1、(2011高考安徽卷改编)双曲线 2x2y 28 的实轴长是_1.解析：2x 2y 28， 1，x24 y28a2，2a4.答案：4(2010高考北京卷)已知双曲线 1 的离心率为 2，焦点与椭圆 1 的焦点相2.x2a2 y2b2 x225 y29同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(4，0)，又双曲线离心率为 2，即2，c4，故 a2，b2 ，渐近线为 y x x.ca 3 ba 3答案：(4，0) xy03双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0 ，2)，则双曲3. 2线的标准方程是_解析：由题意得 2a2b2 c
2、，即 ab c，又因为 a2，c 2a 2b 24b 2，所以2 2b c 2，所以 c24( c2) 2，即 c24 c80，所以 c2 ，b2，所求的双曲2 2 2 2线的标准方程是 1.y24 x24答案： 1y24 x24(2011高考湖南卷改编)设双曲线 1(a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为4.x2a2 y29_解析：渐近线方程可化为 y x.双曲线的焦点在 x 轴上， ( )2，解得 a2，由32 9a2 32题意知 a0，a2.答案：2(2010高考辽宁卷改编)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与5.该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双
3、曲线的离心率为_解析：设双曲线方程为 1(a0 ，b0)，F(c，0)，B(0，b) ，直线x2a2 y2b2FB：bxcybc 0 与渐近线 y x 垂直，所以 1，即 b2ac，所以ba ( bc) bac2a 2ac，即 e2e10，解得 e 或 e (舍去) 1 52 1 52答案：5 12A 级 基础达标已知双曲线 C 经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲线 C 的标准方程是1. 3_解析：设双曲线的方程为 y23x 2 (0)，将点(1，1)代入可得 2，故双曲线 C 的标准方程是 1.x223 y22答案： 1x223 y22(2011高考北京卷)已知双曲线 x
4、2 1( b0)的一条渐近线的方程为 y2x，则2.y2b2b_解析：双曲线的焦点在 x 轴上， 2， 4.ba b2a2a 21，b 24.又b0，b2.答案：2在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为3.x2y0，则它的离心率为_解析：由双曲线焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x2y0，可知 ，则 e ab 12 ca c2a2 .a2 b2a2 1 b2a2 5答案： 5已知双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 作平行于双曲线的一条渐近线4.x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_解析：由题意求出双曲线中 a
5、3，b4，c5，则双曲线渐近线方程为 y x，不妨设直43线 BF 斜率为 ，可求出直线 BF 的方程为 4x3y200，将式代入双曲线方程解得43yB ，则 SAFB AF|yB| (ca) .3215 12 12 3215 3215答案：3215(2011高考山东卷改编)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线均和圆5.x2a2 y2b2C：x 2 y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为_解析：双曲线的渐近线方程为 bxay0 和 bxay0，圆心为(3 ，0)，半径 r2.由圆心到直线的距离为 r ，所以 4a25b 2，又双曲线的右焦点为圆 C 的圆心
6、，所以|3b|a2 b2c3，即 9a 2b 2，a 25，b 24.故所求双曲线方程为 1.x25 y24答案： 1x25 y24已知 F1、F 2是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与6.x2a2 y2b2双曲线的左支交于 A，B 两点，若ABF 2是正三角形，试求该双曲线的离心率解：由ABF 2是正三角形，则在 RtAF 1F2中，有AF 2F130，AF 1 AF2，又12AF2AF 12a，AF 24a，AF 12a，又 F1F22c，又在 RtAF 1F2中有 AF F 1F AF ，即 4a24c 216 a2，e .21 2 2 3设双曲线 1
7、(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过(a，0) 、(0，b)两点，且点(1 ，0)到7.x2a2 y2b2直线 l 的距离与点(1，0)到直线 l 的距离之和 s c，求双曲线的离心率 e 的取值范围45解：直线 l 过(a，0)、(0 ，b)两点，得到直线方程为 bxayab0.由点到直线的距离公式，且 a1，得点(1 ，0)到直线 l 的距离为 d1 ，（a 1）ba2 b2同理得到点(1，0)到直线 l 的距离为 d2 ，由 s c 得到 c.将 b2c 2a 2（a 1）ba2 b2 45 2abc 45代入式的平方，整理得 4c425a 2c225a 40，两边同除以 a4后令
8、 x，得到 4x225x 250，c2a2解得 x5，54又 e ，故 e .ca x 52 5B 级 能力提升(2011高考课标全国卷改编) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，8.l 与 C 交于 A，B 两点，AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_解析：设双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称x2a2 y2b2轴垂直，因此直线 l 的方程为 l：xc 或 xc，代入 1 得x2a2 y2b2y2b 2 ，y ，故 AB ，(c2a2 1) b4a2 b2a 2b2a依题意 4a， 2，2b2a b2a2
9、e 212，e .c2 a2a2 3答案： 3(2011高考浙江卷改编)已知椭圆 C1： 1( ab0)与双曲线 C2：x 2 1 有公共9.x2a2 y2b2 y24的焦点，C 2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1恰好将线段AB 三等分，则 b2_解析：C 2的一条渐近线为 y2x，设渐近线与椭圆 C1： 1(ab0)的交点分别为x2a2 y2b2C(x1，2x 1)，D(x 2，2x 2)，则 OC2x 4x ，即 x ，又由 C(x1，2x 1)在 C1： 21 21 (a3)221a245 x2a21 上，所以有 1，y2b2 145 4a245b2又
10、由椭圆 C1： 1(ab0)与双曲线 C2：x 2 1 有公共的焦点可得 a2b 25，x2a2 y2b2 y24由可得 b2 .12答案：12已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2在坐标轴上，离心率为 ，且过点10. 2M(4， )10(1)求双曲线方程；(2)若点 N(3，m )在双曲线上，求证： 0；NF1 NF2 (3)求F 1NF2的面积解：(1)e ，故可设等轴双曲线的方程为 x2y 2 (0) ，2过点 M(4， )，1610 ， 6.10双曲线方程为 1.x26 y26(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，ab ，c2 .6 3F 1(2 ，0) ，F 2(2 ，0) 3
11、3 (2 3，m)， (2 3，m) NF1 3 NF2 3 (2 3)(2 3)m 2NF1 NF2 3 33m 2.N 点在双曲线上，9m 26，m 23. 0.NF1 NF2 (3)F 1NF2的底 F1F24 ，高 h|m | ，F 1NF2的面积 S6.3 311.(创新题) 热电厂的冷却塔的外形是双曲线型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径是 24 m，上口直径是 26 m，下口直径是 50 m，高是 55 m，建立如图所示的直角坐标系，求此双曲线的方程(精确到 1 m)解：设所求双曲线的方程是 1(a0 ，b0)，那么 AA2a24，a12，点 B，C 的x2a2 y2b2横坐标分别是25，13，设点 B，C 的坐标分别是(25，y 1)，(13，y 2)，(y 10)，所以 ，解得：y 1 b，y 2 b，625144 y21b2 1169144 y2b2 1) 48112 512又因为塔高为 55 m，所以 y2y 155，即 b b55，b25，故所求的双曲线的方512 48112程是 1.x2144 y2625
