1、- 1 -东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三数学第一次模拟考试试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 21i的模为( )A. B. 2C. 2D.22.已知集合 9Axy， Bxa，若 AB，则实数 a的取值范围是( )A.,3B.,3C.,0D.3,3.从标有 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )A. 4B. 12C.13D. 234.已知 sin3a，则 5cos6a(
2、 )A.1B. 13C. 23D. 235.中心在原点，焦点在 y轴上的双曲线的一条渐近线经过点 2,4，则它的离心率为( )A. 52B.2 C. D. 56.51x展开式中的常数项是( )A. 2B. 12C.8 D. 87.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是( )- 2 -A. 32B. 92C.1 D.38.已知函数 3sincos0fxx的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 2，则该函数的一个单调增区间为( )A. ,36B. 5,12C. 2,63D. ,39.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输
3、入 85m， 605n，则输出 m的值为( )A.148 B.37 C.333 D.010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥 SABCD ，该四棱锥的侧面积为 43，则该半球的体积为( )A. 43B. 23C.823D. 42311.已知抛物线 :Cyx，直线 1:lyxb与抛物线 C交于 A， B两点，若以 AB为直径的圆与 x轴相切，则 b的值是( )A. 15B. 25C. 45D. 8512.在 ABC ， 90 ， ABC， ,MN是边 AB上的两个动点，且 1MN，则MN的取值范围为 ( )- 3 -A. 1,94B.5,9
4、C. 15,94D. 1,54二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 ABC 中， 2， 7AC， 23B ，则 C_.14.若 ,xy满足约束条件104xy，则 1yx的最大值为 _.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 A、B、 C，已知：甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；在哈尔滨工作的教师不教 C学科；在长春工作的教师教 A学科；乙不教 B学科.可以判断乙教的学科是_.16.已知函数 21lnfxx， 0是函数 fx的极值点，给出以下几个命题： 01e； 0e； f； 0f；其中正确的命题是_.(填出所有正确命题的序号)
5、三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列 na满足： 243nnSa，其中 nS为数列 na的前 项和.(1)求数列 的通项公式；(2)设 21nba，求数列 nb的前 项和 nT.18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润 200 元，未销售的产品返回厂家，每台亏损 50 元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间 20,1，需求量为 100 台；最低气温位于区间 25,0，需求量为 200 台；最低气温位于区间 35,，需求量为 300 台。公司销售部为了确定 11 月份的订购计
6、划，统计了前三年 11 月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温() ,030,2525,020,1515,0天数 11 25 36 16 2以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.- 4 -(1) 求 11 月份这种电暖气每日需求量 X(单位：台)的分布列；(2) 若公司销售部以每日销售利润 Y(单位：元)的数学期望为决策依据，计划 11 月份每日订购 200 台或 250 台，两者之中选其一，应选哪个？19.如图，四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD，且 PA，底面 BCD为矩形，点 M、 E、 N分别为线段 、 、 的中点， F是 E上的一点， 2F
7、E.直线P与平面 所成的角为 4.(1)证明： PE平面 MNF；(2)设 ABD，求二面角 B的余弦值.20.已知椭圆 2:10xyCab过抛物线 2:4Mxy的焦点 F， 1， 2分别是椭圆的左、右焦点，且 126F.(1)求椭圆 的标准方程；(2)若直线 l与抛物线 M相切，且与椭圆 C交于 A， B两点，求 OAB 面积的最大值.21.已知函数 xfe， lngx， hkxb.(1)当 0b时，若对任意 0,均有 fgx成立，求实数 k的取值范围；(2)设直线 hx与曲线 fx和曲线 gx相切，切点分别为 1,Af， 2,Bxg，其中 10.求证： 2xe；当 时，关于 的不等式 1l
8、n0axx恒成立，求实数 a的取值范围.22.已知曲线 1C的极坐标方程为： 4cos，以极点为坐标原点，以极轴为 x轴的正半轴建- 5 -立直角坐标系，曲线 2C的参数方程为：132xty( 为参数)，点 3,0A.(1)求出曲线 1的直角坐标方程和曲线 2C的普通方程；(2)设曲线 C与曲线 2相交于 P， Q两点，求 APQ的值.23.已知不等式 51xax.(1)当 1a时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为 R，求 的范围. - 6 -答案一选择题：CABBA BDABD CA二填空题：13.1 14. 32 15.C 16. 三解答题：17. （本题满分 12 分）解：（）令
9、1n，得 21143a，且 0na，解得 13. 当 2时， 1nnS，即 2142nnna， 整理得 11()(2)0na， Qn， 1， 所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，故 3()nn. （）由（）知： 22111()4()4nbann， 12+nnTL(34n. 18 （本题满分 12 分）解：（1）由已知 X 的可能取值为 100,200,300X 的分布列为X 100 200 300P 0.2 0.4 0.4（2） 由已知当订购 200 台时，E( )015(201).20.8350Y(元) 当订购 250 台时，E( )2().(2).4- 7 -+205.4370
10、（元）综上所求，当订购 2台时，Y 的数学期望最大，11 月每日应订购 250 台。19 （本题满分 12 分）.解：（）取 AD中点 O，连接 E，交 MN于点 Q，连接 F，则 OPAD.因为平面 P平面 BC，所以 P平面 ABCD， 4E， E.方法一：因为 /MN， /，所以 O，所以 N.又 124EFOE， 12Q，所以 2F，所以 FQ OP，所以 P，所以 .且 MQ，所以 PE平面 MN.方法二：取 AD中点 ，连接 ，交 N于点 ,连接 F，则 OAD.因为平面 平面 BC，所以 OP平面 AC， 4， .又因为 /MN， /E，所以 E，所以 PE.以 O点为原点，射线
11、 A、 、 方向为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系xyz.设 ABm， Dn，则 0,Pm， ,0E， ,02nmM， 3,4F，于是 0,PE, ,24MF.所以 ，所以 PE，且 NF，所以 PE平面 NF （）取 AD中点 O，连接 ，交 于点 Q，连接 ，则 OAD.因为平面 平面 C，所以 平面 AC，- 8 -4PEO， E.以 点为原点，射线 A、 O、 P方向为 x轴、 y轴、 z轴的正方向，建立空间直角坐标系 xyz.设 ABDm，则 0,， ,0Em，,02， ,2M， 3,4F，于是 ,PEm， 0,2B， ,24mB.设平面 BF的一个法向量为 1n,xyz，
12、则 0MF1n，从而024ymxz，令 x,得 1,02.而平面 NMF的一个法向量为 2n,PEm.所以 10cos, 551122=n 20 （本题满分 12 分）.解: （） (0,1)Fb，又 126F， 2,3c.又22,abca，椭圆 C的标准方程为214xy. - 9 -（）设直线 l与抛物线相切于点 0(,)Pxy，则200:()4xlx，即204xy，联立直线与椭圆20241xy，消去 y，整理得 234001(1)xx.由 240016()x，得 2085x.设 12,AyB，则：3401212206,()x. 则240002012111()|()44xxx 原点 O到直线
13、 l的距离204xd.故 AB面积 1|2SdAB2424200000216()16()188xxxx，当且仅当 240016()x，即 246x取等号，故 OAB面积的最大值为 1. 21 （本题满分 12 分）解（）:当 0b时： ()hxk由 ()fxg知： lnex依题意： lnexk对 (0,)恒成立设 /21(),(x xemm当 0,1时 /(0；当 +)， 时 /(0x， min()(1)xe - 10 -设 /2ln1ln()(0),(xx当 ,e时 /；当 +)e， 时 /(0， max1()()ne故：实数 k 的取值范围是 ， （）由已知： xfe， 1gx：由 11x
14、y得： 11xhee由 22ln得： 22lnx故 112lnxeQ0x， 10xe， 2l1x，故： 2xe：由知： 12x， 11且 21由 1ln0ax得： lnaxx， 2x设 2Gx llx在 2,为减函数， 22maxlnGx由 12lnaxx得：211x又 10x 1a22.解：（本小题满分 10 分）（） 4cosQ22cs,inxyxy- 11 -xy421C的直角坐标方程为: xy423,23(),xtyQ2C的普通方程为 )(xy（）将 tyx4,23,12代 入得： )1(4)1(ttt93203,122tt由 的几何意义可得： 321ttAQP23 （本小题满分 10
15、 分）（）当 1a时：不等式为 : 25xx等价于：:1552225 11x xxxx或 或解得：: 152x或 或所以：不等式的解集为: （ -,+) - 12 -（）设函数 ()251fxx=14256xx设函数 ()1gxa过定点（0，-1）画出 ,f（ 的图像， 由数形结合得 a的范围是 14,)5答案一选择题：CABBA BDABD CA二填空题：13.1 14. 32 15.C 16. 三解答题：17. （本题满分 12 分）（0，-1）（ ，652）（ ，6）12- 13 -解：（）令 1n，得 21143a，且 0na，解得 13. 1 分当 2时， 2111nnnS，即 21
16、142nnna， 整理得 1()()0aa， Qa， 1， 4 分所以数列 n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，故 3(1)2a. .6分（）由（）知： 2211()4()4nbann， 9 分 12+nnTL(1)(1)234n . 12 分18 （本题满分 12 分）解：（1）由已知 X 的可能取值为 100,200,300X 的分布列为X 100 200 300P 0.2 0.4 0.4.4 分（2） 由已知当订购 200 台时，E( )2015(201).20.8350Y(元).7 分- 14 - 当订购 250 台时，E( )2015(201).205(20).4Y+.437（元
17、）.11 分综上所求，当订购 250台时，Y 的数学期望最大，11 月每日应订购 250 台。.12 分19 （本题满分 12 分）.解：（）取 AD中点 O，连接 E，交 MN于点 Q，连接 F，则 OPAD.因为平面 P平面 BC，所以 P平面 ABCD， 4E， E.方法一：因为 /MN， /，所以 O，所以 N.又 124EFOE， 12Q，所以 2F，所以 FQ OP，所以 P，所以 .且 MQ，所以 PE平面 MN.方法二：取 AD中点 ，连接 ，交 N于点 ,连接 F，则 OAD.因为平面 平面 BC，所以 OP平面 AC， 4， .又因为 /MN， /E，所以 E，所以 PE.
18、以 O点为原点，射线 A、 、 方向为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系xyz.设 ABm， Dn，则 0,Pm， ,0E， ,02nmM， 3,4F，于是 0,PE, ,24MF.所以 ，所以 PE，且 NF，所以 PE平面 NF 6 分.- 15 -（）取 AD中点 O，连接 E，交 MN于点 Q，连接 F，则 OPAD.因为平面 P平面 C，所以 P平面 AC，4EO， E.以 点为原点，射线 A、 O、 P方向为 x轴、 y轴、 z轴的正方向，建立空间直角坐标系 xyz.设 ABDm，则 0,， ,0Em，,02， ,2M， 3,4F，于是 ,PEm， 0,2B， ,24mB.
19、 8分.设平面 BMF的一个法向量为 1n,xyz，则 0MBF1n，从而024myxz，令 x,得 1,02.而平面 NMF的一个法向量为 2n,PEm. 10分. 所以 10cos, 5521212=n 12分. 20 （本题满分 12 分）.解: （） (0,1)Fb，又 126F， 2,3c.又22,abca，- 16 - 椭圆 C的标准方程为 214xy. 3分（）设直线 l与抛物线相切于点 0(,)Pxy，则200:()4xlx，即204xy，联立直线与椭圆20241xy，消去 y，整理得 234001(1)xx.由 240016()x，得 2085x. 设 12,AyB，则：34
20、01212206,()x. 6分则22422 0002001211416()|()44xxxxx8 分原点 O到直线 l的距离204xd. 9分故 OAB面积 1|2SdAB2424200000216()16()188xxxx，当且仅当 240016()x，即 246x取等号，故 AB面积的最大值为 1. 12分21 （本题满分 12 分）- 17 -解（）:当 0b时： ()hxk由 ()fxg知： lnex依题意： lnexk对 (0,)恒成立 1分设 /2(1)()0),x xeemm当 ,1时 /(；当 (+)， 时 /(0x， min()(1)xe 3分设 /2ln1ln()(0),
21、(xx 5 分当 (,)xe时 /(x；当 (+)e， 时 /(0x， max1()()ne 故：实数 k 的取值范围是 1e， 6 分（）由已知： xf， gx：由 11xy得： 11xhee由 22ln得： 22lnx故 112lnxe8 分Q10x， 10xe， 2l1x，故： 2xe 9 分：由知： 12x， 11e且 21- 18 -由 1ln0axx得： 1lnaxx， 2x设 2G llxx在 2,为减函数， 22maxlnGx11 分由 122lnaxx得：11ax又 10x 12 分22.解：（本小题满分 10 分）（） 4cosQ22cs,inxyxy421C的直角坐标方程
22、为: xy42 3 分3,23(),xtyxyQ2C的普通方程为 )( 5 分（）将 xytyx4,23,12代 入得： )1(4)1(tt- 19 -tt2193203,2121tt8 分由 t的几何意义可得： 321ttAQP 10 分23 （本小题满分 10 分）（）当 1a时：不等式为 : 251xx等价于：:552225 11x xxxx或 或3 分解得：: 1522xx或 或所以：不等式的解集为: （ -,+) 5 分（）设函数 ()251fxx=14256xx设函数 ()1gxa过定点（0，-1） 7 分- 20 -画出 ),(fxg（ 的图像， 8分由数形结合得 a的范围是 14,)5 10 分（ ，652）（ ，6）12- 21 -
