1、 山西师范大学现代文理学院本科毕业论文浅谈中学数学思想和数学方法姓 名系 别专 业班 级学 号指导教师答辩日期成 绩浅谈中学数学思想和数学方法内容摘要近年来随着我国教育事业的发展，人们越来越重视对数学教育的研究，数学教学大纲也在不断的改进。而数学的核心成分是数学思想和数学方法，掌握数学思想和方法比掌握数学知识更加重要。本文就数学思想和数学方法的概念，两者之间的区别和联系，它们的基本种类及在题目中的应用进行了简单的研究，以加强对数学知识的理解性记忆和数学能力、数学素质的提高。数学思想和方法是对数学内容的高度的概括和总结。掌握数学思想和方法，有利于培养学生创新思维和发散思维，加深学生对数学的迁移和
2、应用，提高处理在自然和社会中出现的数学问题的技巧和能力。【关键词】数学思想 数学方法 种类 应用Plain talk middle school mathematical thought and mathematical methodsAbstractIn recent years, with the development of education in our country, there is a growing emphasis on the study of mathematics education, mathematics syllabus are constantly impr
3、oving. The core component of the mathematics is mathematical ideas and mathematical methods to grasp mathematical ideas and methods to grasp mathematical knowledge are more important. Simple concept of mathematical thinking and mathematical methods, the difference between the two and their basic typ
4、es and title, in order to strengthen the understanding of memory and math ability of mathematical knowledge, mathematical qualities improved.Mathematical ideas and methods are the height of summary of the mathematics content. Mastering them is benefit for students creative thinking and divergent thi
5、nking, deepen student migration and application of mathematics, and improve the skills and ability to deal with mathematical problems in the natural and social.【Key Words】Mathematical thought Mathematical method kinds application.目 录引言 1一、数学思想和数学方法 1二、数学思想及应用 2（一）化归的思想 2（二）数形结合的思想 3（三）函数和方程的思想 4（四）分
6、类讨论的思想 4三、数学方法及应用 5（一）待定系数法 5（二）数学归纳法 6（三）反证法 7（四）三角法 8（五）构造法 8四、小结 10参考文献 10致谢 111浅谈中学数学思想和数学方法学生姓名： 指导教师： 引言数学作为一门科学，是人们从数学活动中总结出来的。数学可以分为三个部分：数学知识、数学思想和数学方法 1。这三部分中，数学思想最重要，是数学的灵魂，数学方法是数学的外在表现形式，数学知识则是基础部分。数学思想和数学方法是对数学内容的高度的概括和总结，是人们在长期的社会实践中提炼出的抽象的思维形式.作为数学的核心，数学思想和数学方法是整个数学的基础部分，是对数学在应用领域的归纳和总
7、结，是对数学本质的深刻认识.它比数学知识更具有普遍性，可以应用到社会生活中的各个领域，是人们处理不同问题的方法和手段。全日制普通高级中学数学教学大纲中对中学生应掌握的基础知识作了明确规定，要求中学生必须掌握定理、公式中反映出来的数学思想和数学方法。一、数学思想和数学方法数学思想是指“ 识 之 中 经 过 思 维 活数 量 关 系 反 映 到 人 的 意现 实 世 界 的 空 间 形 式 和 动而产生的结果” ，是贯穿于数学领域的具有概括性、抽象性的内容。它是在基础数学知识和理论的基础上，为了数学教育而发展和壮大起来的，并日渐趋于完善。中学阶段接触到的数学思想都比较简单，有化归的思想、函数和方程
8、的思想、分类讨论思想、数形结合的思想等等.这些数学思想形成了一个整体化的数学思想系统.其中,化归的思想是其核心部分。数学方法是数学思想的外在表现形式，指人们利用数学思想解决数学问题的手段、途径，并从这些途径中抽象出的操作性强的规则和模式。数学方法是数学思想的外化形式，注重程序性，可操作性。在中学阶段，经常用到的数学方法有反证法、待定系数法、数学归纳法等。通常人们习惯把数学思想和方法统为数学思想方法，将两者混为一谈，这是不对的。数学思想和数学方法两个不同的概念，它们有相同点，也有不同点。数学思想和方法是不同的，它们表现的方式不同。通常,数学思想注重理论知识,是人们对数学理论与内容的本质认识,指引
9、着数学活动的完成。而数学方法则倾向于技巧性,是解决某一数学问题的具体途径，有一定的规则性。因此可以认为,数学思想是内容,方法是形式。数学思想和方法虽然各有其特点，但它们之间也是相互联系的。数学思想是数学方法产生的基础,指导数学方法的实施；而数学方法蕴含在数学思想之中，是数学思想1 选自王培德，数学思想应用及探究构建教学M，人民教育出版社，2003, 56-78.2的具体表现形式，而且数学方法在的使用又可以进一步完善数学思想。总之，两者相辅相呈，共同组成数学的一部分。二、数学思想及应用 ， ： 、 、在 中 学 阶 段 接 触 到 的 数 学 思 想 有 化 归 的 思 想 数 形 结 合 的
10、思 想思想、 。函 数 和 方 程 分 类 讨 论 的 思 想 这 四 种（一）化归的思想把所要解决的问题通过一系列步骤化为已经解决了的或者较为简单的问题去处理的思想就是化归的思想。化归的思想是数学思想的重要组成部分，是解读数学思想的一把钥匙。化归的进程，一般是： 如表 1：划 归定 向联 想分 析观 察表 1：问题 A问题 B例 1、 求实数,使 + = .1xx1x分析：由 ,可以联想到等差中项的概念，即 是 、 的等差bca2 2x1x中项，变 、 成 、 。x1xdx2解： + = ，1x是 ， 的等差中项.2x11 选自王培德，数学思想应用及探究构建教学M，人民教育出版社，2003,
11、 56-78.问题的解答 D 问题的解答 C3设 = ， = x12dx12d 2,得 2 1 x 3代入 ，整理得 =0， 3 121解得 .25x0， .1（二）数形结合的思想数形结合是根据数学题目中的条件和问题的联系，分析其中蕴含的代数信息和几何意义，结合相关公式定理将两者巧妙地结合在一起的方法。既研究“数”的时候结合“形” ，研究“形”时结合“数” ，从而使问题简化。例 2、直线 的方程为： ( 0),椭圆中心 (2 ,0)，焦点在 轴上，Lx2pD2px长半轴为 2，短半轴为 1，它的左顶点为 。问 在什么范围内取值，椭圆上有四个不A同的点，它们中每一个点到点 的距离等于该点到直线
12、的距离？ 1L分析：由到点 的距离等于到直线 的距离，从而想到抛物线定义，进而将问题AL转化为抛物线和椭圆有四个交点，两方程联立求解。本题将有交点的几何问题转化成方程有解的代数问题。解：由已知得： 2， 1, ( ,0)，设椭圆与双曲线方程，有：abA2p14)2(22ypxy(4 7 ) (2 )02xpx42p1664p48 0,即 3 4 10，得： 1。22p311 选自赵小云，叶立军，数学化归思维论M，科学出版社，2005,5-9.4结合范围( ,4+ )内两根，设 (47 ) (2 )，2p)(xf2px42p0、2p741pf0 即 4 。)(fp234 。3（三）函数和方程的思
13、想函数和方程的思想是两个概念。函数思想，即利用函数去解决问题的方法，主要利用函数的性质。， 。数 量 关 系 入 手方 程 思 想 ， 只 从 问 题 的 方 法建 立 方 程 使 问 题 解 决 的例 3、 （2012 山东卷）已知等差数列 的前 5 项和为 105，且 .na5102a求数列 的通项公式；na对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前 m*Nmnm27mbn项和 .S解：由已知得： )4(2910551da解得 =7， =7，1ad通项公式为 .nn7)(7由 ，得 ，mn212m即 .1mb，49712k是公比为 49 的等 比数列，n14891nmmS5
14、（四）分类讨论的思想分类讨论的思想，当问题出现多种情况无法继续综合分析时，需要对各种情况加以分类，求出各种情况下的结论的思想。注意：分类对象的确定性，标准的统一性，划分科学性，做到不遗漏、不重复。例 4、设 ,集合 , ,1a0xRARB06)1(32axxBAD求集合 （用区间表示） ；（2012 广东理）.D解： :B6)(32xx因为 ，且 ，所以可分以下三种情况：)13(241aaa 当 时， ，此时 ， . 1 30RB),0(AD当 时， ，此时 ， . 2 a1x1当 时， ，此时 有两根，设为 、 ，且 3 6)(32a1x21x，则 ，2x4)(3)1(a4)3(2 x于是
15、或 .1xB2当 时， ， ，所以 ，此时30a0)(3a0321ax012x；当 时， ，所以 ，此时 .),(),21xD21,1 ),(2xD综上所述，当 时， ；当 时， ；当),(AD3),)(时， ；当 时， .其中30a),(),021x0a),(2x， .43()1(ax 41)1(32 a三、数学方法及应用。等 几 种 方 法、 数 学 归 纳 法 、 三 角 法数 学 方 法 有 待 定 系 数 法在 中 学 阶 段 经 常 用 到 的下面就常用的几种方法做出分析。6（一）待定系数法待定系数法就是根据题目中所给变量的函数关系，设出未知数，然后根据题目要求确定未知数的方法。主
16、要是寻找关系式。 例 5、已知函数 , ,求 。 1342xnmy17ynm解 变形为： ，由已知得 . 0)(20y即 )(4)3(2ny )12()(2ny 1不等式 的解集为(-1,7)，则1、7 是方程 0 的两根，代入 1 my得： 得 或02)(49mn15n（二）数学归纳法数学归纳法可以用来证明与 ( ）相关的命题。过程分三步：第一步是证明nN当 = （ =0 或 1）时结论成立；第二步是假设在 时命题成立，证明 1n0 nknk时命题也成立；第三步，由第一、二步就可以断定对一切 的自然数结论都正确。0运用数学归纳法证明问题时，关键是第二步的推理，在这步要正确的推导和运算，逐步缩
17、小自己解得的结果与结论之间的差距，从而证明题目结论的成立。 例 6、 （2012 重庆）设数列 的前 项和 满足 ，其中 。nanS121aSnn 02求证： 是首项为 1 的等比数列；na证明：用数学归纳法证明 12n当 时， ，得 ，得 ，又 ，得12aS121aa12a02，所以结论成立。1a假设 时命题成立， 。则，kn12k= = = =kkS112ak1aSk)(12kSka2所以 时，结论也成立。例 7、数列 通项公式是 ， ，且 .证明：对一切 ，n nn3*N1nN7有 .231.12naa证明：因为 ，所以 ，所以nn2111 132nn 13na当 时，左边 ，右边 ，命
18、题成立. 1 n1a3假设当 （ ， ）时成立，即 成立.为了证明当 2 k2Nk231kii时命题也成立，我们先证明不等式： （ ， ）.1kn 13ii ii1Ni要证 ,需证 ,需证 ，123ii ii3 12ii ii2 iiii 233需证 ，该式子明显成立，所以 .ii ii当 时， ,所以命1kn kiikiikii 111 232323 21题在 时也成立.综合 ，可得，对一切正整数 ，有 . 1 2 n.21naa（三）反证法反证法不想前面介绍的方法，是一种间接论证的方法，在肯定题设的基础上否定结论，推出与假设矛盾的结论，从而证明原命题成立。： 反 证 法 证 明 分 三 步
19、第一步：假设结论错误，推出相反的结论； 第二步：再假设的基础上，正确推导，找出矛盾； 第三步： ， 。 假 设 不 成 立 证 明 原 命 题 成 立运用反证法作题时，一定要用假设进行推导。如果证明的题目中出现“至少” 、“至多” 、 “不全是” 、 “唯一”等这样的字眼时，可以尝试用反证法进行证明，进而使问题简单化、清晰化，即正难则反。常见的否定有： 至多有一个 全都是，至少有一个 都不，不全是 反 面 反 面全是，唯一 至少有两个。 反 面 反 面例 8、若下列方程： ， , 至0342ax 0)1(22ax022ax8少有一个方程有实根。求实数 a 的取值范围。 1 分析:至少有一个方程
20、有实根，反面就是：三个方程都没有实根。先求出反面情况时 a 的范围，再求补集就是所要的答案了。 解:设三个方程都没有实根，则有： 0)2(4136321a解得： 即02,31a或 12a所以当 时，三个方程至少有一个方程有实根。1或例 9、已知等差数列 、 、 中的三个数都是正数，且公差不为零。求证：它们abc的倒数组成的数列 、 、 不可能是等差数列。1分析：本体的题断是否定式，可以用反证法证明。证明：假设 、 、 成等差数列，则 = ，即 。 a1bcb1accba因为 ， ,所以 ，即 = 。00,ab1这与 、 、 是公差不为零的等差数列矛盾，故 、 、 不可能是等差数列。c（四）三角
21、法所谓三角法,就是把所求问题转化为含有三角函数问题的方法.使复杂问题简单化,从而更好的解题。再用三角法解题的时候,要特别注意化为三角函数后未知量的取值范围,慎重审题.例 10、 设 且 ，求 的范围。Ryx、 xyx6232y解：对条件和结论都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由 得 ，设 ，则6231)(2sin26coyyx22sin3cos1 2s134,052cos1 选自陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法M,东方出版中心，2003，8,19-21.9所以 的范围是： 。2yx402yx（五）构造法构造法是这些数学方法中最难掌握的一种方法，它要求根据题目的要求，以结论作为思考的方向，
22、寻找新的思维形式的数学方法。构造法适用于常规思维解决不了的问题。构造法的使用，需要大量的做题技巧和发散的思维形式，而且基础知识必须扎实，对学生的综合能力要求很高。例 11、已知函数 是自原点出发的一条折线。当 （ =1,2，）)(xfy 1ny时。该图像是斜率为 的线段（其中正常数 ） ，该数列 由nb1bx（ =1,2，）定义。nxf)(求： 、 和 的表达式。12nx求 的函数表达式，并写出其定义域。)(f解：由题意得， ，又由 ，当 时，函数 的图像0)(f 1)(xf10y)(xfy是斜率为 的线段，故由 ，得， =1. 又由 ，当10b11x2f时，函数 的图像是斜率为 的线段，故由
23、 得， 21y)(xfybbxff12)(。bx2设 ，由函数 的图像中第 n 段线段的斜率为 ，故得0)(xfy1nb。又 ， ，所以11)()nnxff fn1)(1fn（ =1,2，） 。由此可知数列 为等比数列，其首相为 1，1nb 1nx公比为 。 因 ，得 = 。nx )(.)()( 01211xnn)(bn欲求 的表达式，由于其图像为折线，因而 应是分段函数。要求)(fy xfy函数定义域，需对 的取值范围进行分类讨论，即需考察当 时 的极限。nx n10当 时，从（1）可知 ，即当 时， = ；当 ，0yxy10x)(xf 1ny即当 时，由（1）可知 = （ ， =1,2，）
24、nnx)(f)(nb1nn为求函数 的定义域，须对 （ =1,2，）求极限)(f 1xn当 时, = ;1bnxlimli)(1b当 时, .0nlili1)(n综上，当 时， 的定义域为 ；当 时， 的定1b)(xfy,0b10b)(xfy义域为 。,0四、小结本文主要对数学思想和方法进行了简单的分析,加深对数学思想和方法本质的深层次的理解,使在做题和处理数学问题时可以灵活运用相关的数学思想和方法，提高数学素质。参考文献1陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法M,东方出版中心，2003，8,19-21.2王培德，数学思想应用及探究构建教学M，人民教育出版社，2003, 56-78.3赵小云，叶立
25、军，数学化归思维论M，科学出版社，2005,5-9.4刘晓玫，谈数学思想方法在数学教育中的作用J，首都师范大学学报，2012 第 2 期.5马学芝，对数学思想和方法几个问题的探讨J，数学通报，1994 第 7 期.11致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中虽然遇到了无数的困难和障碍，但都在同学和老师的帮助下安然度过。为此，我要强烈感谢我的论文指导老师安立坚老师，他对我论文题目的选定、论文写作和修改进行了无私的指导和帮助。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。由于本人的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，敬请各位老师和学友批评、指正。
