1、1题组训练 86 随机变量的期望与方差1(2018福建漳州二模)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，在取到的 2 个数之和为偶数的条件下，取到的 2 个数均为奇数的概率为( )A. B.15 14C. D.35 34答案 D解析 记“取到的 2 个数之和为偶数”为事件 A， “取到的 2 个数均为奇数”为事件 B，则P(A) ，P(AB) .由条件概率的计算公式得 P(B|A)C32 C22C52 25 C32C52 310 ，故选 D.P（ AB）P（ A）31025 342某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是 1%，现把这种零件每 6 件装成一盒，那么每盒中恰好含一
2、件次品的概率是( )A( )6 B0.0199100C. (1 )5 DC 62( )2(1 )4C61100 1100 1100 1100答案 C解析 PC 611%(1 )5.11003箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为( )A. B. C53C41C54 (59)3 49C. DC 41 35 14 (59)3 49答案 B解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为 .(59)3 494(2017沧州七校联考)某
3、道路的 A，B，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒，35 秒，45 秒某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )2A. B.35192 25192C. D.55192 65192答案 A解析 三处都不停车的概率是 P(ABC) .2560 3560 4560 351925如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. B.49 29C. D.23 13答案 A解析 设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域” ，则 P(A) ，B 表示“第二个23圆盘的指针落在奇数所在的区域”
4、，则 P(B) .23则 P(AB)P(A)P(B) .23 23 496(2017保定模拟)小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有131 次获得通过的概率是( )A. B.49 29C. D.427 227答案 A解析 所求概率 PC 31( )1(1 )31 .13 13 497设随机变量 XB(2，p)，YB(4，p)，若 P(X1) ，则 P(Y2)的值为( )59A. B.3281 11273C. D.6581 1681答案 B解析 P(X1)P(X1)P(X2)C 21p(1p)C 22p2 ，解得 p .(0p1，故 p59 13舍去)53故 P(Y2)
5、1P(Y0)P(Y1)1C 40( )4C 41 ( )3 .23 13 23 11278口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列a n：an 1， 第 n次 摸 取 红 球 ，1， 第 n次 摸 取 白 球 . )如果 Sn为数列a n的前 n 项和，那么 S73 的概率为( )AC 75 BC 72 (13)2 (23)5 (23)2 (13)5 CC 75 DC 72 (23)2 (13)5 (13)2 (23)5 答案 B解析 S 73 说明摸取 2 个红球，5 个白球，故 S73 的概率为 C72 .(23)2 (13)5 9(2018山东师大附中模拟
6、)已知某次考试中一份试卷由 5 个选择题和 3 个填空题组成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有 1 个选项是正确的已知每题答案正确得 5 分，答案错误得 0 分，满分 40 分若小强做对任一个选择题的概率为 ，做对任一个填空题的概23率为 ，则他在这次考试中得分为 35 分的概率为( )12A. B.22243 11243C. D.2281 1181答案 A解析 设小强做对选择题的个数为 ，做对填空题的个数为 ，则 B(5， )，23B(3， )，由于每题答案正确得 5 分，答案错误得 0 分，若小强得分为 35 分，则他做12对题的个数为 7，故所求概率为 P(5)P(2)P(4)P(
7、3)C 55( )5C32( )23 122(1 )C 54( )4(1 )C33( )3 .12 23 23 12 22243410(2018洛阳模拟)在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为 ，23赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为 ，且三个公司是否让其面试是相互独立的则该毕14业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )A. B.116 18C. D.14 12答案 B解析 记事件 A 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会” ，事件 B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会” ，事件 C 为“该毕业生赢得丙公司的面试机会” 由题可得 P(A) ，P(B)P(C) .23 14
8、则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为 ABC，由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P(ABC)P(A)P(B)P(C) (1 ) ，故选 B.23 14 14 1811(2018长沙调研)某次数学摸底考试共有 10 道选择题，每道题给的四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对 9道题的概率为 P，则下列数据中与 P 的值最接近的是( )A310 4 B310 5C310 6 D310 7思路 由“随意”两字知道这是个独立重复试验问题答案 B解析 由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是 10，选题正确的概率是 ，14该同
9、学至少答对 9 道题包括答对 9 道题或答对 10 道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对 9 道题的概率为 PC 109( )9 C 1010( )10310 5 .14 34 1412(2017上海十二校联考)小李同学在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红13灯的概率为_(用最简分数表示)答案 427解析 由于在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则第三个路口首135次遇到红灯的概率为 P(1 )(1 ) .13 13 13 42713(2018天津一中期末)将一个半径适当的
10、小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 A 袋中的概率为_12答案 34解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A， “小球落入 B 袋中”为事件 B，则事件 A 的对立事件为 B，若小球落入 B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故 P(B)( )3(12)3 ，从而 P(A)1P(B)1 .12 14 14 3414某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20 层停靠若该电梯在底层载有 5位乘客，且每位乘客在这三层的
11、每一层下电梯的概率均为 ，用 表示这 5 位乘客在第 2013层下电梯的人数，则 P(4)_答案 10243解析 考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验，故B(5， )13即有 P(k)C 5k( )k( )5k ，k0，1，2，3，4，5.13 23P(4)C 54( )4( )1 .13 23 1024315某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_答案 0.128
12、解析 依题意得，事件“该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面 4 个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错；第三、四个问题都答对了” ，因此所求事件的概率等于0.8(10.8)(10.8) 20.820.128.16(2018山东师大附中测试)在一次数学考试中，第 22，23，24 题为选做题，规定每位6考生必须且只需在其中选做一题，设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 ，每位13考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第 2
13、3 题的人数为 ，求 的分布列及数学期望答案 (1) (2)13 53解析 (1)设事件 A1表示甲选第 22 题，A 2表示甲选第 23 题，A 3表示甲选第 24 题，B1表示乙选第 22 题，B 2表示乙选第 23 题，B 3表示乙选第 24 题，则甲、乙两人选做同一题的事件为 A1B1A 2B2A 3B3，且 A1与 B1，A 2与 B2，A 3与 B3相互独立，所以 P(A1B1A 2B2A 3B3)P(A 1)P(B1)P(A 2)P(B2)P(A 3)P(B3)3 .19 13(2)设 可能的取值为 0，1，2，3，4，5.B(5， )，13P(k)C 5k( )k( )5k C
14、 5k ，k0，1，2，3，4，5.13 23 25 k35 的分布列为 0 1 2 3 4 5P 32243 80243 80243 40243 10243 1243E()np5 .13 5317(2018河南五个一联盟)空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；300 为严重污染一环保人士记录去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如下(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的
15、天数；(按这个月总共 30 天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望答案 (1)18 (2)957解析 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2，空气质量良的天数为 4，故该样本中空气质量优良的频率为 ，估计该月空气质量优良的频率为 ，从而估计该月610 35 35空气质量优良的天数为 30 18.35(2)由(1)可估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0，1，2，3.35P(0)( )3 ，25 8125P(1)C 31 ( )2 ，35 25 36125P(2)C 32( )2 ，35 25 5
16、4125P(3)( )3 .35 27125 的分布列为 0 1 2 3P 8125 36125 54125 27125B(3， )，E()3 .35 35 951每次试验的成功率为 p(0P(5)故选 D.4.如图所示，用 K，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统当K 正常工作且 A1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K，A 1，A 2正常工作的概率依次是 0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A0.960 B0.864C0.720 D0.576答案 B解析 A 1，A 2不能同时工作的概率为 0.20.20.04，所以 A1，A 2至少有一个正常工作的概
17、率为 10.040.96，所以系统正常工作的概率为 0.90.960.864.5由 0，1 组成的三位编号中，若用 A 表示“第二位数字为 0 的事件” ，用 B 表示“第一位数字为 0 的事件” ，则 P(A|B)( )A. B.12 14C. D.16 18答案 A解析 因为第一位数字可为 0 或 1，所以第一位数字为 0 的概率 P(B) ，第一位数字为 012且第二位数字也是 0，即事件 A，B 同时发生的概率 P(AB) ，所以 P(A|B)12 12 14 .P（ AB）P（ B）1412 126在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次
18、的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )A0.4，1) B(0，0.69C(0，0.4 D0.6，1)答案 A解析 C 41p(1p) 3C 42p2(1p) 2，4(1p)6p，p0.4，又 0p1，0.4p1.7从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件B 为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B.18 14C. D.25 12答案 B解析 P(A) ，P(AB) ，P(B|A) .C32 C22C52 25 C22C52 110 P（ AB）P（ A） 148一个病人服用某种新药
19、后被治愈的概率为 0.9，则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为_(用数字作答)答案 0.947 7解析 分情况讨论：若共有 3 人被治愈，则 P1C 43(0.9)3(10.9)0.291 6；若共有4 人被治愈，则 P2(0.9) 40.656 1，故至少有 3 人被治愈概率 PP 1P 20.947 7.9(2017武汉调研)如图所示，圆通快递公司送货员从公司 A 处准备开车送货到某单位 B 处，有 ACDB，AEFB 两条路线若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如ACD 算作两个路段，路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 C
20、D 发生堵16车事件的概率为 )若使途中发生堵车事件的概率较小，则由 A 到 B 应选110择的路线是_思路 利用相互独立事件同时发生的概率公式与对立事件的概率公式、求出路线ACDB 途中堵车与路线 AEFB 途中堵车的概率，哪条路线堵车的概率小，就选择哪条路线答案 AEFB解析 路线 ACDB 途中发生堵车事件的概率为 P11(1 )(1 )(1 )16 110 25，1120路线 AEFB 途中发生堵车事件的概率为 P21(1 )(1 )(1 ) .15 18 15 1125因为 ，所以应选择路线 AEFB.112511201010在某校老师趣味投蓝比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至
21、少投进 4 个球且最后 2个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是 .23(1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率答案 (1)E(X)4 (2)3281解析 (1)X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，XB(6， )，23P(Xk)C 6k( )k( )6k (k0，1，2，3，4，5，6)23 13所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 6P 1729 4243 20243 160729 80243 64243 64729故 E(X) (0111226031604
22、2405192664) 4.1729 2 916729(或因为 XB(6， )，所以 E(X)6 4.)23 23(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 P(A)C 42( )2( )4C 41 ( )5( )6 ，13 23 13 23 23 3281即教师甲在一场比赛中获奖的概率为 .328111(2018福州市高三质检)质检过后，某校为了解理科班学生的数学、物理学习情况，利用随机数表法从全年级 600 名理科生的成绩中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析已知学生考号的后三位分别为 000，001，002，599.(1)若从随机数表的第 4 行第 7 列的数开始向右读，请依次写出抽
23、取的前 7 人的后三位考号；(2)如果第(1)问中随机抽取到的 7 名同学的数学、物理成绩(单位：分)依次对应如下表：数学成绩 90 97 105 123 117 130 135物理成绩 105 116 120 127 135 130 140从这 7 名同学中随机抽取 3 名同学，记这 3 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求 的分布列和数学期望(规定成绩不低于 120 分为优秀)附：(下面是摘自随机数表的第 3 行到第 5 行)1115 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 1012 5
24、6 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30答案 (1)310，503，315，571，210，142，188 (2)E()97解析 (1)抽出的前 7 人的后三位考号分别为：310，503，315，571，210，142，188.(2) 的所有可能取值为 0，1，2，3.依题意知， 服从超几何分布 H(7，3，3)，所以 P(0) ，P(1) ，C30
25、C43C73 435 C31C42C73 1835P(2) ，P(3) .C32C41C73 1235 C33C40C73 135故随机变量 的分布列为 0 1 2 3P 435 1835 1235 135方法一：所以 E()0 1 2 3 .435 1835 1235 135 97方法二：所以 E() .337 97解题技巧 求解此类问题的关键：一是会“读数” ，即会利用随机数表的读数规则，得到样本；二是求概率，即会利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求基本事件的概率；三是定分布，即判断离散型随机变量是否服从超几何分布 H(N，M，n)；四是用公式，即利用超几何分布的概率、期望、方差的公式 P(Xk) (k0，1，m)，E(X)CMkCN Mn kCNn ，D(X) (1 ) ，求出 X 取每个值时的概率及 X 的期望、方差MnN nMN MNN nN 1易错点拨 本题的易错点是混淆超几何分布与二项分布，两种分布的本质差别在于“有放回”与“无放回” ， “有放回”是二项分布， “无放回”是超几何分布
