SCARA机器人运动控制系统设计.pdf

1、江西理工大学 SCARA 机器人运动控制系统设计 机器人控制技术结课作业 许楠 6120160149 2017/6/19 1 目录 自述 . 3 摘要 . 4 1 引言 5 2 系统分析及算法分析 6 2.1 SCARA 机器人的结构分析 6 2.1.1 SCARA 机器人的总体结构 6 2.1.2 SCARA 机器人各关节的装配结构 7 2.1.3 SCARA 机器人腕部关节的运动 . 8 2.2 SCARA 机器人的运动学分析 .10 2.2.1 机器人位姿的数学描述 .10 2.2.2 SCARA 机器人的 D-H 坐标变换 .13 2.2.3 SCARA 机器人的正运动学分析 .16

2、2.2.4 SCARA 机器人的逆运动学分析 16 2.3 SCARA 机器人动力学分析 18 2.3.1 动力学建模方法 .18 2.3.2 Lagrange 函数 18 2.3.3 机器人拉氏动力学方程 .19 2.3.4 SCARA 机器人的动力学方程 .20 3 轨迹规划 .25 3.1 SCARA 机器人轨迹规划的方法 25 3.2 SCARA 机器人轨迹规划的生成 27 4 控制策略 .30 4.1 机器人控制系统的特点和要求 .31 4.2 机器人控制的分类 .31 4.3 基于运动控制卡和步进单元的运动控制 31 5 系统总体设计 .33 5.1 机械传动方案 .33 5.2

3、机器人关键零部件设计 33 5.3 大臂和小臂机械结构设计 .33 5.4 腕部机械结构设计 .33 5.4.1 滚珠丝杠部分 33 5.4.2 主轴部分 34 5.4.3 其它设计 34 6 硬件设计与选型 35 6.1 机器人关键零部件的选型 .35 6.1.1 步进电机的计算和选择 .35 6.1.2 同步带的选择计算 .36 6.1.3 滚珠丝杠的选型设计及计算 .38 6.2 运动控制系统的硬件 .41 6.2.1 运动控制卡选择 .41 6.2.2 步进电机驱动器的选择 .41 7 软件设计及系统集成 43 2 7.1 运动控制卡的编程 .43 7.2 系统控制软件的设计 .43

4、7.2.1 控制系统主要模块 43 7.2.2 控制系统软件的 VC 实现 .43 参考文献 .45 附录 .46 3 自述 经过 了半个学期大约八周的 机器人控制课 程的学习，说真心话，对自己的表现不是很满意，未能理解机器人控制技术的精髓，甚至于说连皮 毛都没有。在学期末老师布置的作业中，在有限的时间里，面对着一个完全生疏的领域 ，说实话，自己是不知所措的，不知道该从哪里入手，稀里糊涂之中，下载了大量的文献论文，质量参差不齐，选择 了一篇自己 看来较为完整的学位论文，对 他的内容 进行了从头到尾的阅读，但 是仍然彷徨与迷茫，很 多不理解的东西，文中也并未给出解释。这使得我从开始就没有起一个好

5、头。在这之后，为了完成作业，每天会硬着头皮在做自己研究方向至于抽出一定的时间来阅读一些关于本作业的中 文文献，但是很遗憾，在一周之后，眼看着离交作业的时间越来越近，自己又 无法全身心的投入到该设计中，在有限 的精力下所读得的这一部分资料，任然连皮毛都不懂。但是没办法， 只能开始写作了。仿照着别人的写。边看边写，在模仿他人的同时，夹杂着自己的很少一部分的自身的理 解。当然在这其中，也有着诸多的错误而由于自身水平所限无法发现而已。 其实，我想老师也明白，让我们这种 之前从未接触过机器人设计的学生，来写出一篇自己设计的机器人的论文无疑是异常困难的，况且在这仅有的两周时间，神乎其神。所以说我自己也不否

6、认这篇蹩脚的低水平的文章大多数是参考了别人来的文章，但是我认为这幸亏不是毕业论文，只是为了作业并增进对机器人控制技术了解 的必要之举 。我不内疚，因为这篇文章都是我自己输入的，文章 的每个角落里有哪些内容我都异常的熟悉，哪些地方存在着我自己的理解也异常的熟知。包括其中的上百条公式，都是一手一手码出来的，虽然没能做到 对 一条公式 的理解，但是都有去做了解。 太多的问题来 不及去表达，特此写下这篇自述讲讲自己的对这门课程的认识，相信我在之后的求学或工作生涯中任然能够 再对机器人控制这门学科进行深入的学习和研究。 说声 抱歉，老师要求的软件源代码，由于 自己 的 水平所限，以及查找资料未果，没能附

7、着一篇哪怕蹩脚的控制源码。再次 抱歉。 4 摘要 本设计说明书 首先对 SCARA 机器人做了一个全面的分析 ，从主体结构到运动学算法分析，再到机器人的动力学分析。 运用经典的动力学和运动学方法分析了 SCARA 机器人的。之后对 SCARA 机器人的轨迹规划做了分析，理解了轨迹规划的具体实现步骤。 紧接着，又对机器人的控制策略及其主要遵循的机制做了一个简单的解释。应该说能够大体了 解该机器人的控制方法。之后， 对整个机器人的整体控制思路做除了阐述，使我们能够清晰的了解了整体及局部的控制是如何实现的。最后，通过现实设计需求，指定相应参数，根据实际选择合适的主要 设备部件，这些主要设备 部件的计

8、算及其作用进行了详细的解释。并且在附录中给出了主要的元器件清单。虽然不太全面，但还是能够利用其实现大概功 能。文章的最后还提出了软件的实现方法，讲解了如何利用控制卡实现对机器人的运动控制。 文章基本上 SCARA 机器人所需要的分析方面，文中均有提及，但是由于水平所限，有些不太理解的方面无法给出详尽的解释及解决方案，希望在自己将来能够有机会继续深入研究有关机器人的相关问题。 5 1 引言 20 世纪中期，因为计算机自动化和原子能技术的发展，现代机器人开始在美国得到重视和研究，工业机器人也因此不断得以应用。工业机器人的特点是能实现自动控制、能重复编程、自由度较多，经常搭配刀具或其它可装配的加工工

9、具，从而实 现搬运材料、工件等动作，完成各种作业，属于一种柔性自动化设备。 工业机器人是机器人学的一个分支，它代表了机电一体化的最高成就。自 1962 年美国推出世界上第一台 Un Jmation 型和 Versatran 型工业机器人以来，工业机器人技术迅猛发展， 工业机器人技术综合了机械工程学、电气工程学、微电子工程学、计算机工程学、控制工程学、信息传感工程学、声学工程学、仿生学以及人工智能工程学等多门尖端学科，是感知、决策、行动和交互四大技术的综合的高新技术，具有广泛的研究和应用价值，工业机器人应用水平代表了国家工业自动化水平。 随着工业机器人在制造业的应用范围越来越广阔，其标准化、模块

10、化、网络化和智能化的程度也越来越高，功能越来越强，并向着成套技术和装备的方向发展。机器人应用从传统制造业向非制造业转变，向以人为中心的个人化和微小型方向发展，并将服务于人类活 动的各个领域。总趋势是从狭义的机器人概念向广义的机器人技术 RT 概念转移；从工业机器人产业向解决工程应用方案业务的机器人技术产业发展。机器人技术 (RT)的内涵已变为“灵活应用 机器人技术的、具有实在动作功能的智能化系统” 。我国的机器人研发始于上世纪 70 年代初，前 10 年处于研究单位自行开展研究状态，发展比较缓慢。 1985 年后开始列人国家有关计划，发展比较快。特别是在“七五”、“八五”、“九五”机器人技术国

11、家攻关、“ 863”高技术发展计划的重点支持下，我国的机器人技术取得了重大发展，主要表现在机器人基础技术，机 器人的单元技术和基础元部件的研发，机器人控制装置的研制，机器人操作机研制和机器人的应用工程等方面。 工业机器人根据机械结构和坐标系特点可分为直角坐标型 3P、圆柱坐标型 R2P、球坐标型 2RP 和关节坐标型 (3R)的机器人，关节坐标型机器人的结构类似于人手臂，其位置和姿态完全由旋转运动实现，而平面关节型机器人，即 SCARASelective Compliance Assembly Robot Arm 机器人可看作关节坐标型机器人的特例。 SCARA（ Selective Comp

12、liance Assembly Robot Arm，中文译名：选择顺应性装配机器手臂）是一种圆柱坐标型的特殊类型的工业机器人。 SCARA 机器人有 3 个旋转关节，其轴线相互平行，在平面内进行定位和定向。另一个关节是移动关节，用于完成末端件在垂直于平面的运动。 它最适用于平面定位，垂直方向进行装配的作业。 SCARA 系统在 x， y 方向上具有顺从性，而在 Z 轴方向具有良好的刚度，此特性特别适合于装配工作，例如将一个圆头针插入一个圆孔，故 SCARA 系统首先大量用于装配印刷电路板和电子零部件；SCARA 的另一个特点是其串接的两杆结构，类似人的手臂，可 以伸进有限空间中作业然后收回，适

13、合于搬动和取放物件，如集成电路板等。 图 1-1 SCARA 机器人 6 2 系统分析 及算法分析 2.1 SCARA 机器人的结构分析 2.1.1 SCARA 机器人的总体结构 SCARA 机器人有四个旋转自由度和一个移动自由度，各旋转关节轴线相互平行，使机器人能在平面上定位和定向，一个移动关节实现腕部的垂直运动。以平田公司 AR-F650H 型号的 SCARA 机器人为例，如图2-1 所示，三个旋转自由度为 A 轴、 B 轴和 W 轴，移动自由度为 Z 轴。在实际使用中，需要装配与 其腕部 适合的手腕，以实现特定的用途。 图 2-1 AR-F650H 型号的 SCARA 机器人 各关节电机

14、都使用伺服电机， A 轴和 B 轴的减速器选用谐波减速器 ， z 轴和 w 轴采用滚珠丝杠一花键轴的一体式结构，并选用同步带减速。 SCARA 机器人的传动方式如下： A 轴旋转： A 轴电机一谐波减速器一 A 轴； B 轴旋转： B 轴电机一谐波减速器一 B 轴； z 轴垂直直线运动： Z 轴电机一同步带一丝杠螺母一主轴； W 轴旋转： w 轴电机一同步带一花键螺母一主轴。 伺服电机与减速器是机器人结构 中的核心部件，它们对机器人的性能有着很 大的影响。目前机器人中使用的减速器主要有三种：精密行星减速器、 RV 减速器和谐波减速器。谐波减速器和 RV 减速器因为具有很高的传动效率和精度，在机

15、器人中的使用较多。 RV 减速器是有两级减速的7 全封闭式摆线针轮减速器，具有减速比大、同轴线传动、传动精度高、刚度大等特点，适用于负载大、速度高和精度高的场合。谐波减速器是利用行星齿轮传动原理发展而来的新型减速器，也具有传动比大、传动精度高、体积小、重量轻等优点，而且制造成本相对前者要低很多。在 SCARA 机器人中，谐波减速器的应用更为 广泛。 2.1.2 SCARA 机器人各关节的装配结构 大臂 （ A 轴） 的装配结构见图 2-2。 图 2-2 第一自由度剖面图 1.轴 2.轴承套 3.轴承 4.外壳 5.拧紧螺丝 6.端盖 7.电机 小臂（ B 轴）的装配结构图 2-3。 8 图 2

16、-3 第二自由度结构图 1.底部端盖 2.套杯 3.大臂 4.旋转轴 5.小臂 6.步进电机 7.电机轴（输出轴） 8.内六角螺丝钉 9.深沟球轴承 10.小圆螺母 11.内六角螺钉 2.1.3 SCARA 机器人腕部关节的运动 手腕部关节结构装配图如图 2-4 9 图 2-4 第三、四自由度结构示意图 1.小臂 2.支撑架 3.筋板 4.丝杠轴 5.丝杠螺母 6.连接板 7.步进电机 8.可移动板 9.小带轮 10.同步带 11.小圆螺母 12.套筒 13.大带轮 14.直线导轨 15.滑块 16.步进电机 17.电机轴 18.电机连接板 19.连接件 20.深沟球轴承 21.套杯 22.透

17、盖 23.主轴 24.气动夹头 10 2.2 SCARA 机器人的 运动学分析 2.2.1 机器人位姿的数学描述 1. 位置描述 要想完全定位一个刚体，只需要确定刚体上某一点在空间的位置和姿态即可。 假设某一刚体上任 意一点为 p ，那么在直角坐标系 A 中这个刚体的位置可以用一个 31 的列矢量 AP 表示，如式 （ 2.1） 所示。 xyzpppp（ 2.1） 式中， ,x y zp p p 是 p 点在坐标系 A 中的对应坐标值，如图 2-6 所示。 图 2-6 刚体在空间中的位姿 2. 方位描述 要求解机器人的正运动学和逆运动学问题，首先要知道各连杆的位姿，即连杆的位置和姿态。上面已经

18、说过位置的表示方法，姿态可以用机器人连杆上的坐标系 (固联工具坐标系 )的方位表示。一般是在机器人连杆末端建立一个于连杆固联的坐标系 B 来确定方位。具体做法是用坐标系 B 的三个坐标轴单位向 量,B B Bx y z 相对于参考坐标系 A 的三个坐标轴单位向量的方向余弦组成 33 矩阵，它用以描述物体 B 相对于参考坐标系 A 的方位，也就是 B 的姿态。 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3A A A AB B B Br r rR x y z r r rr r r（ 2.2） 式中， ABR -旋 转矩阵； A -参考坐标系 A ； 11 B -与物体固联的坐

19、标系 B ； ABR 有 9 个元素，其中有 3 个元素相互独立。前面已经指出 ,B B Bx y z 是 ABR 的三个 单位向量，三者之间存在两两垂直 的关系，所以这 9 个元素满足 6 个约束条件 （ 即正交条件 ）： 10A A A A A AB B B B B BA A A A A AB B B B B Bx x y y z zx y y z z x （ 2.3） 可见，旋转矩阵 ABR 是正交的，并且满足条件： 1 ,1A A T AB B BR R R （ 2.4） 如果轴 ,xyz 旋转 角 度，那么各轴的旋转矩阵如下： 1 0 0( , ) 0 c o s sin0 sin

20、c o sRx （ 2.5） c o s 0 sin( , ) 0 1 0sin 0 c o sRy（ 2.6） c o s sin 0( , ) sin c o s 00 0 1Rz （ 2.7） 3. 位姿描述 求解运动学问题要求出机器人末端的位姿。前面已经说明了任一点相对于参考坐标系的位置 和姿态的表示方法，现在进一步说明物体 B 在空间中的位姿描述。首先在物体 B 上建立一个坐标系 B ， B 的坐标系原点选择通常是 B 的特征点，例如物体的重心。接着分析坐标系 B 在参考坐标系 A 中的位姿，我们用矢量 ABP 表示 B 的坐标系原点，那么 B 的姿态可用三个坐标轴的单位向量相对于参

21、考坐标系 A 的对应单位向量的余弦值构成的旋转矩阵 ABR 表示。那么物体 B 相对于参考坐标系的位姿就能用 B 的位置和姿态来描述，即有 AABBB R P (2.8) 如果只想知道物体 B 在参考系中的位置，可以令式 (2.8)中的旋转矩阵为单位矩阵； 同样若只想知道物体 B 在参考系下的姿态，可以令式 (2.8)中的位置矢量为零。 4. 坐标系变换 在直角坐标系中，任一点可表示为 Tabc，若用四个数组成列向量 TU x y z w 来表示12 Tabc，且 它们之间关系为 , , ,x y zabcw w w 那么称 Tx y z w 为三维空间点 Tabc的齐次坐标。设矢量 U 沿着

22、矢量 P ai bj ck 平移，相当于 U 和 P 两矢量叠加，如图 2-7所示。 图 2-7 坐标系平移变换 即有： 1 0 00 1 00 0 10 0 0 1xaaxwbyyV U P b H Uczwz wcw （ 2.9） 式 (2.9)中， H 即为齐次平移矩阵。 同理，若假设 R 为旋转矩阵，则： 0000 0 0 1RH （ 2.10） 式 (2.10)为齐次旋转矩阵。那么平移加旋转的变换矩阵为： 0 0 0 1aRbHc （ 2.11） 位姿的齐次坐标变换矩阵即为式（ 2.11）。 13 2.2.2 SCARA 机器人的 D-H 坐标变换 1. D-H 表示法 D-H法是在

23、一定的规则下建立各个连杆坐标系，然后用 4 4的齐次变换矩阵来描述各连杆间的相对位姿关系，再通过变换矩阵的运算就可以求出机器人末端相对基座 (参考坐标系 )的 位姿矩阵。每个连杆都用11, , ,i i i iad 这四个参数来描述，其中 1ia 表示连杆长度， 1i 表示连杆扭角， id 表示两相邻连杆的距离，i 表示两相邻连杆的夹角， 11,iia 描述连杆 i本身的特征， ,iid 描述连杆 i-1和 i 间 的联系。对于旋转关节，i 是关节变量， 11,i i iad 是关节参数；对于平移关节， id 是关节变量， 11,i i ia 是关节参数。 下图 2-8所示为 n个关节的广义连

24、杆系统，取相邻杆件 i-1和 i，及对应的关节 i-1和 i来研究连杆间的齐次变换矩阵。首先建立连杆 i-1和连杆 i间的参考坐标系 i ， 建立过程要遵循以下规则： 图 2-8 D-H 模型参数示意图 1) iz 互轴与第 i+1个关节轴线重合； 2) ix 轴垂直于 1iz 和 iz 轴，并指向 1iz 轴的方向； 3) 1iz 和 iz 轴相交时，以交点为 原点； 1iz 和 iz 轴异面时，以其公垂 线与 iz 轴的交点为原点； 1iz 和 iz轴平行时，以 iz 和 1iz 的公垂线与 iz 轴的交点为原点； 4) iy 轴则通过右手坐标系规则建立。 由以上可知连杆 i-1与连杆 i

25、之间的变换矩阵 iT 由两个旋转和两个平移变换总共四个齐次变换来描述，其关系式为： 1 11( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i i i iT R o t x T r a n s x a R o t z T r a n s z d （ 2.12） 14 式中： 1( , )iRot x 表示坐标系 1i 沿 ix 轴旋转 1i 角； 1( , )iTrans x a 表示坐标系 1i 沿 ix 轴平移 1ia 距离； ( , )iRot z 表示坐标系 1i 绕 iz 轴旋转 i 角； ( , )iTrans z d 表示坐标系 1i 沿 iz 轴平移 id 距离。 展开式

26、 （ 2.12） 可得： 11 1 1 11 1 1 100 0 0 1i i ii i i i i i iii i i i i i ic s as c c c s d sTs s c s c d c （ 2.13） 式中， 1 1 1 1c o s , s i n , s i n , c o si i i i i i i ic s s c ， 以下相同。 根据式 (2.13)能得到各连杆的变换矩阵，机器人末端相对于 基座的位姿矩阵可由各连杆的变换矩阵相乘得 到： 012 0 0 0 00 0 0 1x x x xi i i i y y y yiiz z z zn o a pn o a p n

27、 o a pT T T Tn o a p （ 2.14） 式中， 0iT 表示机器人末端位姿矩阵； i i in o p 表示机器人末端姿态矩阵； ip 珐一表示机器人末端坐标系原点相对基座坐标系原点的位置矢量。 2. SCARA 机器人的 D-H 坐标变换 SCARA机器人属于串联机器人，有四个自由度： 3个旋转副， 1个移动副。根据上述 D-H坐标系建立方法分别建立机器人的各关节坐标系，如图 2-9所示。 15 图 2-9 SCARA 机器人连杆坐标系 由图 2-10 得到 SCARA 机器人各连杆的参数，如表 2-1 所示。 表 2-1 SCARA 机器人连杆参数表 关节 i 1ia （

28、 mm） 1i （ rad） id （ mm） i （ rad） 关节变量 其他 1 0 0 1d 1 1 - 2 1l 0 0 2 2 1l =400mm 3 2l 3d 0 3d 2l =250mm 4 0 0 0 4 4 - 由式 (2 13)可得各连杆的位姿矩阵为： 11111100000 0 10 0 0 1csscTd2 2 12220000 0 1 00 0 0 1c s lscT（ 2.15） 2331 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1lT d 4444400000 0 1 00 0 0 1csscT16 2.2.3 SCARA 机器人的 正运动学分析 机器人的运动

29、学正问题 (DKP-Direct Kinematic Problems)，即已知各关节参数，求解机器人末端执行器相对参考系的位姿矩阵。在求出 SCARA 机器人各关节的位姿变 换矩阵后，再将各变换矩阵连续右乘就能得到机器人末端执行器的位姿方程： 0 4 1 2 3 4T T T T T 1 2 4 1 2 4 1 1 2 1 21 2 4 1 2 4 1 1 2 1 213( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )0 0 10 0 0 1c s l c l cs c l s l sdd （ 2.16） 0 0 0 1x x x xy y y yz z z zn o a pn o a

30、pn o a p由式 (2.16)可得： 1 2 4 1 2 4 1 1 2 1 21 2 4 1 2 4 1 1 2 1 213( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )0 0 1x x x xy y y yz z z zn c o s a p l c l cn s o c a p l s l sn o a p d d （ 2.17） 2.2.4 SCARA 机器人的逆运动学分析 机器人运动学逆问题 (IKP-Inverse Kinematic Problems)，即己知各关节的参数和机器人末端执行器的位姿矩阵，求解各关节的运动变量。 1. 求关节变量 1 对式 (2.16)矩阵左

31、右两端做矩阵逆乘 11T ，可以得到： -1 01 4 2 3 4=T T T T T 而 2 4 2 4 1 2 22 4 2 4 2 22343( ) ( ) 0( ) ( ) 0=0 0 10 0 0 1c s l l cs c l sT T Td 且有 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1- 1 01410 0 0 1x y x y x y x yx y x y x y x yz z z zn c n s o c o s a c a s p c p sn c n s o c o s a c a s p c p sTTn o a p d 即有 17 2 4 2 4

32、 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 131( ) ( ) 0( ) ( ) 00 0 10 0 0 1 0 0 0 1x y x y x y x yx y x y x y x yz z z zc s l l c n c n s o c o s a c a s p c p ss c l s n c n s o c o s a c a s p c p sd n o a p d （ 2.18） 令式 (2.18)中的第一行和第二行的第四列的元素对应相等： 1 2 2 1 12 2 1 1xyl l c p c p sl s p c p s

33、（ 2.19） 由式 (2.18)可以得到： 1 2a rc ta n ( )1A A（ 2.20） 式中， 2 2 2 2122212xyxyp p a aAa p p ； arctan xypp 。 其中正负号表示 1 的解可能有两个。 2. 求关节变量 2 将 1 的值代入到式 (2.19)可得： 1211()a rc ta n ()rcr s a （ 2.21） 其中， 22a rc ta n ,xxyyp r p pp 。 3. 求关节变量 3d 令式 (2.18)中第三行第四列的元素对应相等可得： 31zd d p （ 2.22） 4. 求关节变量 4 令式 (2.18)中第二行第

34、 -N的元素对应相等可得： 2 4 1 1() xys n c n s （ 2.23） 则可得： 4 2 1 1a rc s in ( )xyn c n s （ 2.24） 通过上述计算， SCARA机器人的逆解都已求出。从计算结果可以看出，逆解可能存在多组，虽然都符合求解要求，但是要选择符合实际的一组最优解。 18 2.3 SCARA 机器人动力学分析 机器人的静力和动力分析是其操作机设计、动态性能分析、控制器设计、动态仿真的基础。机器人作为一个复杂的动力学系统，存在严重的非线性，它是由多个关节和多个连杆组成，具有多输入和多输出，之间存在错综复杂的耦合关系。因此分析机器人的 动力学特性，必须

35、从系统角度综合考虑。研究机器人动力学的目的是多方面的。首先是为了实时控制的目的，利用机器人的动力学模型，才有可能进行最优控制，以期达到最优指标和更好的性能。问题的复杂性在于实时的动力学计算。因此各种方案都要做某些简化假设。拟定最优控制方案仍然是当前控制理论的研究课题。此外，利用动力学方程中重力项的计算结果，可进行前馈补偿，以达到更好的动态性能。机械手的动力学模型还可用于调节伺服系统的增益，改善系统的性能。 2.3.1 动力学建模方法 基于不同的力学方程和原理，目前有多种动力学分析方法，如拉格朗日 (Lagrange)法、牛顿一欧拉(Newton-Euler)法、凯恩 (Kane)法、高斯 (G

36、auss)法 和罗伯逊一魏登堡 (Roberson Wittenberg)法等。应该说，只要在理论力学和分析力学中有一种动力学分析方法，就有一种机器人动力学分析方法。我们今天主要说说拉格朗日法。 Lagrange法基于系统能量，对于任何机械系统，其 Lagrange函数 L 为系统动能 KE 和系统势能 PE 之差，即 ( , ) ( , ) ( , )KPL q q E q q E q q，其中可以用任意选取的坐标系来表示，例如广义坐标 iq ， 1,2, ,in 。不限于笛卡尔坐标。本文采用 Lagrange法来分析和求解 SCARA机器人的动力学问题，其具体的推导公式见后文。 Lagra

37、nge法特点： 1. 能以最简单的形式推导非常复杂的系统动力学方程，且具有显式结构； 2. 由于状态方程简单便于设计补偿所有非线性因素的控制规律，可实现闭环控制； 3. 采用这 种具有显式结构，可用来分析和设计关节变量空间的高级控制策略； 4. 设计反馈控制器时，用动力学系数使反作用力的非线性影响最小； 5. 由于解决正逆动力学问题时，均必须计算动力学参数，故在解决简单问题时，较之 Newton-Euler法更繁琐，然而随着系统复杂程度的增加，采用此法反而使得问题简单。 2.3.2 Lagrange 函数 计算系统动能为 KE 时， SCARA机器人的每一个构件，可看作一般运动的刚体，其动能由

38、移动和转动两部分组成，即 /2i T TK i i i i i iE m v v I，对于整个机构1n iKKiEE(驱动器动能()11/2ni acti I也可加入总动能中，此处省略 )。 在运动分析中： X Jq ，即 1ii LiiAnqv JJ q ，式中 iLJ 和 iAJ 是相应 iv 和 i 的 雅克比矩阵的元素，故当下标大于 i 时，即由 i+1到 n 时，由于关节变量 1iq 到 nq 对杆 i 的质心速度 iv 和角速度 i 不产生作用，其相应的雅可比矩阵元素为零。 19 于是有 111()22n T i T i T i T i TK i L L A i AiE m q J

39、 J q q J I J q q H q （ 2.25） 式中，1 ()n i T i i T ii L L A i AiH m J J J I J定义为总惯性张量。 计算系统势能 PE 时，以基础坐标零点为相对零点， g (重心加速度 )为列向量， 则1n TiP i oiE m g r，其中 ior 为各杆质心向量 。 因此，系统的 Lagrange函数 为： 111( , ) ( , ) ( , ) ( )2 nnT i T i T i T i T iK P i L L A i A i oiiL q q E q q E q q m q J J q q J I J q m g r （ 2.

40、26） 2.3.3 机器人拉氏动力学方程 系统的动力学 方程 (称第二类 Lagrange 方程 )为 ; i iid L Lf dt q q(2.27) 式中， iq 为动能和势能的广义坐标， iq 为相应的广义速度， if 称广义力 :如果 iq 是直线坐标，则相应的 if 是力；反之，如果 iq 是角度坐标，则相应的是 if 力矩，由于势能 pE 不显 iq ，故有： pKKii i iEEEdf dt q q q （ 2.28） 将 KE 、 pE 值代入，并用矢量形式表示，则前述的动力学方程 （拉氏方程的一般公式）： ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )M D q q t C

41、q q F q G q 其中， ,qq， q 分别表示关节的位置、速度、加速度向量； D 表示 惯量矩阵 C 描述科里奥利力和向心力的对动力学性能的影响，向心力 与 2q 相关， 科里奥利力与 ijqq 相关； F 描述粘滞摩擦力和库仑摩擦力，一般在刚体动力学分析中不考虑摩擦力，动力学模型中的摩擦力影响问题的收敛性； G 表示重力项； M 表示 对应 g处位姿状态的所有外力。 显式结构化 得 ： ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( ( ) )M t D q t q t H q t q t G q t （ 2.29） 20 其中， ()Mt表示 1n 的关节力矩驱动矢

42、量， 12( ) ( ), ( ), , ( ) TnM t f t f t f t ； ( ) ( ) ( )q t q t q t、 、 ，也都是 1n 矢量， 分别代表表关节量、关节速度、关节加速度； ()Dq 表示系统的惯量矩阵，是 nn 的对称矩阵，其元素为 m a x ( , ) ( ) , ( , 1 , 2 , , )n Tik p j p p ip i jD T r a c e U J U i k n（ 2.30） 当 ik 时， iiD 称为关节 i 处的有效惯量，表示关节 i 的加速度 q 在关节 i 本身上产生相应的力 (矩 ) iiDq；当 ik 时， ijD 称为关

43、节 j对关节 i的耦合惯量，表示关 节 j的加速度 jq ，在关节 i产生相应的力 (矩 ) ij jDq ； ( , )Hqq 表示 1n 的非线性哥氏力和向心力矢量，其元素为： 1211m a x ( , , )( , ) , , , ( , , 1 , 2 , , )()Tnnni ijk j kjknTijk p jk p p ip i j kH q q D D DD D q q i j k nD Tra c e U J U（ 2.31） 当 jk 时， ijjD 表示在关 节 i处由于关节 j处的速度引起的向心力 2ijj jDq ；当 jk 时， ijkD 表示在关节i处由于关节

44、j和 k处的速度引起的哥氏力 ijk j kDqq ； ( ()Gqt 表示 1n 的重力矢量，其元素为： 12( ) ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) ( 1 , 2 , , )nTn i i p i ppiG q G t G t G t G m g U r i n （ 2.32） ()iGt连杆的 i重力项，它与速度和加速度无关； 惯量项和重力项在机械臂控制中特别重要，因为它们直接系统的稳定性和定位精度，只有当机械臂高速运动时，向心力和哥氏力才是重要的。 观察动力学公式，其系数都是机械臂关节变量 g的函数。 因此，对其控制时，要根据机械臂的形位改变不断修正动力学方程的各个系数

45、。 2.3.4 SCARA 机器人的动力学方程 根据上述 Lagrange法的分析，针对具有四个自由度的 SCARA机器人建立它的显示动力学方程，详细过程如下： 首先由前面 正运动学分 析得，各关节的变换矩阵为 ： 21 1111 1 0 11 1 0 10 0 1 00 0 0 1c s l cs c l sQ212121 2 1 2 0 1 2 11 1 0 1 2 10 0 1 00 0 0 1c s l c l cs c l s l sQ （ 2.33） 2121331 2 1 2 0 1 2 11 2 1 2 0 1 2 10 0 10 0 0 1c s l c l cs c l s l sQd 2121431 2 4 1 2 4 0 1 2 11 2 4 1 2 4 0 1 2 10 0 10 0 0 1c s l c l cs c l s l sQd 式中， 1 1 1 2 1 2 1 2 41 c o s , 1