1、1专题 49 离心率及其范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线 离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一把说来，小题大难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 ,abc的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） ，方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形） ，那
2、么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 a有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 ,abc进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点” ，则可考虑该点坐标用 ,abc表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于 ,abc
3、的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： 0,1e，双曲线：1,+e【经典例题】例 1.【2017 课标 3，理 10】已知椭圆 C：21xyab，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 0bxay相切，则 C 的离心率为（ ）A 63B 3C 23D 13【答案】A2【解析】点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 e ca ；x/k*w 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a 2c 2转化为 a，c
4、的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).例 2.【2017 课标 II，理 9】若双曲线 C:21xyab（ 0， ）的一条渐近线被圆24xy所截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ）A2 B 3 C 2 D 23【答案】A【解析】3例 3.【2018 届山东省济南省二模】设椭圆 的左、右焦点分别为 ,点.已知动点 在椭圆上,且点 不共线,若 的周长的最小值为 ,则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A4故选：A例 4.【2018 届云南省昆明第一中学第八次月考】已知双曲线 的左、右焦
5、点分别为，点 是双曲线 底面右顶点，点 是双曲线 上一点， 平分 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D例 5.【2017 课标 1，理】已知双曲线 C：21xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60，则 C 的离心率为_.【答案】 23【解析】试题分析：5例 6.【2018 届重庆市江津中学校 4 月月考】如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上， 为双曲线的顶点， 为双曲线虚轴的端点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（
6、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据B 1PB2为 与 夹角，并分别表示出 与 ，由B 1PB2为钝角，6. 0，得 acb 20，利用椭圆的性质，可得到 e2-e10，即可解得离心率的取值范围详解：如图所示，B 1PB2为 与 的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a，b，c，=（a，b） ， =（c，b） ，1e ，故选：C点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围基本的解题思路是建立椭圆和双曲线
7、中 的关系式，求值问题就是建立关于 的等式，求取值范围问题就是建立关于 的不等式例 7.已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A7【解析】化简得：该式可变成：,故选点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出 与 、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.例 8.【2018 届福建省漳州市 5 月测试】已知直线 与椭圆 交于 、两点，与圆 交于 、 两点若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是A. B. C. D
8、. 8【答案】C【解析】分析：先根据直线的方程判定该直线过定点 ，且该点是圆 的圆心，再利用 判定点是线段 的中点，再利用点差法进行求解详解：将 化为 ，即直线 恒过定点 ，且该点为圆 的圆心，由 ，得 是 的中点，点睛：1.判定直线 过定点 的方法：法一：化为点斜式方程 ；法二：分别令 ，得 ，解得 ；法三：化为 ，则 ；2.在处理圆锥曲线的中点弦问题时，利用点差法，可减少运算量，提高解题速度例 9.【2018 届河南省名校压轴第二次考试】已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D
9、. 9【答案】A解得 ，所以 ，所以椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 A例 10.【2018 届河南省名校压轴第二次考试】过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点， 为虚轴的一个端点，且 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_【答案】【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令 x=c，代入双曲线的方程，解得 A，B 的坐标，讨论DAB 为钝角，可得 0，或ADB 为钝角，可得 0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围详解：设双曲线 的左焦点 F1（c，0） ，令 x=c，可得 y= = ，可得 A（c， ） ，B（c， ） ，10又设 D（0，b）
10、，可得 =（c，b ） ，=（0， ） ， =（c，b ） ，由ABD 为钝角三角形，可能DAB 为钝角，可得 0，化为 c44a 2c2+2a40，由 e= ，可得 e44e 2+20，又 e1，可得 e 综上可得，e 的范围为（1， ）（ +） 故答案为：点睛：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化 为钝角三角形，这里是利用数量积 0 转化的，比较简洁高效.【精选精练】1已知椭圆 的半焦距为 ，左焦点为 ，右顶点为 ，抛物线 与椭圆交于 两点，若四边形 是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A. B.
11、 C. D. 11【答案】C详解：由题意得，椭圆 ， 为半焦距） ，的左焦点为 ，右顶点为 ，则 ，抛物线 于椭圆交于 两点，两点关于 轴对称，可设 ，四边形 是菱形， ，则 ，将 代入抛物线方程得， ，则不妨设 ，再代入椭圆方程 ，化简得 ，由 ，即有 ，解得 或 （舍去） ，故选 C.2.【2018 届湖南师范大学附属中学月考（六） 】设椭圆 的右焦点为 ,椭圆 上的两点 关于原点对称，且满足 ，则椭圆 的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 12【答案】A整理得 ，令 ，得 ，又由 ，得 ，所以 ，所以离心率的取值范围是 ，故选 A.3已知双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过
12、作 的垂线与双曲线交于 、 两点，过 、 分别作 、 的垂线，两垂线交于点 ，若 到直线 的距离小于 ， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A13为 ， 到直线 的距离小于 ， ， ，则 ，即，即 ，则双曲线的离心率的取值范围是 ，故选 A.4 【2018 届河南省郑州市第三次预测】已知双曲线 的右焦点为 为坐标原点，若存在直线 过点 交双曲线 的右支于 两点，使 ，则双曲线离心率的取值范围是_【答案】【解析】分析：先求出当直线 与 x 轴垂直时的离心率，再求出当直线 与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围14若直线 平行于渐近线时，直线 的斜
13、率为 ，直线方程为 ，代入双曲线方程可得点 A 的坐标为 ， 的斜率为 ，又此时有 ， ，整理得 ，解得 但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意双曲线离心率的取值范围是 5 【2018 届山东省烟台市高考练习（二） 】已知点 是抛物线 ： 与椭圆 ：的公共焦点， 是椭圆 的另一焦点， 是抛物线 上的动点，当 取得最小值时，点 恰好在椭圆 上，则椭圆 的离心率为_.【答案】【解析】分析：由题意可知 与抛物线相切时， 取得最小值，求出此时点 的坐标，代入椭圆方程求出 的值，即可求解其离心率详解：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，15因为 在椭圆上，且 为椭圆的焦点，所以 ，解得 或 （
14、舍去） ，所以 ，所以离心率为 6已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率 ，则 的值为_【答案】2.16故答案为：2.7 【2018 届江西省上饶市三模】已知两定点 和 ，动点 在直线 ： 上移动，椭圆以 ， 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为_【答案】【解析】分析：作出直线 y=x+2，过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|，即可得到 a 的最大值，由于 c=1，由离心率公式即可得到详解：由题意知 c=1，离心率 e= ，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则
15、c=1，17对应的离心率 e 有最大值 故答案为：点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质和点线对称问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的分析转化能力. (2)解答本题的关键是求 a 的最小值.本题求|PA|+|PB|的最小值，利用了对称的思想.求点 P 关于直线 l 的对称点 时，直线 l 实际上是线段 垂直平分线，根据垂直平分得到一个方程组，即可求出点 的坐标.8 【2018 届福建省三明市 5 月测试】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是右支上的一点， 是 的延长线上一点，且 ，若 ，则 的离心率的取值范围是_【答案】18又即 ，得：方程 有大于 的根得 ，又故答案为：9
16、如图所示，椭圆中心在坐标原点， 为左焦点， 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当 时，其离心率为 ，19此类椭圆被称为“黄金椭圆” ，类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄金双曲线”的离心率 等于_.【答案】 .则 ， ， ， ， ，解得 或 （舍去） ，黄金双曲线”的离心率 e 等于 点睛：本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为 的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于 1 这一条件10 【2018 届 5 月第三次全国大联考】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作 轴的垂线，在第一象
17、限与双曲线 交于点 设直线 的斜率为 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围为_【答案】2011 【百校联盟 TOP202018 届高三四月联考】已知 是椭圆 上关于原点对称的两点，若椭圆 上存在点 ，使得直线 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由 是椭圆 上关于原点对称的两点，易知 斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于 的不等式，从而得到椭圆 的离心率的取值范围.详解：不妨设椭圆 C 的方程为 , ,则 ，所以 ，,两式相减得 ，所以 ，所以直线 斜率的绝对值之和为 ，由题意得， ，所以 =4 ，即 ，所以 ，所以 .故答案为： .12 【2018 届云南省曲靖市第一中学 4 月监测卷（七） 】已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围是_【答案】21则 ，即 ，设 ，因为点 到直线 的距离不小于 ，所以 ，即 ，即 ，即 ，即椭圆离心率的取值范围是 点睛：（1）在处理涉及椭圆或双曲线的点和焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行转化，可起到事半功倍的效果；（2）在求椭圆的离心率时，往往用到如下转化：
