1、1专题 39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数 n的命题（例如数列，不等式，整除问题等） ，则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设 k成立，再结合其它条件去证 1nk成立即可.证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 0n（ 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 ,kN成立，证明当 k时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： 0n时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）
2、数学归纳法所证命题不一定从 1开始成立，可从任意一个正整数 0n开始，此时归纳验证从0n开始 （2）归纳假设中，要注意 0kn，保证递推的连续性（3）归纳假设中的 ，命题成立，是证明 1nk命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1nk与 的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设 nk命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它 nk的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设 nk，命题均成立，然后证明 1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 0n（ 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设
3、：假设 ,kN成立，证明当 1nk时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： 0n时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值 n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】2例 1.【2018 届重庆市第一中学 5 月月考】已知 为正项数列 的前 项和， ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 ，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合 ，以下用数学归纳法进行证明：当 时，结论是成立的，假设当 时，数列的通项公式为： ，则 ，由题意可知： ，
4、结合假设有： ，解得： ，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知： ， ，利用等差数列前 n 项和公式可得： ，则 ，结合对勾函数的性质可知，当 或 时， 取得最小值，3当 时 ，当 时 ，由于 ，据此可知 的最小值为 .点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法例 2. 设 Sn为数列a n的前 n 项和，满足 Sn2a n2 (nN *)（1）求 的值，并由此猜想数列a n的通项公式 an；（2）用
5、数学归纳法证明（）中的猜想【答案】 （1） ；（2）见解析.当 n4 时，a 1a 2a 3a 4S 42a 42，a 416. 由此猜想： (nN *) (2)证明：当 n1 时，a 12，猜想成立 假设 nk(k1 且 kN *)时，猜想成立，即 ， 那么 nk1 时，ak1 S k1 S k2a k1 2a k a k1 =2ak ， 这表明 nk1 时，猜想成立，由知猜想 成立点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.4例 3已知数列 满足： ， .（）试求数列 ， ， 的值；（）请猜想 的通项公式 ，并运用数学归纳法证明之.【答案】
6、 （） ， ， . （） ，证明见解析.由此猜想 . 下面用数学归纳法证明之： 当 时， ，结论成立； 假设 时，结论成立，即有 ， 则对于 时，当 时，结论成立.5综上，可得对 ， 成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证 时成立） ；第二步：归纳递推（即假设 时成立，验证 时成立） ； 3、两个条件缺一不可，在验证 时成立时一定要用到归纳假设 时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.例 4.【2018 届浙江省温州市高三 9 月一模】已知数列 中， ， （ ） （1）求证： ；（2）求证： 是等差数列；（3）设 ，记数列 的前 项和为
7、，求证： 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简 ，由可得 是等差数列；（3）由（2）可得 ，从而可得，先证明 ，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.6（2）由 ，得 ，所以 ，即 ，即 ，所以，数列 是等差数列（3）由（2）知， ， ，因此 ，当 时， ，即 时， ，所以 时， ，显然 ，只需证明 ， 即可当 时， 例 5.已知函数 2ln,10bfxaxf（1）若函数 f在 1处切线斜率为 ， 21 1nnaf，已知 14a，求证：2na（2）在（1）的条件下，求证： 12125naa7【答案】见解析下面用数
8、学归纳法证明： 2na当 1n时， 4成立假设 kN成立，则 1k时121kka2ka45n时，不等式成立,2nNa（2） 1121nna由（1）可知 n 11221nnnnaa211 nnnna1212nnaa 8121255nna例 6 【浙江省绍兴市 2018 届 5 月调测】已知数列 中 .（1）证明： ；（2）设数列 的前 项和为 ，证明： 【答案】 （1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：当 时， ， ，显然有 .假设当 ，结论成立，即 ，那么 ， ，即 ，综上所述 成立. （2）由（1）知： ， ，即 ， ；9点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出
9、数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点例 7 【福建省南平市 2018 届 5 月检查】己知函数 .（）求函数 的单调区间；（）若函数 的最小值为-1， ，数列 满足 ， ，记， 表示不超过 的最大整数证明： 【答案】 （）见解析; （）见解析.详解：（）函数 的定义域为 .1、当 时， ，即 在 上为增函数；102、当 时，令 得 ，即 在 上为增函数；同理可得 在 上为减函数.（） 有最小值为-1， 由（）知函数 的最小值点为 ，即 ，则 ，令 ，当 时， ，故 在 上是减函数所
10、以当 时 ， .（未证明，直接得出不扣分）则 .由 得 ，从而 . ， .猜想当 时， .下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 时，猜想正确.2、假设 时，猜想正确.即 时， .当 时，有 ，由（）知 是 上的增函数，则 ，即 ，11例 8.已知函数 ，在原点 处切线的斜率为 ，数列 满足 为常数且， （1）求 的解析式；（2）计算 ，并由此猜想出数列 的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析（2） ，则 ， ，由此猜想数列的通项公式应为 12（3）当 时，猜想显然成立，假设 时，猜想成立，即 ，则当 时， ，即当 时，猜想成立由知， 对一切正整
11、数 都成立例 9.已知数列 是等差数列， . (1)求数列 的通项公式 ；(2)设数列 的通项 (其中 且 )记 是数列 的前 项和，试比较 与的大小，并证明你的结论.【答案】 （1） ；（2）当 时， ,当 时， ，证明见解析.详解：(1) 设数列b n的公差为 d,由题意得 ,b n=3n2 .(2)证明：由 bn=3n2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+loga(1+ )=loga(1+1)(1+ )(1+ )而 logabn+1=loga ,于是，比较 Sn与 logabn+1 的大小比较(1+1)(1+ )(1+ )与 的大小 13取 n=1，有(1+1)=取 n=
12、2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+ )(1+ ) (*) 当 n=1 时，已验证( *)式成立 假设 n=k(k1)时( *)式成立，即(1+1)(1+ )(1+ )则当 n=k+1 时，,即当 n=k+1 时，( *)式成立由知，( *)式对任意正整数 n 都成立 于是，当 a1 时，S n logabn+1 ,当 0a1 时，Sn logabn+1 .例 10.【2018 年浙江省高考模拟】已知数列 nx满足： 11,nnxx.证明：当 *N时，（1） 10nx；（2） 133n；（3）12nx.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析14由数列的递推式，以及（2）的结
13、论可得 13102nnxx，根据等比数列的通项公式即可证明23nx，再结合已知可得 11nnn，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明： 0nx当 n时， 10x成立假设 k时 ，成立，那么 1k时，假设 10kx，则 1kkxx，矛盾所以 0，故 n得证所以 11n nxxx，故 10nx（2）由 1n得 196nxx 211646nnnxx设 24(0)f 则 12xfx 251491228xx（3）由（2）得 13102nnxx，则 13nx 1232nn15所以23nx又 10x，所以 112nnxx，所以 1132nnnxx，故123nnx所以1n，所以12233nnx【精选
14、精练】1用数学归纳法证明“ ”时，由 时等式成立推证 时，左边应增加的项为_ .【答案】点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.2用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为 8，公差为6，因此第 n 项为 x+kw3已知数列 中， 且 .（1）求 ， ， ；16（2）根据（1）的结果猜想出 的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；（3）若 ，且
15、，求 .【答案】 （1） ；（2） ，证明见解析；（3） .（2）由此猜想 . 下面用数学归纳法加以证明：当 时，由（1）知 成立； 假设 ，结论成立，即 成立.则当 时，有 ，即即 时，结论也成立； 由可知， 的通项公式为 . （3）由（2）知，.4已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .17（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 . （2）用数学归纳法证明猜想的结论.由此猜想 ，（2）下面用数学归纳法证明 ，当 时，显然成立，假设当 时猜想成立
16、，即 ，由题意得 ， ， ，当 时猜想也成立，由和，可知猜想成立，即 .18点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的 时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到 或 ，要注意联想到项和公式解题.5已知数列 满足 ， .（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想 ；（2）下面用数学归纳法证明 ，当 时，显然成立，假设当 时猜想成立，即 ，由题意得 ，当 时猜想也成立；由和，可知猜想成立，即 .6已知数列 满足 且 .（1）计算 、 、 的值，由此猜想数列 的通项公式
17、； （2）用数学归纳法对你的结论进行证明【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析.19【解析】试题分析：（1）由 , ，将 代入上式计算出 、 的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于 ，用数学归纳法证明即可.当 时，证即当 时，结论也成立， 由得，数列 的通项公式为 .7在数列 中， ， ， ， ， （ ）计算 ， ， 的值（ ）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明【答案】 （1） ， ， ；（2） ，证明见解析.（ ）由（ ）可猜想： ，证明：当 时， ，等式成立，假设 时，等式成立，即20，则当 时， ，即当 时，等式也成立，综上所述，对任意自然数 ， 8已知数列数列a n的通项公
18、式 an(1) n(2n1)(nN *)，S n为其前 n 项和(1)求 S1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】(1)S 11，S 22，S 33，S 44；(2)答案见解析.【解析】试题分析：()根据 12nna，代入 1,234n计算，可求 1234,S的值；()由()猜想 n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验 n时等式成立，假设 nk时命题成立，证明 k时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得 S11，S 2132，S 31353，S 413574；(2)猜想： Sn(1) nn.证明：当 n1 时，猜想显然成立
19、；假设当 nk 时，猜想成立，即 Sk(1) kk，那么当 nk1 时， Sk1 (1) kk ak1 (1) kk(1) k1 (2k1)(1) k1 (k1)即 nk1 时，猜想也成立故由和可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用.9设 0t， txf，令 1a， 1nnfa， N.（1）写出 2a， 3， 4的值
20、，并猜想数列 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a 11，a 2 t，a 32t；a 432t，猜想 an 12nt（nN +） ；(2)证明见解析.21试题解析：（1）a 11，a 2f（a 1）f（1） 1t，a3f（a 2）2t；a 4f（a 3）32t，猜想 an 12nt（nN +） ；（2）证明：易知，n1 时，猜想正确. 假设 nk 时猜想正确，即 ak 12kt，则 ak1 f（a k） kta= 1211=kkktt ttt.这说明 nk1 时猜想正确. 由知，对于任何 nN +，都有 an 12nt.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于
21、解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据10.【2017 浙江，22】已知数列x n满足：x 1=1，x n=xn+1+ln(1+xn+1)（ Nn）证明：当 Nn时，22（）0x n+1x n；（）2x n+1 xn 12；（） 12nx n 【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】（）由 11)ln(nnxx得 211114(2)ln()nnnxxxx【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数
22、学归纳法证明不等式；（2）23构造函数 2()()ln1(0)fxxx，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明11 【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列 na的首项 12， *1,2nnaN.（）证明： 01n；（） 记 21nnab， nT为数列 nb的前 项和，证明：对任意正整数 n， 310T.【答案】()见解析；()见解析.【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证，（）由已知 12na，即 1na，可得数列 na为递增数列.又 1nnna n，易知 1n为递减数列，试题解析：（）证明：当 1n时显然成立；假设当 nk *N时不等式成立，即 01k
23、a，那么当 1时， 12kka 2k，所以 10ka，即 nk时不等式也成立.综合可知， 0n对任意 *N成立. 24（） 12na，即 1na，所以数列 na为递增数列.又 1nnna 2n，易知 1n为递减数列，所以 1n也为递减数列，所以当 2时， 1na 2a 154 90 所以当 时， 1nnb 1 114n nna 当 1n时， 19340nT，成立；当 2时， 2nb 32431940naaa 12940na297114050综上，对任意正整数 ， 3nT12已知 ， .（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值；（3）若 是 展开式中所有无理项的二项式系数和，数列 是各项都大于 1 的数组成的数列，试用数学归纳法证明: .【答案】 （1） . （2）165.（3）见解析.25所以 .（3）因为 ，所以要得无理项， 必为奇数，所以 ， 要证明 ，只要证明 ，用数学归纳法证明如下：（）当 时，左边=右边，当 时， ， 时，不等式成立.综合（） （）可知 对一切 均成立.不等式 成立 . 点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证 时结论成立；（2）假设 时结论正确，证明 时26结论正确（证明过程一定要用假设结论） ；（3）得出结论.
