1、1题组训练 71 专题研究 2 圆锥曲线中的最值与范围问题1(2017绵阳二诊)若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 在椭圆上x24 y23的任意一点，则 的最大值为( )OP FP A. B6214C8 D12答案 B解析 由题意得 F(1，0)，设 P(x，y)，则 (x，y)(x1，y)x 2xy 2，又OP FP 点 P 在椭圆上，故 1，所以 x2x3 x2 x2x3 (x2) 22，又x24 y23 34 14 142x2，所以当 x2 时， (x2) 22 取得最大值 6，即 的最大值为 6.14 OP FP 2(2018四川成都七中模拟)若直线 l 过抛物
2、线 C：y 24x 的焦点 F 交抛物线 C 于 A，B两点，则 的取值范围为( )1|AF| 1|BF|A1 B(0，1C1，) D ，112答案 A解析 由题意知抛物线 C：y 24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，准线方程为 x1.设过点F 的直线 l 的斜率 k 存在，则直线的方程为 yk(x1)代入抛物线方程，得 k2(x1)24x，化简得 k2x2(2k 24)xk 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x21.根据抛物线性质可知，|AF|x 11，|BF|x 21， 1.当1|AF| 1|BF| 1x1 1 1x2 1 x1 x2 2x1 x2 2直线 l
3、 的斜率不存在时，直线的方程为 x1，把 x1 代入 y24x 得 y2， 1|AF|1.故选 A.1|BF|3(2018云南曲靖一中月考)已知点 P 为圆 C：x 2y 22x4y10 上的动点，点 P 到某直线 l 的最大距离为 6.若在直线 l 上任取一点 A 作圆的切线 AB，切点为 B，则|AB|的最小值是_答案 2 3解析 由 C：x 2y 22x4y10，得(x1) 2(y2) 24，由圆上动点 P 到某直线 l2的最大距离为 6，可知圆心 C(1，2)到直线 l 的距离为 4.若在直线 l 上任取一点 A 作圆的切线 AB，切点为 B，则要使|AB|最小，需 ACl，|AB|的
4、最小值是 2 .42 22 34(2018河南百校联盟质检)已知椭圆 C： 1(ab0)的x2a2 y2b2四个顶点组成的四边形的面积为 2 ，且经过点(1， )222(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C 的下顶点为 P，如图所示，点 M 为直线 x2 上的一个动点，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 垂直于 OM，且与 C 交于 A，B 两点，与 OM 交于点 N，四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1，S 2.求 S1S2的最大值答案 (1) y 21 (2)x22 22解析 (1)(1， )在椭圆 C 上， 1，又椭圆四个顶点组成的四边形的面积22 1a2 12b2为 2
5、， 2a2b2 ，ab ，解得 a22，b 21，椭圆 C 的方程为 y 21.212 2 2 x22(2)由(1)可知 F(1，0)，设 M(2，t)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则当 t0 时，直线 OM 的方程为 y x.所以 kAB ，直线 AB 的方程为 y (x1)，t2 2t 2t即 2xty20(t0)，由 得(8t 2)x216x82t 20.y 2t（ x 1） ，x2 2y2 2 0， )则 (16) 24(8t 2)(82t 2)8(t 44t 2)0，x1x 2 ，x 1x2 .168 t2 8 2t28 t2|AB| .1 kAB28 t2 1 4t2
6、 22t2（ t2 4）8 t2 22（ t2 4）8 t2又|OM| ，S 1 |OM|AB| .t2 412 12t2 4 22（ t2 4）8 t2 2（ t2 4） t2 48 t2由 得 xN ，S 2 1 .y 2t（ x 1） ，y t2x ) 4t2 4 12 4t2 4 2t2 4S 1S2 b0)的离心率为x2a2 y2b2，抛物线 C2：x 2ay 的准线方程为 y .32 12(1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程；(2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 P，Q，若 O 在以 PQ 为直径的圆的外部，求直线 l 的斜率 k 的取值范围答案 (
7、1) y 21 (2)k(2， )( ，2)x24 32 324解析 (1)由题意得 ，a2，故抛物线 C2的方程为 x22y.a4 12又 e ，c ，b1，从而椭圆 C1的方程为 y 21.32 3 x24(2)显然直线 x0 不满足条件，故可设直线 l：ykx2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)由 得(14k 2)x216kx120.x24 y2 1，y kx 2， )(16k) 2412(14k 2)0，k(， )( ，)，32 32x1x 2 ，x 1x2 ， 16k1 4k2 121 4k2根据题意，得 00， 2 OP OQ x 1x2y 1y2x 1x2(kx 12)
8、(kx 22)(1k 2)x1x22k(x 1x 2)4OP OQ 2k 4 0，12（ 1 k2）1 4k2 16k1 4k2 16 4k21 4k22b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离x2a2 y2b2心率为 ，点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|2，F 1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与12椭圆 C 交于 P，Q 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M(m，0)，使得 MNPQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2)存在 理由略x24 y23解析 (1)由 e 得 a2c.由
9、|AF 1|2 得|AF 2|2a2.12由余弦定理得|AF 1|2|AF 2|22|AF 1|AF2|cosF 1AF2|F 1F2|2，即 a23a3c 2，解得 c1，a2，b 2a 2c 23.所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)存在这样的点 M 符合题意设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)5由 F2(1，0)，设直线 PQ 的方程为 yk(x1)，由 得(4k 23)x 28k 2x4k 2120，x24 y23 1，y k（ x 1） ， )得 x1x 2 ，故 x0 .8k24k2 3 x1 x22 4k24k2 3又点 N 在直线 PQ
10、 上，所以 y0 ，所以 N( ， ) 3k4k2 3 4k24k2 3 3k4k2 3因为 MNPQ，所以 kMN ，整理得 m (0， )0 3k4k2 3m 4k24k2 3 1k k24k2 314 3k2 14所以在线段 OF2上存在点 M(m，0)，使得 MNPQ，m 的取值范围为(0， )141(2018山西五校联考)设点 F 为椭圆 C： 1(m0)的左焦点，直线 yx 被椭圆x24m y23mC 截得的弦长为 .4427(1)求椭圆 C 的方程；(2)圆 P：(x )2(y )2r 2(r0)与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为线段 AB 上任意一437 337点，直线 F
11、M 交椭圆 C 于 P，Q 两点，AB 为圆 P 的直径，且直线 FM 的斜率大于 1，求|PF|QF|的取值范围答案 (1) 1 (2)( ， x24 y23 94 125解析 (1)由 得 x2y 2 ，故 2 2 ，解得 m1，故椭y x，x24m y23m 1， ) 12m7 x2 y2 24m7 4427圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x1 x2 837，y1 y2 637. )又x124 y123 1，x224 y223 1， )6所以 0，（ x1 x2） （ x1 x2）4 （ y1 y2） （ y1 y2）3则(x 1
12、x 2)(y 1y 2)0，故 kAB 1.y1 y2x1 x2所以直线 AB 的方程为 y x ，即 yx ，代入椭圆 C 的方程并整理得 7x28337 437 3x 0，则 x10，x 2 .3837又 F(1，0)，直线 FM 的斜率大于 1，则直线 FM 的斜率 k ，)3设 FM：yk(x1)，由 得(34k 2)x28k 2x4k 2120，y k（ x 1） ，x24 y23 1， )设 P(x3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则有 x3x 4 ，x 3x4 . 8k23 4k2 4k2 123 4k2又|PF| |x31|，|QF| |x41|，1 k2 1 k2所以|PF
13、|QF|(1k 2)|x3x4(x 3x 4)1|(1k 2)| 1|4k2 123 4k2 8k23 4k2(1k 2) (1 )93 4k2 94 13 4k2因为 k ，所以 |F 1F2|2 ，2由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹 G 是以 F1，F 2为焦点的椭圆，其方程为 1.y24 x22(2)设直线 l 的方程为 y xm，27代入椭圆方程得( xm) 22x 24，2即 4x22 mxm 240.2由 8m 216(m 24)8(8m 2)0，得 m2b0)的离心率为 ，且经过点x2a2 y2b2 12P(1， )过它的两个焦点 F1，F 2分别作直线 l1与 l2，l 1交
14、椭圆32于 A，B 两点，l 2交椭圆于 C，D 两点，且 l1l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围答案 (1) 1 (2) ，6x24 y23 28849解析 (1)由 a2c，所以 a24c 2，b 23c 2，将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c21，ca 12故所求椭圆方程为 1.x24 y23(2)若 l1与 l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积S6.若 l1与 l2的斜率都存在，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，1k则直线 l1的方程为 yk(x1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联
15、立得方程组 y k（ x 1） ，x24 y23 1， )消去 y 并整理，得(4k 23)x 28k 2x4k 2120.8x 1x 2 ，x 1x2 ，8k24k2 3 4k2 124k2 3|x 1x 2| ，|AB| |x1x 2| .12k2 14k2 3 1 k2 12（ k2 1）4k2 3注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用 代替中的 k，得|CD|1k，12（ k2 1）3k2 4S |AB|CD| ，令 k2t(0，)，12 72（ 1 k2） 2（ 4k2 3） （ 3k2 4）S 72（ 1 t） 2（ 4t 3） （ 3t 4） 6（ 12t2 25t 12）
16、6t12t2 25t 126 6 ，612t 12t 25 649 28849S ，628849综上可知，四边形 ABCD 的面积 S ，6288494(2017衡水中学调研)已知椭圆 C： 1(ab0)过点 A( ， )，离心率为 ，x2a2 y2b2 22 32 22点 F1，F 2分别为其左、右焦点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 y24x 上存在两个点 M，N，椭圆上有两个点 P，Q 满足 M，N，F 2三点共线，P，Q，F 2三点共线，且 PQMN，求四边形 PMQN 面积的最小值答案 (1) y 21 (2)4x22 2解析 (1)由题意得 ，得 bc. 1(ab0)，ca
17、22 （ 22） 2a2 （ 32） 2b2c1，a 22，椭圆 C 的标准方程为 y 21.x22(2)当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0，易得|MN|4，|PQ|2 ，S 四边形2PMQN4 .2当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，与 y24x 联立得k2x2(2k 24)xk 20.令 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x1x 2 2，x 1x21，4k2|MN| 4.1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x24k29PQMN，直线 PQ 的方程为 y (x1)1k将直线与椭圆联立，得(k 22)x 24x22k 20.令 P(x3
18、，y 3)，Q(x 4，y 4)，则 x3x 4 ，x 3x4 ，4k2 2 2 2k2k2 2|PQ| .1 1k2 （ x3 x4） 2 4x3x4 22（ 1 k2）k2 2四边形 PMQN 的面积 S ，42（ 1 k2） 2k2（ k2 2）令 1k 2t(t1)，则 S 4 (1 )4 ，42t2（ t 1） （ t 1） 42t2t2 1 2 1t2 1 2S4 ，其最小值为 4 .2 25(2015浙江文)已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，若直线 AO，BO 分别交直线l：
19、yx2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值答案 (1)x 24y (2)852解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py(p0)，则 1，所以抛物线 C 的方程为p2x24y.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 的方程为 ykx1.由 消去 y，整理，得 x24kx40.y kx 1，x2 4y， )所以 x1x 24k，x 1x24.从而|x 1x 2|4 .k2 1由 解得点 M 的横坐标为 xM .y y1x1x，y x 2， ) 2x1x1 y12x1x1 x124 84 x1同理，点 N 的横坐标 xN .84 x2所以|MN| |xMx N
20、| | |2 284 x1 84 x28 | | .2x1 x2x1x2 4（ x1 x2） 16 82k2 1|4k 3|10令 4k3t，t0，则 k .t 34当 t0 时，|MN|2 2 ；225t2 6t 1 2当 tb0)的左焦点为 F(c，0)，离心率为 ，点 M 在x2a2 y2b2 33椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2y 2 截得的线段长为 c，|FM| .b24 433(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范2围解析 (1)由已知有 ，又由 a2b 2c 2，
21、可得 a23c 2，b 22c 2.c2a2 13设直线 FM 的斜率为 k(k0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc)由已知，有 ，解得 k .(kck2 1)2 (c2)2 (b2)2 33(2)由(1)得椭圆方程为 1，直线 FM 的方程为 y (xc)，两个方程联立，消x23c2 y22c2 33去 y，整理得 3x22cx5c 20，解得 x c，或 xc.因为点 M 在第一象限，可得 M 的53坐标为 .(c，233c)由|FM| ，解得 c1，所以椭圆的方程为 1.（ c c） 2 (233c 0)2 433 x23 y22(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t ，即 yt(x1)(x1)，yx 1与椭圆方程联立 消去 y，整理得 2x23t 2(x1) 26.y t（ x 1） ，x23 y22 1， )又由已知，得 t ，解得 0.于是 m ，得 m .(32， 1) 2x2 23 (23， 233)当 x(1，0)时，有 yt(x1)0，因此 m0.于是 m ，得 m2x2 23.( ， 233)综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 .( ， 233) (23， 233)
