1、第十章 无穷级数教学课题 第一节常数项级数的概念和性质 教学重点 级数收敛与发散概念和收敛必要条件 教学难点 判断级数的敛散性大纲要求 了 解 级 数 收 敛 与 发 散 的 概 念 ， 无 穷 级 数 基 本 性 质 及 收 敛 的 必 要 条 件 。 能 判断级数的敛散性基 本 内 容无穷级数是高等数学的重要组成部分，它在现代数学方法中具有重要地位，是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的工具本章在介绍数项级数、函数项级数基本内容的基础上，讨论幂级数、傅立叶级数及简单应用。一、常数项级数的概念 1、引例引例 1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正 ),210(3n边形,设 a
2、0 表示内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正 n2边形的面积为 naa10, 时，这个和逼近于圆的面积 A，即 nA210。引例 2 1703 年，数学家格兰第研究了 11+11+11+ 的和（有无穷多个加数，1 和-1 交替出现） 。Bagni 在一所理工科中学对 88 名 16-18 岁、尚未学过无穷级数概念（但已学过无穷集合概念）的高中生进行过一次测试,测试结果如下表：答案 0 0 或 1 不存在 1/2 1 无穷 未给出答案人 数 26 18 5 4 3 2 30百分比 29% 20% 6% 5% 4% 2% 34%2定义:（1）形如 naa21（其中每个 n
3、a是实数）的式子叫做（实）常数项无穷级数，简称（数项）级数，简记为1n，即 1n= n2，其中 n叫做级数的一般项。（2）级数的前 项和 nsnaa21称为级数1na的前 项部分和； ,1as,212,313as ,称为部分和数列，记 1ns。（3）如果级数1n的部分和数列 1ns有极限 s, 即 nlim 则称无穷级数1na收敛,这时极限 s叫备注栏做级数1na的和.并写成1nas，如果 1ns没有极限,则称无穷级数1na发散.当级数收敛时,称差值2nuSr为级数的余项，显然 0limr例 1 讨论等比级数(几何级数 ) nn aqaq20 )0(的收敛性。解 时如 果 q，12nnaqs
4、n,1n,1时当 0limnlins收敛,时当 qq lin发散时如 果 1， ,时当 as发散,时当 级 数 变 为 limns不 存 在 ，故发散综上 发 散时当 收 敛时当 ,10qan例 2 判别下列级数的敛散性: .)1()2 ;1ln)( n解: (1) Sn l34l21lnl)1l()l3()l( )1( 时， n证明级数 )1(321n是收敛的.,)()(na所以级数(1) 发散。（2） ns)1(321n )1()312()( n ),(limli()1n, ,.级 数 收 敛 和 为二、无穷级数的基本性质 性质 1 若级数1na收敛,其和为 s，则1nka亦收敛，且其和为
5、 ks， 为常数。证: 令,1knuS则,1nnkSuSnnlimli结论：若 0，则级数1na与 1n同时收敛、同时发散 .性质 2.设有两个收敛级数,1nuS1nv，则级数)(1nnvu也收敛, 其和为 .S证: 令,1nkuSkv1，)(1kkn)(1knkvn， Svnnnlimlili这说明级数)(1nnu也收敛,其和为 .结论：(1)收敛级数可以逐项相加与逐项相减。(2)若两级数1n、 1nv中一个收敛一个发散,则)(1nnvu必发散。(用反证法可证)(3)若两级数1nu、 1nv都发散,则)(1nnv不一定发散。例如,设 ,)(2)(2u,都发散，但 0nvu却收敛。性质 3 在
6、级数中加上、去掉或改变有限项,不影响级数的敛散性。证:设级数1n的部分和数列为 nS，去掉其前 k 项,所得新级数为nllku1，其部分和数列 nllku1kS,由于 时, 与 k的敛散性一致, 故新旧两级数敛散性相同。 当级数收敛时,其和的关系为 。类似可证其它情况 。性质 4.对收敛级数任意加括号后，所得的级数仍收敛，且和不变。证:设收敛级数1nu的部分和数列为 nS，加括号后级数为 )()()( 11 211 kknnuu则新级数的部分和数列 ),k因此有 SSnnkkklimlili推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.例如， ,
7、0)1( 但 1发散。例 4.判断级数1432的敛散性。解:考虑加括号后的级数 )14()1()1(项通2nna，nn12发散 ,从而原级数发散。性质 5（级数收敛的必要条件）设收敛级数,1nuS则必有 .0limnu证: 1nnSu， lilimlinnuS注:若级数的一般项不趋于 0 ,则级数必发散。例如,1)(5432 n其一般项为 1)(nun，当 n时, nu不趋于 0,因此这个级数发散。注: 0lim并非级数收敛的充分条件.如,调和级数 nn1321，虽然，01limlinun但此级数发散。事实上,假设调和级数收敛于 S , 则 0)(lim2nnS，但 nS2 n21321 矛盾
8、!所以假设不真。例 5.判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:;!)1(ne;231)2(nn.21)3(n解:(1)令,!neu则nnneeu)1(!)(11，1)()(nne),21(nu故 n11 ，从而 ,0limn这说明级数(1)发散。(2)因为 )2(12)(23 n)(1)(21nn),(132 S )21()413(2( n12nn,4limS说明原级数收敛,其和为 4。(3) nn 215231， 1432 235nnnS13221nns 12n123n,32nnnS故 ,3limnS这说明原级数收敛,其和为 3。三、柯西收敛准则定理.级数1nu收敛的充要条件是: ,0,N当
9、 n时， ZP有 pnnuu21证:设所给级数部分和数列为 )21(nSu收敛 nS收敛，所以,由数列收敛的柯西准则，有 nu收敛 ,0, ZpN pnnnp u21例 6.利用柯西收敛准则判别级数21n的敛散性。 解: ,Zp有 pnnuu21 222 )(1)(1)( pnn)(1()2(1)( nnn11)( p1,0取,1N当 nN 时, ,Zp都有nuupn121由柯西收敛准则可知,级数21n收敛。小结：一、常数项级数的概念级数的收敛的定义；级数的部分和与和。二、无穷级数的基本性质判断级数的敛散性；级数收敛的必要条件;求级数的和。三、柯西收敛准则思考题：设1nb与 1nc都收敛，且
10、nncab),21(，能否推出1na收敛？练习题一、填空题:1、若 nan24)(3,则 51na=_；2、若 n!,则 51n=_；3、若级数为642xx则 na_；4、若级数为975532a则 n_；5、若级数为61421则当 _时 na_；当 n_时 na_；6、级数0naq,当_时收敛；当_时发散 .二、由定义判别级数 )12(7513n的收敛性.三、判别下列级数的收敛性:1、n963；2、)312()1()(2；3、n004.作业P144 1，2，3，4，5.第十章 无穷级数教学课题 第二节常数项级数的审敛法教学重点 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 。 掌 握 和p-
11、级 数 的 收 敛 性 。 教学难点 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法大纲要求 了 解 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 ， 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 。 掌 握 p-级 数 的 收 敛 性 。基 本 内 容一、正项级数审敛法定义 1 若 0 (1, 23)nu ，则称级数1nu为正项级数 定理 1 正项级数1n收敛的充分必要条件是它的部分和数列 nS有上界。证:（必要性）若 1nu收敛,则 nS收敛,故 n有界，因而 n有上界。（充分性） ,0n部分和数列 n单调递增,又已知 nS有上界，而 nS以 0 为下界，所以 nS有界。由单调有界定理知 nS收敛，从
12、而 1nu收敛。定理 2(比较审敛法)设 1nu和 1nv均为正项级数，若 0,Nn都有 (, 23)(nkk，则有(1)如果级数 1nv收敛，那么级数1nu也收敛；(2)如果级数 nu发散，那么级数v也发散。证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨设对一切 ,Zn都有 ,nvku令 nS和 分别表示 1n和 1n的部分和,则有 nkS(1)若级数 1nv收敛，则其部分和 n有上界，即 0,nMkMSn，即数列 nS有上界，由定理 1 知 nu收敛。(2)为(1)的逆否命题，故成立。例 1.讨论 p 级数 pp312(常数 p0)的敛散性。解:1)若 ,1因为对一切 ,Znnp1,而调
13、和级数1n发散,由比较审敛法可知 p 级数1np发散。2)若 ,因为当 nx1时,1px故 nppdx1npx1备注栏1)(1pnp考虑级数2n的部分和 111 )(3pppn nS 1p)(limn故级数收敛 ,由比较审敛法知 p 级数收敛。结论：若 0,Nn都有1)(un则 u发散；,)1()2(nup则nu收敛。例 2.证明级数1n发散。证:2)()(1n而级数21kn发散，根据比较审敛法可知,所给级数发散。定理 3.(比较审敛法的极限形式 )设两正项级数,1nunv满足,limlun则有(1)当 0 l 时,两个级数同时收敛或发散；(2)当 l = 0 且1nv收敛时，1nu也收敛；(
14、3)当 l = 且 发散时， 也发散。证: l 时，由极限的定义, ,0NnZ有lvun即 nnvluv)()()(N(1)当 0 l 时,取,2由定理 2 可知1nu与1n同时收敛或同时发散；(2) 当 l = 0 时,利用 ,)(nvlu由定理 2 知若 v收敛时，1nu也收敛；(3)当 l = 时，由极限的定义, ,0ZNB当 时，,B即 nv，由定理 2 可知,若1nv发散时，,1nu也发散。特别地，取,p对正项级数 ,nu设 lnplim，则有:例 3.判别级数的1sin敛散性 。解: nilmlin,根据比较审敛法的极限形式知1sin发散。例 4. 判别级数 12)(n的敛散性。解
15、: )l( )1ln(im22li2n根据比较审敛法的极限形式知1n收敛。定理 4（比值审敛法）(Dalembert 判别法)设1nu是一个正项级数，且nuli，则(1)当 时，级数 1n收敛；(2)当 （或ulim）时，级数 1n发散；(3)当 1时，级数 1n可能收敛，也可能发散 证明：(1)当 时，取 使 ,由nu1lim知， ,ZN当 n时，1nu， nnu)(1112)()( Nuk)(收敛 ,由比较审敛法可知 1收敛。(2)当 1或 时,必存在 ,0,NuZ当 n时,1nu从而 Nnnu1,因此 limn所以级数发散。（3）当 时，例如,p级数:1np 1)(lili1pnu，但
16、1时级数收敛 , 时，级数发散。例 5.讨论级数)0(1xn的敛散性。解: unnn1 limli,根据定理 4 可知:(1)当 01x时，级数1nx收敛；(2)当 时，级数 发散；(3)当 1x时，级数1n发散。定理 5.根值审敛法 (Cauchy 判别法)设1nu是一个正项级数，且 ,limnu则(1)当 时，级数 1n收敛；(2)当 （或nuli）时，级数 1nu发散；(3)当 1时，级数 1可能收敛，也可能发散 例 6.证明级数 n收敛于 S,并估计以部分和 nS近似代替和 S 时所产生的误差。证:)(0nu由定理 5 可知该级数收敛。令 ,nnSr则所求误差为21)()(nnr 21
17、)()(nnn)1(1)(二、交错级数及其审敛法 定义 2 形如1)(nnu或1)(nu（其中 0, 12, 3n ）的级数称为交错级数交错级数具有下列重要结论：定理 6（莱布尼茨判别法）如果交错级数1() (, , )nnu 满足条件：（1） 1(, 2)nu ；（2） 0lim则级数 1)(nn收敛，且其和 1Su，其余项 nr的绝对值 1nur。证: ,u)()()( 2143212 uS S2单调递增，1254312)(S nnn n有上界，故 li，又 n 1limlili故级数收敛于 S,且 ,1的余项 nSr)(21n21nnur1n例 7 判断交错级数 n)(431的敛散性解:
18、 因为交错级数1)(2n中1nu，它满足条件：（1） 1nnuu；（2）0limli由定理 6 知，所给级数收敛。此级数称为莱布尼茨级数以后将此级数作为标准级数，应熟记三、绝对收敛与条件收敛定义 3 如果级数1nu收敛，且级数1nu也收敛，则称级数1nu绝对收敛；如果级数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛。例如：1)(n为条件收敛，,!)1()1n10)(nn均为绝对收敛。对于一般的任意项级数没有判断其收敛性的通用方法，对于任意项级数 12nnuu 的收敛性问题，通常是化为研究级数 121nn 的敛散性问题，即转化为正项级数的敛散性问题下面讨论级数1nu与 1n敛散性之间的关系。定理 7
19、 绝对收敛的级数一定收敛。证:设1n收敛，令),21)(2uvnn显然 0v,且 ,nu根据比较审敛法1nv收敛, nnuv而12n、 1n都收敛，所以u也收敛。注：如果级数nu发散时，级数1n不一定发散。例如级数1()n是发散的，但级数 1)(n却是收敛的。例 8 证明下列级数绝对收敛:(1) 1cos2nx； (2) 1!()n解:(1)由于102n，而等比级数 12n是收敛的，由正项级数的比较审敛法知，级数1cos2nx收敛，因此级数 1cosnx绝对收敛。(2)因为1()!limlilim1enn nu 所以由正项级数的比值审敛法，得级数1!()n绝对收敛。绝对收敛级数与条件收敛级数具
20、有完全不同的性质。*定理 8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和。*定理 9. ( 绝对收敛级数的乘法 )设级数1nu与 1nv都绝对收敛,其和分别为 ,S则对所有乘积jivu按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,其和为 .S证明略。需注意条件收敛级数不具有这两条性质。小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法1nu收敛的必要条件 0limnu比值审敛法n1li，根值审敛法 nuli1nu收敛， 发散，时，用其它方法判别：比较审敛法，求部分和极限，积分判别法等。3. 任意项级数审敛法概念：设1n收敛。若1nu收敛，则称1nu绝对收敛；若 发散，则称 条件收敛。Lei
21、bniz 判别法:若1） 1(, 2)nu ；2） 0lim则交错级数 nn1)(收敛。作业 P150-151 1 ， 2 ,3 ，4，5 第十章 无穷级数教学课题 第三节 幂级数教学重点 幂级数收敛域及和函数的求法 教学难点 求幂级数的和函数大纲要求 了 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 的 概 念 了 解 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 一 些 基 本 性 质基 本 内 容一、函数项级数的概念定义 1 设 () 1, 23)nux 是定义在区间 I上的函数列，则称()nuxx 为定义在区间 I 上的函数项级数 对于区间 内每一点 0，函数项级数既为常数项级
22、数 0102001()()()n nuxuxx 若级数10)(nxu收敛，则称点 x0 为函数项级数1n的收敛点，级数1)(nxu的收敛点的全体，称为该级数的收敛域若级数1)(nu发散，则称点 x0 为函数项级数 的发散点对收敛域内每一点 x， 都有一确定的和与之对应，因此，在收敛域内，1)(nxu的和是 x的函数，称这个函数为1)(nu的和函数，记为 ()Sx，即在收敛域内总有1()nu例如等比级数20nnxx 为区间 (, )上的函数项级数，它的公比为x我们由等比级数的敛散性知道，当且仅当 时，这个级数收敛；当 1x时，这个级数发散即当 (1, )时，级数0nx收敛，在区间 (1, )以外
23、的点处，级数都发散所以它的收敛域为区间 ，其和函数为 210() nnSxx 二、幂级数及其收敛性 定义 2.形如nnxa)(00的函数项级数叫做 0x幂级数,简称幂级数,其中 0是某个定数,10a叫做幂级数的系数.备注栏定理(Abel 定理)如果级数0nxa在 )0(x处收敛 ,则它在满足不等式 0x的一切 处绝对收敛;如果级数 0n在 0处发散,则它在满足不等式 0x的一切 处发散.证明,)1(0收 敛nxa,lim0nnxaM),21(0nan使 得nnxxa000,10时当 ,0收 敛等 比 级 数 nnx,0收 敛nxa;0收 敛即 级 数 nxa,)2(0时 发 散假 设 当 x而
24、有一点 1适合 使级数收敛,由(1)结论则级数当 时应收敛,这与所设矛盾.推论当幂级数0nxa的收敛域 K不是单点集 0时， （1）如果 K是有界集，则必有一个确定的正数 R，使得当 时,幂级数0nxa绝对收敛;当 Rx时,幂级数0nxa发散; 当x与时,幂级数 0n可能收敛也可能发散.（2）如果 K是无界集，则 = ),(。正数 R 称为幂级数0nxa的收敛半径，并把开区间 ),(R叫做幂级数的收敛区间。根据幂级数在x的收敛性，决定收敛域为其中 ),( , 哪一个。规定 (1) 幂级数只在 x处收敛 , 0R收敛区间 0x;(2) 幂级数对一切 都收敛, 收敛区间 ),(.问题 如何求幂级数
25、的收敛半径?定理 2.如果幂级数0nxa的系数满足na1lim，则幂级数0nxa的收敛半径 R 为(1)当0时,1R;(2)当 时, R;(3)当 时 , R.证明：应 用 达 朗 贝 尔 判 别 法对 级 数 0nxannxa1limxan1li,)0(lim)1(1存 在如 果 n由比值审敛法, ,|时当 ,|0收 敛级 数 nxa从而级数0nxa绝对收敛， ,1|时当 x,|0发 散级 数 nxa开 始并 且 从 某 个 |,|1nx0|n.0na发 散从 而 级 数 ;R收 敛 半 径,)2(如 果 ,0x),(1xan有 ,|0收 敛级 数 nxa.0收 敛绝 对从 而 级 数 nx
26、a;R收 敛 半 径,)3(如 果 ,.0n必 发 散级 数 )|10收 敛使知 将 有 点否 则 由 定 理 nxax .0R收 敛 半 径 定理证毕.例 1 求下列幂级数的收敛域: ;)(1nn0!)2(n；.!)3(0nx解 )(na1limli1R,1时当 x,)(1n级 数 为该级数收敛 ,时当 x,1n级 数 为该级数发散，故收敛域是 1,(.1!)2(nnali1li,0 ,R收敛区间 ),(.)3(n1lim)(lim!)(lin， ,0故收敛域为 0。例 2 求幂级数112)!(nx的收敛半径。解:由于幂级数缺少偶次幂项，即系数 02na故相邻两项的系数的比值 na1当 是偶
27、数是没有意义，因此不能用上述方法求收敛半径。下用正项级数的比值审敛法直接求收敛半径：考虑级数112)!(nnx，因为2124)!(!)(limxxnn，故当 212x即时，级数绝对收敛；当4即，级数发散，故收敛半径R例 3 求幂级数nnx)1(1的收敛域.解 令 xt，原级数变为nnt1)(，因为 nalim=1)(lin，所以收敛半径1R。当 t时，级数为1)(nn；当 1t，级数为1)(n，当 时它们的一般项均不趋于零，故这两级数都是发散的。因此收敛域是 t，即原级数的收敛域为x，或写成 20x。所以原级数收敛域是 )2,0(。三、幂级数的运算 ,2100 Rbann 和的 收 敛 半 径
28、 各 为和设 21,minR(1) 加减法00nnx.0ncx, (其中 )nnbac(2)乘法)()(00nnbxa.0nR,(其中 )1ac(3) 除法0(nxb收 敛 域 内0nnxba.0nc(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)定理 4 若幂级数0nxa的收敛半径 0R,则其和函数 )(xS在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同。即 xnx ddS00)()( 0nxnda.10na),(Rx0)()na0)(n.1n),(x例 4 求幂级数0!nx的和函数.解:由例 1 可知级数的收敛半径 R+.设0!)(nxS，则)(!)()01xk
29、nxS故有 )(xe，因此有 xeCS)(，由 1)0(S得 ,)(xe故.!0xne例 5 求幂级数1n的和函数 .解:易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发散， 21111 )1()()( xxxxS nnnn 例 6 求幂级数 0n的和函数.解：易求出幂级数的收敛半径为 1,且 x=-1 时级数收敛，x=1 时级数发散。得幂级数 01nx的收敛域为 )1,。当 0时，设和函数 xnnn dxS000)( xnd01xd01)1ln(x(,1),x而 s，于是 l(),)(,() 1 xsx例 7 求数项级数2)1(nn的和。解:设,)(2nxS,)(则nnxxS12(2121nn
30、x1n3n)0()(21xn而xxnnxn dd001101 1)ln(x42)l(2)(xxS，故2ln438512)(2 Snn小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数)0(0nnax，先求收敛半径，再讨论端点的收敛性。2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)，求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求。2.幂级数的性质1）两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算；2)在收敛区间内幂级数的和函数连续；3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分。常用幂级数的和函数 ;1)(0xn;1)(2202xnn;1)3(202xan;!)4(0xne;si)!()5(1
31、1n);l()(601n作业：P163 1 ，2，3，4 第十章 无穷级数教学课题 第四节函数展开成幂级数教学重点 掌握函数展成泰勒级数的公式、条件及方法 教学难点 函数展成幂级数的间 接 方法大纲要求 了 解 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 分 必 要 条 件 ， 会 利 用 已 知 展 开 式 将 一 些 简 单 的 函 数 间 接 展 开 成 幂 级数 。基 本 内 容一、泰勒级数定理 1（泰勒中值定理）如果函数 ()fx在 0的某邻域内有直至 1n阶导数，则对此邻域内的任意点 x，有 200000()()()1!fffxf x0)!nnRx其中 (1)10)!nnfRx（
32、在 0x与 之间）称上式为 ()f在 0处的 阶 泰勒公式；系数 ()f，0()1!f， !2)(0xf， ， !)(0nxf称为泰勒系数，多项式 ()00 0000 0()()1!2!nfxxfPxf称为 阶泰勒多项式；()1)nnR， （ 在 0与 之间）称为 n阶泰勒公式的拉格朗日型余项，且当 0x时，它是比 0x高阶的无穷小如果设 ()f在 的某邻域内具有任意阶的导数，则可以写出级数00()!nnf00()1!fx200)(!xf nn)(称为 ()fx在 0处的泰勒级数，或称 fx在 0处展开的泰勒级数当 0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数。问题：只要 ()f在 0x的某邻域内具有任意
33、阶导数，我们都可写出它的泰勒级数但这个泰勒级数在0x的某邻域内是否收敛？如果收敛，是否收敛于 ()fx？ 定理 2 )(f在点 0的泰勒级数 ,在 )(0U内收敛于 在 )(0xU内 0)(limxRn. 证：记knkn xfxS(!)00(1,则 )()(1RxSfnn,必要性） )lim1fn,limRn li1f;0充分性) )(xR, )(1x)(xnf,定理 3.如果函数 )(f在 )(0U内能展开成 )(0的幂级数,即nnxaf)(00则展开式是唯一的，备注栏其系数),210)(!1( nxfan。证：即内 收 敛 于在 ),()()(000 xfunn nnxaxaf )()(0
34、010逐项求导任意次,得 10021 )()()( nnaxaxf 23!1)( xnn即 得令 ,0x ),2()!0( fn泰勒系数泰勒系数是唯一的, .的 展 开 式 是 唯 一 的x注：函数 f(x)的泰勒级数不一定收敛到自身。例如：0,21ef在 x=0 点任意可导, ),210()(nfn且)(xf的麦克劳林级数为nx，其在 ,内的和函数为 .(xs可见，除 外， )(f的麦克劳林级数处处不收敛于自身。定理 4 设 )(f在 0xU上有定义, 0M,对 ),(00Rx,恒有 Mfn)(,210(n,则 在 ),(Rx内可展开成点 的泰勒级数.证：10)1(!)nnnfxR,)!(1
35、0xn ,),()!1(0收 敛在 nx),(0x,)!1(lim0nx,limxRn故 ),(0Rx所以 )f在 ,0R内可展开成点 0的泰勒级数。二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法)步骤: （1）求;!)(0nxfa(2)写出泰勒级数,并求出其收敛半径 R； （3）判别在收敛区间(R,R) 内 nRlim是否为零或 )(xfn是否有界。例 1 将 xef展开成 x 的幂级数。解： ,)(n ),210(.)0(fn x xe!1!2其收敛半径为!)1(limnR, ,0M在 ,上，xnef)(Mx xe!21),21(n由于 M 的任意性, 即得,1nx 例 2 将 xfsi)(
36、展开成 x 幂级数。解:),2in)( fn,2sin0()fn,0)(2nf ,)1(0)12(nnf ),210(且)(xfn)si(1),(x)!12(!53i n),(x例 3 将 )()1(Rxf展开成 x 幂级数。解 ,)()( nn ),1()()0(nf ),20( xxx!1!21na1limlin,1 ,R若内在 ,)( nxxs!)1()()( 1)(1nnxs nxnxxs )!1()1()(2利用 !)1()(!)()!( mmnm)(1xs 1222 !)()1(!)1( nxnxx)(xs,)(.)0(s且 两边积分,)(00dsxx ),(得 ,1lnllnxs
37、即 ,1lnl,)1()( nxnxx!)1()(!2)1,(注意: .的 取 值 有 关处 收 敛 性 与在 );1,(1收 敛 区 间 为收 敛 区 间 为 .,收 敛 区 间 为有时当 ,21)1,()1(132 nxxx ,!)2(36432 nnx 1,(!)(1513132 nnxxxx2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式。例如 )(sincox)!12()!513i nxxx )!2(!412n),(xxd021arctn 12)(513nxx 1,例 4 将 2x展开成 x 幂级数。解:因为)1()1(12
38、 xxn把 x 换成 2,得)()(2422xn例 5 将 )1ln()f展开成 x 幂级数。解:)1(0xf nn,从 0 到 x 积分,得0)1()ln(nd,01nnx注：上式右端的幂级数在 x 1 收敛,而 ln(1+x)在 x=1 有定义且连续,所以展开式对 x1 也是成立的,于是收敛区间为(-1,1),x=1 时， )(4321l n例 6.将 xsin展成的幂级数。解:)4(i )4sin(co)4cs(inxx)4sin()cos(21xx 5342 )4(!)(!)()(!1)(!12x 32)(!)(!)4( x)(x三、小结1.如何求函数的泰勒级数；2.泰勒级数收敛于函数
39、的条件；3.函数展开成泰勒级数的方法；(1)直接展开法利用泰勒公式；(2)间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数。4.常用函数的幂级数展开式： nx xe!1!21),( !12)53sinxn),(x )!(!412con),( 1432)1(ln nxxx 1,( nx !)()(!)1(2 ),(x作业:P163 5，6第十章 无穷级数教学课题 第五节 傅 立 叶 级 数教学重点 函 数 展 开 为 傅 里 叶 级 数 的 狄 利 克 雷 条 件 教学难点 函数展开为傅里叶级数大纲要求 了 解 函 数 展 开 为 傅 里 叶 级 数 的 狄 利 克 雷 条 件基 本 内 容一、三角
40、级数及三角函数系的正交性简单的周期运动: )sin(tAy(谐波函数)称 A 为振幅, 为角频率, 为初相。复杂的周期运动:)sin(10nty，)si(1nntA是谐波的迭加。ttnnicocsi)si( 令,20Aa,n ,snAbxt，得函数项级数)sinco(210 xbank1、定义 1 函数项级数01(ci)2nab称为三角级数，其中常数 0, n(1, 2) 称为此三角级数的系数我们仅讨论三角级数中的一种：傅立叶级数我们研究把一个函数表示成三角级数所需要的条件，以及在条件满足以后如何展开成三角级数的问题。2、三角函数系的正交性定理 1. 组成三角级数的函数系 ,sinco,2si
41、n,co,si,1 xxx在 ,上正交。即其中任意两个不同的函数之积在上积分等于零。证： ,0csxd,0sixd),321(n,inmm,0cos nmxd.0cosixd),21,(n其 中注：在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 ,上的积分不等于 0.且有 21x， x2cs， xd2si ),21(n二、函数展开成傅里叶级数问题:（1）如果函数 ()f已表示成三角级数，那么级数中的系数 ,nab怎样确定？(2) ()fx的傅立叶级数收敛于 ()fx的条件是什么？定理 2.设 f (x)是周期为 2 的周期函数,且10 )sinco(2)(kkxxf右端级数可逐项积分,则有ndancos1， ),10(xfbi)(32证：dxkbxadxaxf k )sinco(2)(10 dakk icos2110 ,20adxf)(10 nxdanxf2cs)(0cosincos1 kbxdkkdan2oxfncos)(),321(nxdaxfsisi)(0 sinsi1 xdkbxdkak,nbnfbni)(1),32(定义 2 由 ),1(,sin)(10co xdfban或 20 ),21(,sin)(1,0,co xdfban
