1、- 1 -2018 年春期四川省泸县二中高二年级半期考试数学（理科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 （ ）iz25A B C Di i1i21i12点 M 的直角坐标为 化为极坐标为（ ）)2,3(A B C D )61,4(54()65,4()32,4(3化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）0sin2Ax 2+y2=0 或 y=1 Bx=1 Cx 2+y2=0 或 x=1 Dy=14.函数 f(x)ln(54 x x2)的单调递减区间是( )A. B. C. D.,14,
2、5.点( 1,2a)在圆 的内部，则 a的取值范围( )240xyA1 1 B 0 a1 C1 51 D 51a16 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f(2)0，则方程 f(x)0 在区间(0,6)内解的个数至少是( )A5 B4 C3 D27.直线 与抛物线 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且 ，则 （ yxb2xyOABb）.2A.1.18.若直线 过点 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）l(3,0)29xyA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条9.若不论 为何值，直线 与曲线 总有公共点，则 的取值范围是k()kb21xyb（ ）- 2 -A
3、. B. C. D.(3,)3,(2,)2,10一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是 ，那么3这个三棱柱的体积是( )A. B. C. D. 9631632434811定义在 上的函数 的导函数 无零点，且对任意 都有 ，R()fx()fxxR3()2fx若函数 在 上与函数 具有相同的单调性，则 的取值范围是（ ()gxfk1，f k）A B C. D0)，(3，(0，3)，12.函数 ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 使(ln2)4xaxfxee 0x成立，则实数 的值为（ ）0)3fA B C. Dln2ln21ln2ln21第卷（90 分）二.填空题（
4、本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）13.函数 在 处的切线方程为_.xf2ln)(114.已知函数 在 与 时都取得极值，若对 ，32fabxc231x1,2x不等式 2xc恒成立，则 c 的取值范围为_。15.一个长、宽、高分别为 、 、 密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转123动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 16.已知函数 ，对于任意 都有 恒xxfsin)(3Rx0)2()3(2kxfxf成立，则 的取值范围是 .k三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）17 （本小题满分
5、12 分）已知函数 f(x)e x(ax b) x24 x，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为y4 x4()求 a， b 的值； ()讨论 f(x)的单调性- 3 -18 （本小题满分 12 分）剑门关华侨城 2018 首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现34绿灯的概率是 ，现将这 4 盏灯依次记为 ， ， ， .并令11A234，设 ，当这些装饰灯闪烁一次时.(123)2,iiAia灯 出 现 红 灯 ， ， ， ，灯 出 现 绿 灯 ， 1234a（）求 的概率
6、.（）求 的概率分布列及 的数学期望 .E19.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， . ， ，SABCDABCABDC 90ADS，侧面 底面 .12BC（）求证：平面 平面 ；SBDaSA（）若 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.C60CSBD20.（本题满分 12 分）设抛物线 的焦点为 ，准线为 .已知以 为圆心，半径为 4 的圆2:(0)CypxFlF- 4 -与 交于 、 两点， 是该圆与抛物线 的一个交点， .lABEC90EAB()求 的值；p（）已知点 的纵坐标为 且在 上， 、 是 上异于点 的另两点，且满足直线P1QRP和直线 的斜率之和为 ，
7、试问直线 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，QR否则，请说明理由.21.已知函数 ， .()ln1fxaxR()当时 ，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；0()0fa（）当 时，证明： .*N23ln421ln请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。22.选修 4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，其中 为参数，xOyC23cosinxy.在以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 的极坐标为(0,)x P，直线 的极坐标方程为 .42lsin()5
8、204()求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；C（）若 是曲线 上的动点， 为线段 的中点.求点 到直线 的距离的最大值.QMPQMl- 5 -23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()|1|fx()解不等式 ；2(4)6fx（）若 、 ， ， ，证明： .abR|1b()1)fabf- 6 -2018 年春期四川省泸县二中高二年级半期考试数学（理科）答案1-6 CCADDB 7-12 ACBDAD13. ; 14. 15. 16. 03yx (15)，,217解：(1) f( x)e x(ax a b)2 x4， 由已知得 f(0)4， f(0)4，故 b4， a b8 从而 a4
9、， b4 (2) 由(1)知， f(x)4e x(x1) x24 x，f( x)4e x(x2)2 x44( x2) 1e令 f( x)0 得， xln 2 或 x2 当 x(，2)(ln 2，)时， f( x)0；当 x(2，ln 2)时， f( x)0 故 f(x)在 (，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减 18.解：解：（） 由题意得 .224317()()8pC（） 的可能取值为 0,1,2,3,4，而 ，4431()()(0,23)kkpC 的概率分布列为 = .E319.证明：（）因为 ， .90ABCD所以 ， 是等腰直角三角形，45CBD故 .2 0
10、1 2 3 4P 2564786125- 7 -因为 ， ，2ABD45AB所以 ，C ，即 .90因为侧面 底面 ，交线为 ，SABAD所以 平面 ，所以平面 平面 ；BDS（）过点 作 交 的延长线于点 ，EE因为侧面 底面 ，SABC所以 是 与底面 所成的角，即 ，D60SD过点 在平面 内作 ，DFA因为侧面 底面 ，SAB所以 底面 .FC如图建立空间直角坐标系 .Dxyz设 ， ， ， ，1BCD(02)2(0)C，26(0)S，则 ， ，() 6BSBC设 是平面 法向量mxyz，则20602xyz取 (301)m，设 是平面 法向量nxyzSBC- 8 -则 ，2062xyz
11、取 ，(31)n，.222| 7|cos(3)1()3)1mn，所以二面角 的余弦值为 .CSBD7方法二：（）过点 作 交 的延长线于点 .EADE因为侧面 底面 .SADBC所以 是 与底面 所成的角，即 .E60SDE设 ，则 ，1BC2S在 中， ， ，SDRt 26E所以 ， ，2取 中点 ，因为 ，所以 .SBFBSDFSB过点 作 交 于点 ，连接 ，GCG则 是二面角 的平面角.D在 中， ， ，SB 2cos4B由余弦定理得： .5G可求得 ， .75F2C在 中，由余弦定理得 .D 5D在 中，可求得 ，SB 1F所以 ，7cosG- 9 -所以二面角 的余弦值为 .CSB
12、D720.解：（1）设 ， ，则由 得 因为 在 上，所以 . 因此点 的轨迹方程为（2）由题意知 设 ，则，由 得又由（1）知 ，故所以 ，即 .又过点 存在唯一直线垂直于 ，所以过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 .21.解：（1）由 ，得 .()0fxln10xa()x整理，得 恒成立，即 .1lnaminl令 .则 .()Fx2()Fxx函数 在 上单调递减，在 上单调递增.(0,1(1,)函数 的最小值为 .)lnx ，即 .a 的取值范围是 .1,)（2） 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和.4n()2nn1(1)nn只需证明 即可.11l()()由（1） ，当 时，有 ，
13、即 .aln0x1lnx- 10 -令 ，即得 .1nx1lnn1 .22l()()22现证明 ，21ln()即 . l1n1n(*)现证明 .2ln()x构造函数 ，()2lnGx()则 .21x210函数 在 上是增函数，即 .(),)()10Gx当 时，有 ，即 成立.1x(0Gx2ln令 ，则 式成立.n*)综上，得 .211ln()()对数列 ， ， 分别求前 项和，得(1)n2l(1)nn.23l42l22.解：（1）直线 的极坐标方程为 ，即lsi()5204.sincos10由 ， ，可得直线 的直角坐标方程为 .xinyl 1xy将曲线 的参数方程 消去参数 ，得曲线 的普通
14、方程为C23cosixC.21(0)4xy- 11 -（2）设 .(3cos,2in)Q(0)点 的极坐标 化为直角坐标为 .P4(4,则 .(cs,i)M点 到直线 的距离 .l3cosin102d2sin()10362当 ，即 时，等号成立.sin()1356点 到直线 的距离的最大值为 .Ml23.解：23.解：（1）由 得： ，(2)4)6fxf|21|3|6x当 时， ，解得 ；3x133当 时， ，解得 ；2当 时， ，解得 ；1x6x43x综上，不等式的解集为 .|2或（2）证明： ，()1)|fabfab因为 ， ，即 ， ，|1|22所以 2|22b21ab，2()0ab所以 ，即 ，所以原不等式成立.22|1|a|1|ba
