1、第 6 讲 双曲线1考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形2考查求双曲线的几何性质及其应用【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题填空题进行考查基础梳理1双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F 2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数 (小于|F 1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合 P M|MF1| MF2|2a，| F1F2|2c，其中 a、c 为常数且 a0，c0；(1)当 ac 时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标
2、准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图 形范 围 xa 或 xa，y R xR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点性 质顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a )，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e (1，)，其中 cca a2 b2实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a 2b 2(ca0，cb0)一条规律双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率
3、e 双曲线的两条渐近线互相垂直2(位置关系) 两种方法(1)定义法：由 题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a、2b 或2c，从而求出 a2、b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴 上，设出标准方程，再由条件确定 a2、b2 的值，即“先定型，再定量 ”；如果焦点位置不好确定，可将双曲 线方程设为 (0)，再根据条件求 的值x2m2 y2n2三个防范(1)区分双曲线 中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在 椭圆中 a2b 2c 2，而在双曲线中 c2a 2b 2.(2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e(0,1)(
4、3)双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程是 y x， 1(a0，b0)的x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2渐近线方程是 y x.ab双基自测1(人教 A 版教材习题改编)双曲线 1 的焦距为( )x210 y22A3 B4 C3 D42 2 3 3解析 由已知有 c2a 2 b212，c2 ，故双曲线的焦距为 4 .3 3答案 D2(2011安徽 )双曲线 2x2y 28 的实轴长是( )A2 B2 C4 D42 2解析 双曲线 2x2y 28 的标准方程为 1 ，所以 实轴长 2a4.x24 y28答案 C3(2012烟台调研 )设双曲线 1( a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为x
5、2a2 y2b22 ，则双曲线的渐近线方程为( )3Ay x By2x2Cy x Dy x22 12解析 由题意得 b1，c .a ，双曲线的渐近线方程为 y x，即 y3 2bax.22答案 C4(2011山东 )已知双曲线 1( a0，b0) 的两条渐近线均和圆x2a2 y2b2C：x 2y 26x 50 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x25 y24 x24 y25C. 1 D. 1x23 y26 x26 y23解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是 2，双曲线的渐近线方程是 bxay0，根据已知得 2，即 2，解得 b2，则 a2 5
6、，故所求的双曲线方程是3ba2 b2 3b3 1.x25 y24答案 A5(2012银川质检 )设 P 是双曲线 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程x2a2 y29为 3x2y0，F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1|3，则|PF 2|等于_解析 由渐近线方程 y x，且 b3，得 a2，由双曲线的定义，得32|PF2|PF 1|4，又|PF 1|3， |PF2|7.答案 7考向一 双曲线定义的应用【例 1】(2011 四川)双曲线 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4，x264 y236那么点 P 到左准线的距离是_审题视点 利用双曲 线的第一定义和第二定义解题解析
7、由已知，双曲线中，a8，b6，所以 c10，由于点 P 到右焦点的距离为4,4ac18 ，所以点 P 在双曲线右支上由双曲线定义，可知点 P 到左焦点的距离为 28420，设点 P 到双曲线左准线的距离为 d，再根据双曲线第二定义，有 ，故 d16.20d ca 108答案 16由双曲线的第一定义可以判断点 P 的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准 线相对应【训练 1】 (2012太原重点中学联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为x24 y212_解析 由题易知，双曲线的右焦点为
8、(4,0)，点 M 的坐标为(3， )或(3， )，15 15则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案 4考向二 求双曲线的标准方程【例 2】(2012 东莞调研)设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为51326.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线C2 的标准方程为( )A. 1 B. 1x242 y232 x2132 y252C. 1 D. 1x232 y242 x2132 y2122审题视点 抓住 C2 上动点满足的几何条件用定义法求方程解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为：F 1(5,0)，F 2(5,0)设曲线 C2
9、上的一点 P.则| PF1|PF 2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线 C2 的标准方程为 1.x242 y232答案 A(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为 mx2ny 21(mn0)(2)已知双曲线 的渐近线方程 bxay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a 2y2(0)根据其他条件确定 的值若求得 0，则焦点在 x 轴上；若求得 0，则焦点在 y 轴上【训练 2】 (2012郑州模拟)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方x2a2 y2b2程是 y x，它的一个焦点与抛物线 y216x 的焦点相同则双曲线的方程为3_解析
10、双曲线的渐近线为 y x， ， 3ba 3双曲线 的一个焦点与 y216x 的焦点相同c4. 由可知 a24，b 212.双曲线 的方程为 1.x24 y212答案 1.x24 y212考向三 双曲线的几何性质的应用【例 3】(2011 浙江)已知椭圆 C1： 1(ab0)与双曲线x2a2 y2b2C2：x 2 1 有公共的焦点，C 2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交y24于 A，B 两点若 C1 恰好将线段 AB 三等分，则( )Aa 2 Ba 213 Cb 2 Db 22132 12审题视点 取一条 C2 的渐近线，将其与 C1联立求得弦 长|AB|，令|AB | a，方可2
11、3得出结论解析 依题意 a2b 25，根据对称性，不妨取一条渐近线 y2x，由Error!，解得 x ，故被椭圆 截得的弦长为 ，又 C1 把 AB 三等分，所以ab4a2 b2 25ab4a2 b2 ，两边平方并整理得 a211b 2，代入 a2b 25 得 b2 .25ab4a2 b2 2a3 12答案 C在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线 方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如 k .ba c2 a2a c2a2 1 e2 1【训练 3】 (2010辽宁)设
12、双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2 33 12 5 12解析 设双曲线方程为 1(a0，b0)，F( c,0)，B(0，b)，则 kBF ，双x2a2 y2b2 bc曲线的渐近线方程为 y x，ba 1，即 b2ac， c2a 2ac， e2e10 ，解得 e .又bcba 1 52e1，e .5 12答案 D 难点突破 21高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类
13、是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c 的关系式 (等式或不等式 )，并且最后要把其中的 b 用 a，c 表达，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法【示例 1】 (2010 广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 15【示例 2】 (2011福建)设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1，F 2.若曲线 上存在点 P 满足| PF1|F 1F2| PF2|432，则曲线 的离心率等于( )A. 或 B. 或 212 32 23C. 或 2 D. 或12 23 32
