1、各种分布的随机数的生成 1 基本方法 在计算机中都备有可直接使用的均匀分布随机函数或程序，一般是用数值转换中的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并不是随机的，因此称为伪随机数。不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连检验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用 在一般情况下，计算机中的随机函数所产生的数列为 0,1区间均匀分布的随机数列，有时就需要转换成其它分布的随机数列，如正态分布 、瑞利分布 等， 下面讨论如何从 0,1区间均匀分布的随机数列 n , 21 得到任意分布的随机变量抽
2、样。 设所求的任意分布的随机变量 的 概率密度 函数为 )(xf ，其累积分布函数为)(xF ， 且 )(xF 在 0,1区间是 单调递增的连续函数， 则有 随机变量 )( F （ 1） 是 0,1区间上的均匀分布的随机变量 。 由（ 1）式可得 )(1 F （ 2） （ 2）式表示可用求累积分布函数的反函数的方法来产生任意分布的随机数。若)(F 不是某种典型的分布函数而是由统计得到的数值表，则用数值法作随机抽样的计算。 2 均匀分布 2.1 定义 若连续随机变量 的概率密度为 其它当,0,1)( bxaabxf 则称 服从均匀分布 ，记为 ),( ba ， 数学期望 2baE ，方差 12
3、)( 2abD 。 2.2 随机数列的生成 如果 为 0,1区间均匀分布的随机数列 ，则令 ab adxxfF a )()( 于是得 aab )( 即为 a,b区间均匀分布的随机数列。 3 指数分布 3.1 定义 指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔 。 若连续随机变量 的概率密度为 )(0 )()( )( xxexf x ， （ 0 ） 则称 服从指数分布 ，记为 ),( e ，数学期望 1E ，方差21D其累积分布函数为 )(0 )(1)( )( xxexF x 概率密度函数 累积分布函数 图 1 指数分布的概率密度函数和累积分布函数 3.2 随机数列的
4、生成 如果 为 0,1区间均匀分布的随机数列 ，则令 )(1)( eF 于是得 1ln1 即服从指数分布的随机数列。 4 正态分布 4.1 定义 若连续随机变量 的概率密度为 )0(21)( 2 22 )( xexf 则称 服从正态分布，并记为 ),( N ，并且 E ， 2D 特别的，当 0 ， 1 时，称为标准正态分布， 记为 )1,0(N ，此时 2221)(xexf 正态分布的概率密度函数曲线见 图 2。 图 2 正态分布的概率密度函数（绿色为标准正态分布） 标准正态分布的累积分布函数能够被一个叫做误差函数的特殊函数表示， 2e r f12121)( 22 xdxexF x x 其中
5、012 !)!12(22e rf 2kkkx k xex正态分布的累积分布函数 图形曲线见 图 3。 图 3 正态分布的 累积分布 函数 （ 颜色与概率密度函数同 ） 它的反函数被称为反误差函数，为 )12(erf2)( 11 xxF 正态分布的 累积 分布函数 )(xF 没有 初等函数 表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。 虽然 正态分布函数 的积分不能用初等函数表达出来，但我们还可以采用 其它的方法来生成正态分布随机数。 4.2 根据中心极限定理生成正态分布随机数列 中心极限定理为： 设 、 n 21 为相互独立具有相同分布的随机变量序列， nE 、2 nD （
6、),2,1,0 n ，则 x tnk kn dtexnP 2211 211lim 中心极限定理说明，无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布的。相应的，如果多个随机变量均为 0,1区间的均匀分布，则生成标准正态分布的式子为： 212 1 kk ki i 其中， k 为 0,1区间均匀分布的随机变量的个数。 k 值可以根据计算精度来选取，若取 k=12，则 6121 i i。此时算得的 将不超过 (-6,6)的范围，这对于一般可靠度的计算已达足够精度。 4.3 Box-Muller算法 在 4.2节给出的方法是一种近似算法，是用 多项式估计正态分布 ， Box-Muller算法则给出
7、了一种精确的生成方法。 Box-Muller 算法隐含的原理 较为复杂 ，但结果却是相当简单 ： 如果 1 、 2 是 在 0,1区间 上均匀分布的 随机 变量， 则 22111 2co s)ln2( 22112 2sin)ln2( 均为服从 )1,0(N 标准正 态分布的独立随机变量，它在整个区域上都是精确的，只取决于 1 和 2 的随机性和独立性。 4.4 标准 正态分布转换为一般正态分布 如果随机变量 服从标准正态分布，则 令 x x就是服从 ),( N 分布的随机变量的抽样。 5 对数正态分布 5.1 定义 若连续随机变量 的概率密度为 )0(21)( 2 22 )(ln xexxf
8、则称 服从对数正态分布 ，记为 ),( Ln ， 并且 22 eE ， 22 2)1( eeD 概率密度函数 累积分布函数 图 4 对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数 5.2 随机数列的生成 对数正态分布的随机数列的可由正态分布的随机数列生成，对数正态分布和正态分布的关系为： 如果 X 是正态分布的随机变量，则 Xe 为对数 正态 分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 Yln 为正态分布。 首先应根据对数正态分布的随机数列的数学期望和方差，求出正态分布的数学期望和方差。设 X服从对数正态分布， 均值 为 x ， 方差 为 2x ， 则 XY ln 服从正态分布，设其 均值 为 y ， 方
9、差 为 2y 。 由 X和 Y的关系，可得 方程 222222)1( yyyyyeeexx 解得 22221ln1lnxxyxxxy再按照第 4 节给出的方法生成正态分布的随机数列 Y，代入 yex 中，即得服从对数正态分布的随机数列 X。 6 瑞利分布 6.1 定义 若连续随机变量 的概率密度为 )0()0(,0)0(,)( 2222 xxexxfx 则称 服从对数正态分布 ，记为 )( R ， 并且 2E ， 224 D 瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。 其累积分布函数为 )0(0)0(1)( 222xxexFx 6.2 随机数列的生成 如果 为 0,1区间均匀分布的随机数列 ，则令 2221)( eF 于是得 )1ln(2 2 即服从瑞利分布的随机数列。
