1、1专题 17 恒成立问题数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法： 分离参数 afx恒成立( maxf可)或 fx恒成立（minafx即可） ； 数形结合( yf图象在 yg 上方即可)； 讨论最值 min0或a0恒成立； 讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若 xD，均有 fxgfx的图象始终在 gx的下方（2）若 ，均有 的图象始终在 的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动” ，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而
2、发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例 1 【2018 届浙江省金华十校 4 月模拟】若对任意的 ，存在实数 ，使 恒成立，则实数 的最大值为_【答案】9【解析】若对任意的 ， 恒成立，可得：恒成立，令 ， ，原问题等价于： ，结合对勾函数的性质分类讨论：2(1)当 时， ， ，原问
3、题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；(2)当 时， ， ，原问题等价于存在实数 满足： ，原问题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；当 时， ，原问题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；综上可得：实数 的最大值为 .点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x) max；(2)af(x)恒成立af(x) min.例 2.【2018 届一轮训练】已知 log 12 (xy4)4xm3 恒成立，则 x 的取值范围是4_【答案】(，1)(3，)【解析】不等式可化为 m(x1)x 24x30 在 0m4 时恒成立令 f(m)
4、m(x1)x 24x3.结合二次函数的图象得0 4f 2430 1 1 x或 或即 x3.故答案为：(，1)(3，)例 5.已知不等式 21logaxx在 1,2上恒成立，则实数 a的取值范围是_【答案】 a可得： 1log2a，综上可得： 12a.【名师点睛】 （1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的 2x）.（3）处理好边界值是否能够取到的问题.例 6.若不等式 logsin2(0,1)axa对于任意的 0,4x都成立，则实数 a的取值范围是_【答案】 ,14a【解析】
5、本题选择数形结合，可先作出 sin2yx在 0,4的图象， a扮演的角色为对数的底数，决5定函数的增减，根据不等关系可得 01a，观察图象进一步可得只需 4x时， logsin2ax，即logsin2144a，所以 ,4例 7. 已知函数 21fxm，若对任意的 ,1xm，都有 0fx成立，则实数 m的取值范围是_【答案】 ,02m+1m【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若 0fx，则 max0f，而 fx是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以 1fm，再解出 的范围即可.例 8.已知函数 2, logxf若直线 y与函数 fx的图象只有一个交点,则实数 m的取值范围是_.【答案】
6、 0m或 ,）【解析】作出函数 f(x)的图象如图,6例 9.已知函数 fx是定义在 R上的奇函数，当 0x时， 2213fxaxa ，若,1xR，则实数 a的取值范围是_【答案】 6,【解析】 fx是奇函数且在 0x时是分段函数（以 2,a为界） ，且形式比较复杂，恒成立的不等式1f较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面 x的图象比较容易作出，另一方面 1fx可看作是 fx的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找 a满足的条件.先将 写为分段函数形式：2223,0xaf，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对
7、称作出 x负半轴图象.1fxf恒成立，意味着 fx的图象向右平移一个单位后，其图象恒在 f的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移 26a个长度，所以可得： 2661aa 7答案： 6,.例 10【2018 届河南省高三 4 月考试】已知函数 .（1）若 在 处取得极值，求 的值；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）上恒成立， 时再分两种情况讨论可得 时， 在 上恒成立，当 时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.试题解析：（1） ， 在 处取到极值， ，即 ， .经检验， 时， 在 处取到极小值.（2） ，令 ，当 时， ， 在 上单调递减.又
8、， 时， ，不满足 在 上恒成立.时， ， 单调递增， .8又 ， ，故不满足题意.当 时，二次函数 开口向下，对称轴为 ， 在 上单调递减， ， 在 上单调递减.又 ， 时， ，故不满足题意.综上所述， .【精选精练】1 【2018 届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C2.若函数 有极大值点 和极小值点 ，则导函数 的大致图象可能为（ 9）A. B. C. D. 【答案】C则导函数在区间 上为正数，在区间 上为负数，在区间 上为正数；观察所给的函数图象可知，只有 C 选项符合题意.本题选择 C 选项.3已知
9、函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】二次函数 的对称轴为 ；该函数在 上是增函数； ， ，实数 的取值范围是 ，故选 B.4. 若 |2p,不等式 21xpx恒成立,则 x的取值范围是_【答案】 13或 3【解析】思路：本题中已知 p的范围求 x的范围，故构造函数时可看作关于 p的函数，恒成立不等式变形为 210xpx,设 212fpx,即关于 的一次函数，由图10象可得：无论直线方向如何，若要 0fx，只需在端点处函数值均大于 0 即可，即 20f,解得：132x或 132x答案： 或【名师点睛】 （1）对于不等式，每个字母的地位平等
10、，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设 aR，若 0x时均有 2110axax，则 a_【答案】 3232a答案： 6.【2018 届二轮训练】当实数 x，y 满足2401 yx时，axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】 3,211【解析】要使平面区域在直线 4yax的下方，则只要 B在直线上或直线下方即可，即 214a，得302a，综上 ，所以实数 的取值范围是 3,2，
11、故答案为 3,.7 【2018 届二轮训练】已知函数 f1(x)|x1|，f 2(x) 13x1，g(x) 12fxf12fxf，若 a，b1,5，且当 x1，x 2a，b时， 12gx0 恒成立，则 ba 的最大值为_【答案】5【解析】 15ab， ， ， 且 1212 0gxxab， ， ， ， 恒成立， gx（ ） 在区间，上单调第增，函数 12121213fxffxffxfxg（ ） ， （ ） ， （ ） ，205 gf， ， ，（ ） ， ，当 0， ） 时， g（ ） ，单调减；当 1033xgx， 时 ， （ ） ， 单调增；当 5， 时， （ ） ，单调递增 05aba， 的
12、最大值为 5012故答案为 5.8 【2018 届吉林省长春市高三监测（三） 】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_.【答案】9 【2018 届吉林省长春市高三监测（三） 】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当 ，当 ，故 .故答案为：10当 1x时，不等式 1xa恒成立，则实数 a的最大值是_【答案】3【解析】令 ()1fx，则由题意可知 minfx， 1x， 123f xx，当且仅当 1x，即 时，等号成立， min3f，从而 a故实数 a的最大值是 故答案为：3.13另法： 1fx的图象即函数 1fx的图象向右、向上均平移 1 单位得到，结合图象可得解.11
13、【2018 届宁夏银川高三 4 月模拟】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，给出以下命题：当 时， ；函数 有 个零点；若关于 的方程 有解，则实数的取值范围是 ；对 恒成立，其中，正确命题的序号是_【答案】若方程 有解，则 ，且对 恒成立，故错误，正确.故答案为.12函数 的定义域为 （ 为实数）.（1）若函数 在定义域上是减函数，求 的取值范围；（2）若 在定义域上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）14【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数 在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求 的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立， ，函数 在 上单调减， 时，函数取得最小值 ，即 .
