的最小值，.9 分当 x 时， g（ x）0，当 x 时， g（ x）0，当 x 时， g（ x）单调递减，当 x 时， g（ x）单调递增，.10分 g（ x）在 x=1 处取得最小值为 g（1）= e-1，.11 分正数 a

31、的取值范围是（0， e-1）12 分【解析】（1）要证 ex x+1，只需证 f（ x）= ex-x-10，求导得 f（ x）= ex-1，利用导数性质能证明 ex x+1（2）不等式 f（ x） ax-1 在 x，2上恒成立，即 a 在 x 上恒成立，令g（ x）= ， x ，利用导数性质求 g（ x）= 在 x 上的最小值，由此能求出正数 a 的取值范围本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用- 15 -22.（本小题满分 12 分）已知函数 f（ x）= alnx-bx-3（ a R 且 a0）（1）若 a=b，求函数 f（ x）

32、的单调区间；（2）当 a=1 时，设 g（ x）= f（ x）+3，若 g（ x）有两个相异零点 x1， x2，求证：lnx1+lnx22【答案】解：（1）由 f（ x）= alnx-bx-3 知 f（ x）= ，.1 分当 a0 时，函数 f（ x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+），3分当 a0 时，函数 f（ x）的单调增区间是（1，+），单调减区间是（0，1）5分证明：（2） g（ x）=ln x-bx，设 g（ x）的两个相异零点为 x1， x2，设 x1 x20， g（ x1）=0， g（ x2）=0，ln x1-bx1=0，ln x2-bx2=0，6 分ln x1-

33、lnx2=b（ x1-x2），ln x1+lnx2=b（ x1+x2），7 分要证 lnx1+lnx22，即证 b（ x1+x2）2，即 ，8 分即 ln ，设 t= 1 上式转化为 lnt ， t19 分设 g（ t）=ln t- ，.10 分 g（ t）= 0， g（ t）在（1，+）上单调递增，11 分 g（ t） g（1）=0，ln r ，ln x1+lnx2212 分【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）设 x1 x20，要证 lnx1+lnx22，即证 b（ x1+x2）2，即证 ln ，设t= 1 上式转化为 lnt ， t1够造函数 g（ t）=ln t- ，根据导数和函数的最值的关系即可证明本题主要考查导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、- 16 -运算求解能力，考查转化思想与分类讨论思想、构造法的应用