1、2018 届天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学（理）1、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分1.已知 i是虚数单位，则复数 i13iDCiBA 21222 2.设变量 yx,满足约束条件 24yx，则目标函数 yxz的最小值是8524DCBA3.阅读右面的程序框图，则输出的 S5203014.在12x的二项展开式中， 4x的系数为 15150DCBA5.已知 03|,41| xNxM，那么 ”“Ma是 N的必 要 而 不 充 分 条 件充 分 而 不 必 要 条 件 BA既 不 充 分 也 不 必 要 条 件充 分 必 要 条 件 DC6.已知双曲线 0142ayx的右焦点与
2、抛物线 xy12的焦点重合，则该双曲线的离心率为53233559 DCBA7.已知定义在 R上的函数 1mxf（ 为实数）为偶函数，记 3log5.0fa， 5log2fb，mfc2，则 cba,的大小关系为 cbDbcaCBA 8.已知函数 0log12xxf，若方程 xf恰有四个不同的解 43214321,xxx，则 42313xx的取值范围是 1,1,1, DCBA2、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分9.设集合 ,3a， ,22a，若 3BA，则实数 a10.设数列 n是首相为 1，公差为 的等差数列， nS为其前 项和.若 421,S成等比数列，则 2a的值为11.直
3、角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 BA,分别在曲线sin4co3:1C（ 为参数）和曲线 1:2C上，则 AB的最小值为12.函数 4,43cos3i2xxxf 的最小值为13.已知棱长为 2的正四面体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为14.梯形 ABCD中， 60,2,1,/ DABCAB，点 E在线段 BD上，点 F在线段上，且 4,FEE，则 的最小值为 3、解答题：本大题共 6个小题，共计 80分15.（本小题满分 13 分）设 ABC的内角 ,所对的边分别为 cba,，且 97cos,26Bb(1)求 ca,的值(2)求 sin的值16.
4、（本小题满分 13 分） 一盒中装有 9张各写有一个数字的卡片，其中 4张卡片上的数字是 1， 3张卡片上的数字是 2， 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3张卡片.(1)求所取 张卡片上的数字完全相同的概率(2) X表示所取 张卡片上的数字的中位数，求 X的分布列与数学期望.（注：若三个数 cba,满足 c，则称 b为这三个数的中位数）17.（本小题满分 13 分）如图， 90,/,ACBPDABPC平 面 ， E为 PB的中点， 1BCAD， 2P.(1)求证： E平 面/(2)求证： 平 面(3)设 Q为线段 PB上一点， PBQ，试确定实数 的值，使得二面角 BCDQ为 4518.（本
5、小题满分 13 分）正项等比数列 na的前 项和记为 nS， 1a， 3.(1)求数列 的通项公式(2)等差数列 nb的各项为正，且 52b，又 321,bab成等比数列，设 nbaA，求数列nA的前 项和 T.19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 012bayx经过点 3,，离心率为 21，左右焦点分别为 0,21cF.(1)求椭圆的方程(2)若直线 mxyl:与椭圆交于 BA,两点，与以 21,F为直径的圆交于 DC,两点，且满足435CDAB，求直线 l的方程 . 20.（本小题满分 14 分）已知函数 axfln的最小值为 0，其中 a. (1)求 a的值(2)若对任意的 ,0，有
6、2kxf成立，求实数 k的最小值(3)证明： *12ln1 Nnin 天津市耀华中学 2018 届高三年级暑假验收考试数学参考答案（理科）一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分1.A； 2.C； 3.B； 4.C； 5.B； 6.D； 7.A； 8.B二、填空题：本大题共 6小题，每小题 分，共 3分9. 1； 10. 23； 11.3； 12.21； 13. 23； 14. 3641三、解答题：本大题共 个小题，共计 80分15.（本小题满分 13 分）解：(1)由 97cosB与余弦定理得， acca9142，又 6，解得 3ca(2) 又 a， 2b， 94in与正弦定理
7、得， 32sinA， 1cos.所以 2710sincosisinBABA16.（本小题满分 13 分）解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 845394CP(2) X的所有可能值为 1，2，3，且 47139524CP， 2393162143XP，21397，故 的分布列为：X1 2 3P4784312从而 281382417E17.（本小题满分 13 分）(1)证明：以 C 为原点建立空间直角坐标系 xyzC， 0,1B， ,D， 20，P则 120，E， 021，D，易知 ,P为平面 ABC 的一个法向量，PCE，0ABD平 面， ABD平 面/；(2)证明： 1,， 0,，
8、 1,C，0CP， ， DP， ，BPDB平 面,；(3)解：由(2)知平面 BCD 的法向量为 1,02,10P， 2,Q， ， 2,0Q而 2,0,1CQD，设平面 QCD 的法向量为 0,zyxn，由 n得， 00zyzx，令 10z，则 0， 20，即 12， n，故 486245cos PDn，解得 2，由 10，得， 2.18.（本小题满分 13 分）解：(1)设公比为 q，则 323qS，得 4q或0na， ， 11nna；(2)设 b的公差为 d，由 52b，可设 db5,31，又 1， 32， 9，由题意可得 239，解得 0,d， 等差数列 n的各项为正，0， 351db，
9、 121ndb；2nnaA，则 32397nT ，nT973343，由-得， nn 312312 nn31312， nT.19.（本小题满分 14 分）解：(1)由题设 b， 2ac， 2cab，解得 1,3,cba椭圆的方程为 1342yx；(2)由题设，以 1F， 2为直径的圆的方程为 12yx，圆心到直线 l的距离为 52md由 1d得， 25m， 222 4541mdCD，设 1,yxA， ,B，由 mxy2342得， 0322x，21， 21， 222 415341mmAB，由 435CDAB得， 142m，解得 3，满足，直线 l的方程为 3xyxy或 .20.（本小题满分 14
10、分）解：(1) )(xf的定义域为 ,a 11，由 0xf，得 a1当 xa时， f，函数 )(单调递减；当 时， 0，函数 xf单调递增，f1为唯一的极小值，也是最小值，故由题意 1af，所以 1.(2)当 0k时，取 x，有 02lnf，故 k不符合题意当 时，令 2kxg，即 21lxxg121kxxg令 0，得 ， 2k当 2k时， 0k， xg在 ,0上恒成立，因此 xg在 ),0上单调递减，从而对于任意的 ),x，总有 ，即 2kxf在 ),0上恒成立，故 21k符合题意.当 210k时， 0k，对于 kx21,， 0xg故 xg在 ,内单调递增，因此，当取 ,0时， 00g，即 20kf不成立.故 1不符合题意.(3)证明：当 n时，不等式左边 23ln右边，所以不等式成立，当 2时， 12ln1ll121 iiiiif nnini在(2)中取 2k得， )0(2xf，从而2,1312 iNiiif所以 ninini if211 13l2l 13l32l2 iiini综上 ni Nn1,1l.
