1、1数列的概念及其表示法1理解数列的定义及其有关概念，了解数列与函数的关系2根据已知数列前几项的特点归纳数列的通项公式3掌握 an与 Sn的关系，根据 Sn会求通项 an.4会根据递推关系确定数列的前几项，掌握几类简单的递推关系求通项的方法知识梳理1数列的定义按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列的一般形式为 a1， a2， an， ，简记为 an .2数列的单调性类型 满足条件递增数列 an1 an递减数列 an1 an常数列 an1 an其中 nN *3.数列的通项公式如果一个数列 an的第 n 项 an与 项数 n 之间的函数关系，如果可以用一个公式an f(n)来表示，我们把这个公式
2、 an f(n) 叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果已知数列 an的第一项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 递推公式 .1数列与函数的关系数列是以正整数集 N*(或它的有限子集1,2， n)为定义域的函数 an f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值2数列 an的通项 an与前 n 项和 Sn的关系Sn a1 a2 a3 an，2anError!3两个常用恒等式：an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1.an a1.anan 1 an 1an
3、2 a2a1热身练习1数列 ，的第 10 项是(C)23456789A. B.1617 1819C. D.2021 2223由数列的前 4 项可知，数列的一个通项公式为 an .当 n10 时， a102n2n 1 .210210 1 20212原命题为“若 an， nN *，则 an为递减数列” ，关于其逆命题，否命题，an an 12逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A)A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假an，即 an an1 2an，则 an1 an.an an 12所以 an是递减数列故原命题为真，其逆否命题也为真若 an为递减数列，则 an1 an，所以 an
4、 an1 2an，所以 an，故其逆命题也是真命题，则其否命题也为真命题an an 123已知数列 an的通项公式是 an n(n1)，则 132 是该数列的(C)A第 9 项 B第 10 项C第 11 项 D第 12 项因为 n(n1)132，所以 n2 n1320，所以 n11，或 n12(舍去)4设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为(A)A15 B16C49 D64因为 S8 a1 a2 a7 a8， S7 a1 a2 a7，3所以 a8 S8 S78 27 215.5在数列 an中， a12， an1 anln(1 )，则 an(A)1nA2ln n B2( n1)l
5、n nC2 nln n D1 nln n由递推关系得： a22ln 2， a32ln 3，由题中选项特点知，选 A.由数列的前几项求数列的通项写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1) ， ， ，；2338 415524(2)3,5,9,17,33，.(1)观察每一项的符号：奇数项为负，偶数项为正，符号可由(1) n确定；观察分子：符合规律： n1；观察分母：符合规律：( n1) 21.最后综合得所求通项公式为 an(1) n (nN *)n 1 n 1 2 1(2)(方法一)由于每项的值增长很快，与2 n：2,4,8,16,32，进行比较，得所求通项为 an2 n1( nN
6、*)(方法二)考虑前后两项的关系，有a2 a12 1， a3 a22 2， a4 a32 3， an an1 2 n1 ，累加得， an a12 12 22 n1 2 n2，所以 an2 n1( nN *)(1)依据数列前几项的特点归纳出通项公式的方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系具体可通过观察(观察项与项数的特点)、分析(系数、分子、分母等)、比较(与熟知的数列如等差、等比、(1) n,2n， n2等进行比较)、综合(综合写出项与项数的关系)得到所求数列的通项公式(2)注意掌握下列恒等式：an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1.1根据数列前几项，写出数
7、列的一个通项公式：4(1) ， ，；451241127(2)1,3,6,10，.(1)注意到前四项中有两项的分子为 4，不妨把分子都统一成 4，即 ，45， ， ，所以 an .48411414 43n 2(2)(方法一) an123 n .n n 12(方法二)观察得 an an1 n(n2)所以 an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1 n( n1)321 .n n 12由数列的前 n 项和 Sn求数列的通项设数列 an前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn3 n2，则 an ；(2)若 Sn n23 n，则 an .(1)当 n1 时， a1 S1321；当 n
8、2 时， an Sn Sn1 23 n1 ，所以 anError!(2)当 n1 时， a1 S14；当 n2 时， an Sn Sn1 n23 n( n1) 23( n1)2 n2，对于 n1，有 212 a1，所以所求数列的通项 an2 n2( nN *)(1)Error! (2)2 n2( nN *)由 Sn求 an的步骤：(1)当 n1 时， a1 S1；(2)当 n2 时， an Sn Sn1 ；(3)当 n1 的情况进行检验，若适合 n2 的表达式，则可以合并；若不适合，则写也分段函数形式52(2017陕西咸阳二模)已知正项数列 an中， (nN *)，则数列 an的通项公式为(B
9、)a1 a2 ann n 12A an n B an n2C an D ann2 n22因为 ，a1 a2 ann n 12当 n2 时， ，a1 a2 an 1 n 1 n2得 n，ann n 12 n 1 n2所以 n2 时， an n2.又当 n1 时， 1， a11，适合上式a1122所以 an n2(nN *)简单的递推公式求通项根据下列各个数列 an的首项和递推关系，求其通项公式：(1)a11， an an1 3 n1 (n2)；(2)a1 ， an1 an1( nN *)12 12(1)a11， an an1 3 n1 ，所以 an an1 3 n1 ，令 n2,3,4，得a2
10、a13 1， a3 a23 2， an an1 3 n1 ，以上 n1 个等式相加得： an a133 23 n1 ，又 a11，所以 an1393 n1 (nN *)3n 12(2)设未知数 x，使 an1 x (an x)成立，12所以 an1 an x，与 an1 an1 比较得 x2.12 12 12an1 2 (an2)0.12所以 an2是以 a12 为首项， q 的等比数列52 12所以 an2 ( )n1 ，52126即 an25( )n(nN *)12(1)由递推关系求通项，要求掌握如下方法：累加法与累乘法：an an1 f(n)，可采用累加法求出 an(条件是 f(n)可求
11、和)； g(n)，可采用累乘法求出 an(条件是 g(n)可求积)anan 1转化法：通过待定系数法、适当变形(如取倒数)等转化为等差数列或等比列数列求通项如 an pan1 q(p， q 为常数)可采用待定系数法转化为等比数列求通项3(1)数列 an的首项 a11， an an1 (n2， nN *)，则 an (nN *) .n 1n 1n(2)已知 a11， an1 (nN *)，则 an (nN *) .2anan 2 2n 1(1)因为 an an1 (n2)，n 1n所以 an1 an2 ， a2 a1，n 2n 1 12将以上 n1 个式子相乘得 an a1 (n2)，12 23
12、 n 1n a1n 1n经检验 n1 时也适合，所以 an (nN *)1n(2)两边取倒数得 ，1an 1 an 22an 12 1an 1an 1 1an 12所以 是以 1 为首项，以 为公差的等差数列，1an 1a1 12所以 1( n1) ，即 an (nN *)1an 12 n 12 2n 11根据数列的前若干项写出数列的通项公式，关键是通过观察、分析、比较，发现项与项数之间的关系如果关系不明显时，应将该项的值作适当的变形和分解，让规律凸现出来同时，要熟悉一些基本数列的通项及其特点，如正整数数列，正整数的平方数列，奇数数列，偶数数列，2 或 3 为底的幂的数列，数列(1) n等2已知 Sn求 an，要注意公式 an Sn Sn1 成立的充要条件是 n2，所得到的 an的表达式一定要检验 a1 S1是否适合 n2 的表达式，如不适合，则 anError!如适合，则7an Sn Sn1 (n1)3已知递推公式求通项，要求掌握如下常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式要求掌握如下结论：an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1.an a1.anan 1 an 1an 2 a2a1(3)利用待定系数法或适当变形等转化为等差数列或等比数列求解的简单的递推关系问题
