1、简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题知识点一 线性规划中的基本概念名 称 意 义约束条件 关于变量 x，y 的一次不等式( 组)线性约束条件 关于 x，y 的一次不等式( 组)目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量 x，y 的函数解析式线性目标函数 关于变量 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解(x，y)可行域 由所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二
2、线性规划问题1目标函数的最值线性目标函数 zaxby (b0)对应的斜截式直线方程是 y x ，在 y 轴上的截距是 ，ab zb zb当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线当 b0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当 b0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z3xy ，即 y3xz 过点(0,1)时 z 取最小值 1.题型二 非线性目标函数的最值问题例 2 设实数 x，y 满足约束条件Error! 求(1)x2y 2
3、的最小值；(2) 的最大值yx解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC，(1)令 ux 2y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点( x，y)与原点的距离的平方过原点向直线 x2y 40 作垂线 y2x，则垂足为Error!的解，即 ，(45，85)又由Error! 得 C ，(1，32)所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为| OC| ，1 (32)2 132所以，x 2y 2 的最小值为 .134(2)令 v ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点( x，y )与原点相连的直线 l 的斜率为 v，即yxv .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C
4、 时，v 最大，y 0x 0由(1)知 C ，(1，32)所以 vmax ，所以 的最大值为 .32 yx 32跟踪训练 2 已知 x，y 满足约束条件Error! 则( x3) 2y 2 的最小值为_答案 10解析 画出可行域(如图所示 )(x3) 2y 2 即点 A(3,0) 与可行域内点(x ，y)之间距离的平方显然 AC 长度最小，AC 2(03) 2(1 0) 210，即(x3) 2y 2 的最小值为 10.题型三 线性规划的实际应用例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原
5、料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有Error!z300x 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4) 时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z300x400y 取得最大值，最大值是 z300440042 800，即该公司可获得的最大
6、利润是 2 800 元反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线) 求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买 x 张、y 把，目标函数 zx y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为Error!由Error! 解得Error!所以 A 点的坐标为 .(2007，20
7、07)由Error! 解得Error!所以 B 点的坐标为 .(25，752)所以满足条件的可行域是以 A ，B ，(2007，2007) (25，752)O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图) 由图形可知，目标函数 zxy 在可行域内的最优解为 B ，(25，752)但注意到 xN *，yN *，故取Error!故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择1若直线 y2x 上存在点(x ， y)满足约束条件Error!则实数 m 的最大值为( )A1 B1 C. D2322某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件Error! 则 z10x10y 的最大值是(
8、)A80 B85C90 D953已知实数 x，y 满足Error!则 zx 2y 2 的最小值为_ 一、选择题1若点(x, y) 位于曲线 y|x |与 y2 所围成的封闭区域， 则 2xy 的最小值为( )A6 B2 C0 D22设变量 x，y 满足约束条件Error! 则目标函数 z3xy 的最大值为( )A4 B0 C. D4433实数 x，y 满足Error!则 z 的取值范围是( )y 1xA1,0 B(，0C1，) D 1,1)4若满足条件Error!的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，则整数 a的值为( )A3 B2 C1 D05已知 x，y 满足Er
9、ror!目标函数 z2xy 的最大值为 7，最小值为 1，则 b，c 的值分别为( )A1,4 B1，3C2，1 D1，26已知 x，y 满足约束条件Error!使 zxay(a0) 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A3 B3 C1 D1二、填空题7若 x，y 满足约束条件Error!则 zx2y 的取值范围是 _8已知1xy 4 且 2x y3，则 z2x3y 的取值范围是 _(答案用区间表示)9已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组Error!给定若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为( ，1)，则 z 的最大值为_2 OM OA 10满足|x|
10、|y|2 的点(x ， y)中整点(横纵坐标都是整数)有_个11设实数 x，y 满足不等式组Error! 则 z|x2y4| 的最大值为_三、解答题12已知 x，y 满足约束条件Error! 目标函数 z2xy，求 z 的最大值和最小值13设不等式组Error!表示的平面区域为 D.若指数函数 ya x 的图象上存在区域 D 上的点，求 a 的取值范围14某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利
11、润 120 元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1答案 B解析 如图，当 y2x 经过且只经过 xy30 和 xm 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m, 2m)在直线 xy30 上，则 m1.2答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由于 x，yN *，计算区域内与最近的点为 (5,4)，故当 x5，y4 时，z 取得最大值为 90.(112，92)3答案 12解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 zmin 2
12、.(12) 12课时精练答案一、选择题1答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得 A(2,2) ，设 z2xy，把 z2xy 变形为 y2xz，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 zmin2(2)26，故选 A.2答案 D解析 作出可行域，如图所示联立Error! 解得Error!当目标函数 z3xy 移到(2,2)时，z3xy 有最大值 4.3答案 D解析 作出可行域，如图所示，的几何意义是点( x，y )与点(0,1)连线 l 的斜率，当直线 l 过 B(1,0)时 kl 最小，最小为1.y 1x又直线 l 不能与直线 xy0 平行，k l1.综上，k1,1)4答案 C解析 不等式
13、组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)当 a1 时，正好增加( 1，1)，(0，1) ，(1，1)，(2 ，1)，(3，1)5 个整点故选 C.5答案 D解析 由题意知，直线 xbyc 0 经过直线 2xy7 与直线 xy4 的交点，且经过直线 2xy1 和直线 x1 的交点，即经过点 (3,1)和点(1，1)，Error! 解得Error!6答案 D解析 如图，作出可行域，作直线 l：x ay0，要使目标函数 zxay(a0) 取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 xy5 重合，故 a1，选 D
14、.二、填空题7答案 2,6解析 如图，作出可行域，作直线 l：x2 y0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为2,68答案 3,8解析 作出不等式组Error!表示的可行域，如图中阴影部分所示在可行域内平移直线 2x3y 0，当直线经过 xy 2 与 xy4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值 zmin23313；当直线经过 xy 1 与 x y3 的交点 B(1，2) 时，目标函数有最大值zmax21328.所以 z3,89答案 4解析 由线性约束条件Error!画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z x
15、y，将其化为OM OA 2y xz ，结合图形可知，目标函数的图象过点( ，2)时，z 最大，将点( ，2)代入 z2 2 2x y，得 z 的最大值为 4.210答案 13解析 |x| |y|2 可化为Error!作出可行域为如图正方形内部(包括边界) ，容易得到整点个数为 13 个11答案 21解析 作出可行域(如图)，即ABC 所围区域( 包括边界)，其顶点为 A(1,3)，B(7,9) ，C(3,1)方法一 可行域内的点都在直线 x2y40 上方，x2y40，则目标函数等价于 zx2y 4，易得当直线 zx2y 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 zmax21.方法二 z|x
16、2y 4| ，|x 2y 4|5 5令 P(x，y)为可行域内一动点，定直线 x2y40，则 z d，其中 d 为 P(x，y) 到直线 x2y 40 的距离5由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，故 d 的最大值为 .|7 29 4|5 215故目标函数 zmax 21.215 5三、解答题12解 z2xy 可化为 y 2xz，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候作一组与l0：2xy0 平行的直线系 l，经上下平移，可得：当 l 移动到 l1，即经过点 A(5,2)时，zmax2528.当 l 移
17、动到 l2，即过点 C(1,4.4)时，zmin2 14.42.4.13解 先画出可行域，如图所示，ya x 必须过图中阴影部分或其边界A(2,9) ，9a 2，a3.a1，1a3.14解 由题意可画表格如下：方木料(m 3) 五合板(m 2) 利润(元)书桌(张) 0.1 2 80书橱(个) 0.2 1 120(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，则Error! Error!0x 300.所以当 x300 时，z max8030024 000(元) ，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱 y 个，可获得利润 z 元，则Err
18、or! Error!0y 450.所以当 y450 时，z max12045054 000(元) ，即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元，则Error! Error!z80x 120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图) 作直线 l：80x 120y0，即直线 l：2x 3y0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，此时 z80x120y 取得最大值由Error!解得，点 M 的坐标为(100,400)所以当 x100，y 400 时，zmax8010012040056 000(元) 因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大
