1、1空间角及其计算1在正方体 ABCD A1B1C1D1中， BC1与平面 BDD1B1所成的角为(A)A30 B45C60 D90取 B1D1的中点 E，连接 C1E， BE，因为 C1E平面 BDD1B1，所以 C1BE即为所求角 .因为 sin ，所以 30，选 A.222 122正四棱锥的侧棱长为 2 ，侧棱与底面所成的角为 60，则该棱锥的体积为(B)3A3 B6 C9 D18棱锥的底面对角线长为 22 cos 602 ，高为 2 sin 603，设底面3 3 3边长为 a，则 a2 ，所以 a ，2 3 6所以底面面积为 a26，所以其体积 V 636，所以选 B.133已知二面角
2、l 的大小为 60， m， n为异面直线，且 m ， n ，则m， n所成的角为(B)A30 B60C90 D1204如图，平面 平面 ， A ， B ， AB与平面 ， 所成的角分别为 和 .过 A， B分别作两平面交线的垂线，垂足为4 6A， B，若 AB12，则 A B(B)A4 B6 C8 D9连接 AB，设 AB a，可得 AB与平面 所成的角为 BAB ，在 Rt42BAB中，有 AB a.22同理可得 AB与平面 所成的角为 ABA ，6所以 A A a.12因此在 Rt AA B中， A B a， 22a 2 12a 2 12因为 AB12，所以 A B6，故选 B.5长为 2
3、a的线段 AB在平面 内的射影线段 A1B1的长为 a，则直线 AB与平面 所成的角的大小为 60 .设直线 AB与平面 所成的角为 ，则 cos ，则 60.a2a 126已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 .36如图， O为底面正 ABC的中心，则 OP平面ABC， PCO即为所求角，设 AB1，则 PC2， OC ，33所以 cos PCO .OCPC 367(2018天津卷)如图，在四面体 ABCD中， ABC是等边三角形，平面 ABC平面ABD，点 M为棱 AB的中点， AB2， AD2 ， BAD90.3(1)求证： AD BC；(2)求异面直线
4、 BC与 MD所成角的余弦值；(3)求直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值(1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB， AD AB，可得AD平面 ABC，故 AD BC.(2)如图，取棱 AC的中点 N，连接 MN， ND.又因为 M为棱 AB的中点，所以 MN BC.3所以 DMN(或其补角)为异面直线 BC与 MD所成的角在 Rt DAM中， AM1，故 DM .AD2 AM2 13因为 AD平面 ABC，所以 AD AC.在 Rt DAN中， AN1，故 DN .AD2 AN2 13在等腰三角形 DMN中， MN1，可得 cos DMN .12MNDM 13
5、26所以，异面直线 BC与 MD所成角的余弦值为 .1326(3)如图，连接 CM.因为 ABC为等边三角形， M为边 AB的中点，所以 CM AB， CM .3又因为平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB，而 CM 平面 ABC，故 CM平面 ABD，所以 CDM为直线 CD与平面 ABD所成的角在 Rt CAD中， CD 4.AC2 AD2在 Rt CMD中，sin CDM .CMCD 34所以，直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值为 .348直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M， N分别是 A1B1， A1C1的中点，BC CA CC1，则 BM与 A
6、N所成的角的余弦值为(C)A. B.110 25C. D.3010 22取 BC的中点 D，连接 MN， ND， AD，由于 MN B1C1 BD，因此 ND BM，12则 ND与 NA所成的角即为异面直线 BM与 AN所成的角设 BC2，则 BM ND ， AN ， AD ，6 5 5因此，cos AND .ND2 NA2 AD22NDNA 30109已知正四面体 A BCD的棱长为 a.4(1)AC与平面 BCD所成角的余弦值为 ；33(2)二面角 A BD C的平面角的余弦值为 .13设 A在底面 BCD上的射影为 O，连接 OA，连接 OC并延长与 BD相交于 E，连接AE.(1)因为
7、 AO平面 BCD，所以 ACO就是 AC与平面 BCD所成的角因为 BCD是正三角形，所以 O是 BCD的中心在 Rt AOC中， OC a a，23 32 33所以 cos ACO .OCAC 33所以 AC与平面 BCD所成角的余弦值为 .33(2)因为四面体 A BCD为正四面体，所以 BCD和 ABD都为正三角形，所以 OE BD且 AE BD，所以 AEO为二面角 A BD C的平面角，所以 OE a ， AE a，13 32 3a6 32所以 cos AEO .OEAE 13所以二面角 A BD C的平面角的余弦值为 .1310如图，已知菱形 ABCD的边长为 a， ABC60，
8、 PC平面ABCD，且 PC a， E为 PA的中点(1)求证：平面 BED平面 ABCD；(2)求 PB与平面 PAC所成角的正弦值；(3)求二面角 D PA B的平面角的余弦值5(1)证明：设 AC交 BD于 O，连接 OE，因为 O是 AC的中点， E是 PA的中点，所以 OE PC，又 PC平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD，因为 OE 平面 BED，所以平面 BED平面 ABCD.(2)连接 OP，因为 ABCD是菱形，所以 BD AC，又 PC平面 ABCD，所以 BD PC，PC AC C，所以 BD平面 PAC，所以 OP是 BP在平面 PAC上的射影，所以 BPO即为所
9、求角在 Rt BPO中， OB a， PB a，32 2所以 sin BPO .OBPB 64所以 PB与平面 PAC所成角的正弦值为 .64(3)过 D作 DF PA于 F，连接 BF，由(2)知 BD PA，DF BD D，所以 PA平面 BFD， BF 平面 BFD，所以 PA BF，所以 DFB即是所求二面角的平面角在 DFB中，可考虑用余弦定理求 DFB.因为 PD PA a，2取 AD的中点 G，连接 PG，则 PG AD， PG a，PD2 DG272由等面积法知 ADPG PADF，得 DF a，a72a2a 144BF DF a， BD a，144 36所以 cos DFB .1416a2 1416a2 3a221416a2 57所以二面角 D PA B的平面角的余弦值为 .57
