1、天津市部分区2019 年 高 三 质 量 调查 试 卷 （ 二 ） 数 学 （ 理 ） 试 题参 考 答 案 与 评 分标 准 一、选择题： （ 本大题 共 8 个小题，每小题5 分， 共40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A A C B D 二、填空题： （ 本大题共 6 个 小 题 ， 每 小 题5 分，共 30 分 ） 9 12 55 i - 10 30 11 8 312 相交 13 63 14 84三、解答题： （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 共 80 分） 15 解： （ ）由题意 ，得 2 ( ) cos sin 3cos f x x x x
2、 1 分 13 sin2 (1 cos2 ) 22 xx 3 分 1 3 3 sin2 cos2 2 2 2 xx 3 sin(2 ) 32 x .5 分 所以 () fx 的最小正周期 2 2 T p = =p ，其最 大值为 3 1 2 . 6 分 （ ）令 2, 3 zx 则有函数 2sin yz = 的单调递增区间 是 2 , 2 , 22 k k k Z . 7 分 由 2 2 2 2 3 2 k x k ,得 5 ,. 12 12 k x k k Z 9 分 设 5 , , , 3 3 12 12 A B x k x k k Z ， 易知 , 3 12 AB I . 12 分 所以
3、，当 , 33 x 时, () fx 在区间 , 3 12 上单调 递增； 在区间 12 3 ， 上单调递减. 13 分 16 解： （ ）设事件A 为“甲恰好闯 关3 次才闯关成功的概 率” ， 则有 2 1 2 1 1 2 5 ( ) 1 (1 ) 2 3 3 2 2 3 18 PA ， 4 分 （ ）由已知得 ：随机 变 量 的所有可能取值为2,3,4 ， 5 分 所以， 2 1 1 2 32 7 2 12 2 1 P ， 6 分 1 2 1 1 2 1 1 1 ( 3) 1 (1 ) 2 3 3 2 2 3 2 2 33 1 3 P ， 8 分 1 1 1 4 1 1 2 2 3 2
4、12 P . 10 分 2 3 4 从而 12 分 所以， 7 1 1 5 ( ) 2 3 4 12 3 12 2 E x = ? ? ? . 13 分17 解：（ ）证明 ：因为 ,Q P 分别是 , AE AB 的中点， 所以， 1 / , 2 PQ BE PQ BE = ，2 分 又 1 C/ , 2 D BE DC BE = ， 所以， / PQ DC ，PQ 平面ACD ， DC 平面ACD ，3 分 所以， / PQ 平面ACD . 4 分 （ ）因为DC 平面ABC ， 90 . ACB 以点C 为坐标原点，分别以 , CD CA CB uuu r uuu r uuu r 的方向
5、为 , ,z xy 轴的正方向建立空间直角 坐标系. 5 分 则得 (0,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (2,0,0), (4,0,4) C A B D E ， 6 分所以 (0, 4,4), (2,0,4) AB DE uuu r uuu r ，7 分 所以 10 cos , 5 AB DE AB DE AB DE uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ， 8 分 所以异面直线AB 与DE 所成角的 余弦值 10 5 . 9 分 P 7 121 31 12（ ）由 （ ）可知 (0, 4,4) AB uuu r ， (4, 4,4) AE
6、uuu r ，设平面ABE 的法向量为 ( ) , , , n x y z r = 0 0 n AB n AE r uuu r r uuu r 则 ， 0 4 4 4 0 4 4 z y x z y (0,1,1) n r 所 以 = . 10 分 由已知可得平面ACD 的法向量 为以 (0,0,4) CB uuu r = ， 所以 2 cos , 2 n BC n BC n BC r uuu r r uuu r r uuu r . .12 分 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐 二面角的大小 为45 .13 分 18 解：（ ）设等比数列 n a 的公比为 ，.1 分由 43 2 29
7、3 aa a 得 2 2 2 ( 2 ) 9 3 a q q a ，.2 分 解得 3 q = 或 1 q=- .3 分 因为数列 n a 为正项数列，所 以 3 q = ，.4 分 所以，首项 2 1 1 a a q = ，5 分 故其通项公式为 1 3 n n a - = 6 分 （ ）由 （ ）得 3 2 2 2 1 log (2 1)(2 1) nn b n a n n ，.8 分 所以 1 1 1 1 1 () (2n 1)(2 1) 2 2 1 2 1 n b n n n ，.10 分 所以 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2 1 2 1 n n
8、 T b b b n n LL 1 1 1 2 4 2 2 n .13 分19 解：（ ）由椭圆的一 个焦点为 1 1,0 F 知: 1 c = ，即 22 1 ab . 2 分 又因为直线 11 BF 的方程为 0 bx y b ，即 2 3 2 1 b b = + ，所以 3 b = .4 分 由解得 2 4 a = . 故所求椭圆C 的标准方程为 22 1 43 xy += 5 分 （ ） 假设存在 过点A 的直线l 适合题意， 则 结合图形易 判断知直线l 的斜率必存在 ， 于是 可设直线l 的方程为 2 y k x ，.6 分 由 22 1 43 2 xy y k x ，得 2 2
9、2 2 3 4 16 16 12 0 k x k x k . （* ）.8 分 因为点A 是直线l 与椭圆C 的一 个交点，且 2 A x 所以 2 2 16 12 34 AB k xx k ，所以 2 2 86 34 B x k k ， 即点 2 22 8 6 12 , 3 4 3 4 kk B kk 10 分所以 2 22 16 12 , 3 4 3 4 kk OA OB kk uuu r uuu r ，即 2 22 14 16 12 , 7 3 4 3 4 kk OT kk uuu r . 因为点T 在圆 22 2 xy += 上， 所以 2 2 2 22 2 16 12 2 7 3 4
10、 3 4 kk kk ， 11 分 化简得 42 48 8 21 0 kk ，解得 2 3 4 k = ，所以 3 2 k . 12 分 经检验知，此时（* ）对应 的判别式 0 ，满足题意. 13 分 故存在满足条件的直 线l ，其方程为 3 2 2 yx . .14 分 20 解： （ ）当 2 a = 时， ( ) ln 2 f x x x ，所以 1 ( ) 2 fx x .1 分 1 1 2 1 f ， .2 分 则切线方程为 21 yx ，即 10 xy + + = . 3 分 （ ） 当 0 a = 时， ( ) ln f x x = 有唯一零 点 1 x = ；4 分 当 0
11、a 时，令 0 fx 得 1 x a = ， 所以，当 1 0, x a 时， 0 fx ，函数 ( ) fx 在区 间 1 0, a 上是增函数； 且 ) ( , 0 x f x ； 当 1 , x a 时， 0 fx ，函数 ( ) fx 是在 1 + a ， 上是减 函数， 且 ) ( , x f x ； 所以在区间 0, 上， 函数 ( ) fx 的极大值为 11 ln 1 ln 1 fa aa ， 8 分 由 1 0 f a ，即 ln 1 0 a - - ， 故所求实数a 的取值范围是 1 , e . 9 分 （ ） 设 12 0 xx ，由 ( ) 1 0 fx= ， ( ) 2
12、 0 fx= ， 可得 11 ln 0 x ax -= ， 22 ln 0 x ax -= ， 所以 ( ) 1 2 1 2 ln ln x x a x x - = - . 所以 12 12 ln ln xx a xx 10 分 要证 12 2 xx a + ，只需证 12 ( ) 2 a x x + , 即证 12 12 12 ln ln ( ) 2 xx xx xx ，即 ( ) 12 1 2 1 2 2 ln xx x x x x - + . 11 分 令 1 2 1 x t x = ，于是 12 1 2 1 2 2 2 1 ln ln 1 x x t x t x x x t ， 12 分 设函数 ( ) ( ) ( ) 21 ln 1 1 t h t t t t - = - + ，求导得 2 22 1 14 0 11 t ht t t t t ， 所以函数 ( ) ht 是 1, 上的增函数， 所以 10 h t h ，即不等式 ( ) 21 ln 1 t t t - + 成立， 故所证不等式 12 2 xx a 成立. 14 分
