1、12018-2019 学年内蒙古集宁一中(西校区)高二上学期期中考试数学（理）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直
2、 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ，则 为=|47,=|2120A 或 B 或|44 |A B C D221| 224已知命题 ： ，则 ,1A B:,1 :,1C D:,1 :,15已知命题 ( R), 命题 函数 在区间 上单调递增, 则下列命题:20 : ()=2 0,+)中为真命题的是.A B C D ()() ()6椭圆 的离心率为2+42=1A B C
3、D32 34 22 237设四个正数 a, b, c, d 成等差数列，则下列各式恒成立的是 A B C D+2 +2 +2 +2 0) 27 34A B C D216+27=1 216+29=1 264+228=1 264+236=111在 中， ，则 (+)()=(+) =A B C D30 60 120 15012已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交1,222+22=1 12点，且 ,则这个椭圆的离心率是12=221A B C D3-1 23312 232二、填空题13设椭圆 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则 b 值为225+22=1,(00) (0,3
4、) 12（1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率为 1 的直线 过椭圆 C 的左焦点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求 AB 的中点 M 的坐标21已知两点 ，直线 AM，BM 相交于点 M，且这两条直线的斜率之积为 .(2,0),(2,0)34(1)求点 M 的轨迹方程；(2)记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，过点 P 的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线 C 于 Q，R（异于点 P），求直线 QR 的斜率.22求证： （其中 ）；43+7 3(2)已知 （0，+），且 ，求证：, +=11+1+192018-2019 学 年 内 蒙 古
5、 集 宁 一 中 (西 校 区 )高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学 答 案参考答案1A【解析】因为 ，=|47,=|2120=|4或 22故选 D.【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质.4C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“ ”的否定为特称命题“,1”，故选 C.,15B【解析】【分析】利用函数的性质先判断命题 p,q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【详解】命题 ，是真命题，命题 函数 在区间 上单调:20() : ()=
6、22=(1)21 1,+)递增，在区间 上不单调，因此是假命题；0,+)则下列命题中位真命题的是 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有不等式的性质以及二次函数的性质，首先判断出命题 p,q 的真值是解题的关键.6A【解析】解：因为椭圆 ，a=1,b= ,c= ,则椭圆的离心率为 ，选 A2+42=12+214=1 12 32 327B【解析】【分析】根据等差数列的定义和性质可得 ，再由基本不等式可得 ，等量代换变+=+ +2形可得答案.【详解】因为四个正数 成等差数列，,所以 ，+=+又由基本不等式可得： ，即 ，+2+2 故选 B.【点
7、睛】该题考查的是有关基本不等式的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，基本不等式成立的条件，从而可以选出正确的结果.8C【解析】【分析】由等比中项的定义可得 ，根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式，列方程解出42=37和 ，进而求出 .1 10【详解】因为 是 与 的等比中项，4 3 7所以 ，42=37即 ，(1+3)2=(1+2)(1+6)整理得 ，21+3=0又因为 ，所以 ，故 ，1=3 =2 10=101+45=30+90=60故选 C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.9D
8、【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，之后结合目标函数的形式，得出其表示的意义，从而判断得出其最小值在哪个点处取得，得出最优解，代入求得结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示：因为 的几何意义是点 与可行域上点 间距离的平方，(+3)2+2 (3,0) (,)显然 长度最小，则 的最小值为 ，| (+3)2+2 |2=(0+3)2+(10)2=10故选 D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的有关问题，在解题的过程中，需要明确约束条件对应的可行域，再者需要根据目标函数的形式判断其类型，从而得出其在哪个点处取得最值，代入求得结果.10A【解析】【分析
9、】首先根据题中所给的条件，建立相应的等量关系式，列出对应的方程组，从而求得 a,b 的值，最后求得椭圆的方程.【详解】由题意可得 ，解得 ，2=27=342=2+2 =4,=7所以椭圆的方程为 ，216+27=1故选 A.【点睛】该题考查的是有关椭圆的方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的短轴长为 ，椭圆的离心率 ，以及椭圆中 三者之间的关系，认真审题是正确解题的关键.2= ,11B【解析】12A【解析】因为 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以 ，因为 ， 121PF2=2 12=221所以 。在 中，因为 ，所以 ，由椭圆定义可得21=6 R12 |12|=2 |1|=
10、,|2|=3，所以 。故选 A。 +3=2= 21+3=31【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系。由 是以 为直径的圆与该椭圆的一, 12个交点，得 为直角三角形。由 求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根12 12=221据椭圆定义得关于 的关系式，可求离心率。,134【解析】【分析】设椭圆焦距为 ，由已知可得 ，结合隐含条件求得 b，从而得到结果.2 5+=2【详解】设焦距为 ，则有 ，解得 ，即 ，2 252=25+=2 2=16 =4故答案是 4.【点睛】该题考查的是有关椭圆方程中对应参数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的概念，椭圆的相关性质，以及三个参数之
11、间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键.146【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点 处取得最大值(2,2).=2+=615 9+62【解析】【分析】由 ，利用基本不等式求出它的最小值.+=3(+)(1+2)=3(3+2)【详解】因为 都是正数，且 ，,3(1+2)=1则 ，+=3(+)(1+2)=3(3+2)=9+3(+2)9+62当且仅当 且 时取等号，=2 1+2=13故答案是 .9+62【点睛】该题考查的是有关量的最小值的求解问题，涉及到的知识点有基本不等式的应用，以及两个正数的分式形式和为定值，其整式形式和的最小值的求解方法，在乘的过程中，注意乘 1
12、是保持不变的.16 =5,=12+2,2 【解析】由数列 的前 项和为 ，当 时， ，当 时， =2+3+1 =1 1=1=5 2，当 时上式不成立，=1=2+3+1(1)2+3(1)+1=2+2 =1，故答案为 .=5(=1)2+2(2) = 5(=1)2+2(2) 【方法点睛】本题主要考查数列通项与前 项和之间的关系以及公式 的应 =1(2)用，属于中档题.已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时， =1 1=1 1 2由 ，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段=1 1表示 ；（4）写出 的完整表达式. 17（1）sin A ,;（
13、2） ; =17 4【解析】试题分析：（1）由同角间的三角函数关系可得 sinB 的值；（2）由正弦定理 代入=数据可求得 sinA 的值；（3）由三角形面积公式可求得 值，代入三角形余弦定理可得 值 试题解析：（1）cosB 0，且 0B sinB 35 12 45（2）由正弦定理 得 sinA = 2454 25（3）S ABC 4，即 acsinB4 2c 4，c 512 12 45由余弦定理 b2a 2c 22accosB b 22+5222535 17考点：1同角间三角函数关系；2正余弦定理解三角形；3三角形面积公式18（1） ；（2）=5=52【解析】试题分析：（1）因为 ，利用同
14、角的基本关系可得 ，再利用=230 =12=53三角形内角之间的关系，可得 即可求出 的值； 5=(+)=53+23 （2）由（1）可知 ，又由正弦定理知： ，故 ，再对对角 A 运用余弦定理：=56 =3，解得 ，再根据三角形的面积公式即可求出结果=2+222 =23 =3试题解析：（1） ， ，=230 =12=53又 5=(+)=+=53+23整理得： =5（2）由（1）可知 =56又由正弦定理知： ，故 =3对角 A 运用余弦定理： =2+222 =23解得： 或 （舍去）=3=33ABC 的面积为： =52考点：1同角的基本关系；2正弦定理；3余弦定理19（1）2n（2）【解析】解:
15、（1） ， 1=2 1+2+3=1231+3=12，即 =2=2+(1)2=2.（2）由已知： =23=23+43 +63 + 23 =232+433+634+ 23+1-得=2=23+232+233+2323+16(13)13 23+1=33+12 +3+1=32+(12)3+120（1） （2）24+23=1 (47,37)【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的椭圆方程，可以判断得出其为焦点在 x 轴上的椭圆，根据其过的点的坐标，从而判断出 b 的值，结合离心率，列出相应的等量关系式，借助于椭圆中 的关系，求,得结果；（2）首先根据题中的条件，写出直线的方程，之后与椭圆方程联立，利用韦达
16、定理以及中点坐标公式求得结果.【详解】（1）由椭圆 C： 可知其焦点在 x 轴上，22+22=1(0)因为椭圆过点 ，所以 ，(0,3) =3因为其离心率 ，解得 ，=122=12 2=4所以椭圆的标准方程为 ；24+23=1（2）由题意可知：直线方程为 ，=+1由 ，整理得 ，显然 ，24+23=1=+1 72+88=0 0设 ， ，(1,1),(2,2) (0,0)由韦达定理可得 ， ，1+2=87 1+2=1+1+2+1=87+2=67所以 AB 中点 M 的坐标是 .(47,37)【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的短轴端点，椭圆的离心率，椭圆中 三者之间的
17、关系，直线方程的点斜式，直线与椭圆的综合题，韦达定理以及中点坐标公式，,认真求解时正确解题的关键.21（1） （2）24+23=1 12【解析】【分析】（1）设点 ，通过 ，即可求出曲线 C 的方程；(,)=34（2）把 代入曲线 C 的方程，可得 ，直线 PQ 与直线 PR 的斜率互为相反数，设直线=1(1,32)PQ 的方程为 ，与椭圆方程联立，由于 是方程的一个解，所以方程的另一个解=(1)+32 =1为 ，同理 ，可得直线 QR 的斜率.=4212342+3 =42+12342+3【详解】(1)设点 ，因为 ，所以 ，(,)=34 +2 2=34整理得点所在的曲线 C 的方程为： .2
18、4+23=1(2)（2）由题意可得点 ，(1,32)直线 PQ 与直线 PR 的斜率互为相反数，设直线 PQ 的方程为 ，=(1)+32与椭圆的方程联立消去 y，得 ，(42+3)2+(1282)+(42123)=0由于 是方程的一个解，所以方程的另一个解为 ，=1=4212342+3同理 ，=42+12342+3故直线 RQ 的斜率为=(1)+32(1)32.=(82642+32)2442+3 =12【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解问题，直线与椭圆相交对应的解题的步骤与解题的思路，注意联立方程组是少不了的，注意对不满足条件的点的去除问题.22（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换求出结果；（2）直接利用关系式的恒等变换求出结果.【详解】证明：（1） ；43+= 43+3+32 43(3)+3=7（2） ，且 ，,(0,+) +=1故 1+1+1=+ + + =3+.3+2+2+2=9【点睛】该题考查的是有关不等式的证明问题，在解题的过程中，需要抓住的是基本不等式成立的条件，第一小题需要对式子进行变形，凑出基本不等式的条件，第二问需要结合题中的条件，对 1 进行变形，得到结果.
