1、第十二章 格林函数法Method of Green Function,1,泊松方程的格林函数 用电像法求格林函数 含时间的格林函数 用冲量定理法求格林函数 推广的格林公式及应用,2,一、 分离变量法和镜像法能解的情况,1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。,2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。,第一节 泊松方程的格林函数法,3,能用Green定理求解静电边值问题的情况:给定区域V内电荷分布 和区域V的边界面
2、S上各点的电势 s 或电势法向导数 。第一类边值问题:给定S上的电势s, 也称狄利克莱边值问题; 第二类边值问题:给定S上的 ，也称诺埃曼边值问题。,二、 Green函数法能解的情况,4,下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决的。 三、点电荷密度的 函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在 处有一点电荷Q，则电荷密度可写为显然,5,对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为四、Green函数一个处在 点上的单位点电荷，它所激发的电势方程为假设有一包含 点的某空间区域V，在V的边界S上 有如下边界条件,6,则把满
3、足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。Green函数一般用 表示， 表示单位电荷所在的位置， 代表观察点，在（3）式和（4）式中，把 换成G，即Green 函数所满足的方程和边界条件为,7,五、Green公式和边值问题的解在这里，将用Green公式把一般Poisson方程的边值问题的解用Green 函数联系起来。（1）先看Green公式的两种形式根据 Gauss 定理，知道当 均为连续，可微的标量点函数，故,8,于是，有式中V为包围面S所围的面积，该式称为Green第一公式。如果上式中的 对调，即 ，同理得到,9,将（6）式减去（7）式，
4、得该式称为Green第二公式,Green第一、第二公式是等价的。同时，视方便而选取之。Green公式对解静电问题的意义是：在区域V内找一个待定函数 （ 为待求），通过这个公式从已知确定未知。,10,相应的Green函数问题是：边界条件：现在，取 满足取 满足代入Green第二公式，有,11,因为Green公式中积分，微分都是对变量 进行的，由于Green函数关于源点和场点是对称的，即，为方便起见，把变量 换为 ，故有 改为 ，即得,12,该式左边第二项为得到,13,故得到这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。讨论几点：a) 在区域V中，任一点的势唯一地决定 电荷分布及边界的值,14,
5、b) 如果所取的Green函数属于第一类问题，即这时则有这实质上就是第一类边值问题的解c)如果所取的Green函数属于第二类问题，即在这里要说明一点的是：对第二类静电边值问题不能 用第二类齐次边界的Green函数，即 ，因,15,为 Green函数 所代表的物理意义是在 处存在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此即代表单位电荷在边界上所激发的电场，由Gauss定理知道由此可见故,16,从而，Green函数在边界上的最简单的形式是取这样且有第二类静电边值问题的Green函数解的形式：式中 为 在边界面S上的平均值。,17,在实际问题中，常遇到这类问题：在所考察的区域包含有无穷大的边界面，假如，考
6、察一导体球外的空间电势分布问题，这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域，所以这时边界面S故有于是故得到,18,此式称为外问题的Green函数解的形式。 六、求Green函数以上的讨论，表面上似乎把静电边值问题的解找到了，其实并非如此，因为只有把问题的Green函数找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意义。在这里介绍几种不同区域的Green函数的求解方法。,19,（1）无界空间的Green函数即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。其
7、中， 代表单位电荷的所在位置（源点坐标）， 代表观察点坐标（场点坐标）。证明上述Green函数是否满足Green函数所满足的微分方程。 证明： 选电荷所在处为坐标原点，即 ，在球坐,20,标系中考虑球对称性，得到而当r=0时，取一小球面S 包围着原点，取 对小球体积V积分，即,21,从 函数性质可知，保持小体积V的面积为1，从而有故得到,22,与微分方程比较，即有这里把 与 互换， 不变，即有 这就说明Green函数具有对称性。 第二节 用电像法求格林函数（2）上半空间的Green函数即在接地导体平面的上半空间，由于 ，属于第一类边值问题。,23,根据镜象法得到：,y,z,o,r2,r1,24
8、,这也可看到 （3）球外空间的 Green函数即在接地导体球外的空间，由 ，属于第一类边值问题。,y,z,x,R,R,R0,r,o,25,其中：根据镜象法得,26,在求解Green函数时，必须注意：求Green函数本身不是很容易的，只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解，如果 时，Green函数法也可以用来解Laplace equation的边值问题。 七、Green函数法的应用举例,27,例1 在上半空间,内求解拉普拉斯方程的第一边,值问题,28,【解】构建格林函数,29,为了把,代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式,需要先计算,即为,代入积分公式即得到,这公式叫作半空间的泊松积分,第三节 含时间的格林函数,上面两节讨论的是稳定场问题的格林函数 对于波动问题和输运问题，同样可以用格林函数法求解。一般强迫振动的定解问题：把持续作用力f(r,t)看成许多脉冲点力的叠加单位脉冲点力所引起的振动G(r,t;r0,t0)称之为波动问题的格林函数,30,31,求得了G，就可用叠加的方法求出任意力引起的振动。G满足的定解问题是,32,对于输运问题，同样地可得到其解的积分表示式,上节给出了用格林函数表示的波动方程和输运方程解的积分表示式，但其关键还是找到格林函数！,33,第四节 用冲量定理法求格林函数,G满足的定解问题是,冲量定理法处理的定解问题,34,35,36,37,38,
