1、1题组训练 54 空间向量的应用（一）平行与垂直1已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a ，向量OA OB OC b ，则与 a， b不能构成空间基底的向量是( )OA OB OC A. B.OA OB C. D. 或OC OA OB 答案 C解析 根据题意得 (a b)， ， a， b共面OC 12 OC 2有 4个命题：若 px ay b，则 p与 a， b共面；若 p与 a， b共面，则 px ay b；若 x y ，则 P，M，A，B 共面；MP MA MB 若 P，M，A，B 共面，则 x y .MP MA MB 其中真命题的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解
2、析 正确，中若 a， b共线， p与 a不共线，则 px ay b就不成立正确中若 M，A，B 共线，点 P不在此直线上，则 x y 不正确MP MA MB 3从点 A(2，1，7)沿向量 a(8，9，12)的方向取线段长|AB|34，则 B点坐标为( )A(18，17，17) B(14，19，17)C(6，1) D(2， ，13)72 112答案 A解析 设 B点坐标为(x，y，z)，则 a(0)，即(x2，y1，z7)AB (8，9，12)由| |34，即 34，得 2.AB 264 281 2144x18，y17，z17.24(2018吉林一中模拟)如图，空间四边形 ABCD中，若向量(
3、3，5，2)， (7，1，4)，点 E，F 分别为线段AB CD BC，AD 的中点，则 的坐标为( )EF A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D(5，2，1)答案 B解析 取 AC中点 M，连接 ME，MF， ( ，1)， ( ， ，2)，ME 12AB 3252 MF 12CD 72 12而 (2，3，3)，故选 B.EF MF ME 5(2017上海奉贤二模)已知长方体 ABCDA 1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为 0的是( )A. B. AD1 B1C BD1 AC C. D. AB AD1 BD1 BC 答案 D解析 当侧面 BCC1B1是正方形时可得 0，
4、所以排除 A.当底面 ABCD是正方形时AD1 B1C AC垂直于对角面 BD1，所以排除 B，显然也排除 C.由题图可得 BD1与 BC所成的角小于 90.故选 D.6已知两个非零向量 a(a 1，a 2，a 3)， b(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( )A. Ba 1b1a 2b2a 3b3a|a| b|b|Ca 1b1a 2b2a 3b30 D存在非零实数 k，使 ak b答案 D解析 应选 D，首先排除 B，C 项表示 a b，A 项表示与 a， b分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行7正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 a，点 M在 AC1上，且 ，
5、N 为 B1B的中点，则|AM 12MC1 |为( )MN A. a B. a216 663C. a D. a156 153答案 A解析 以 D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(a，0，0)，C 1(0，a，a)，N(a，a， )，设 M(x，y，z)a2点 M在 AC1上且 ，AM 12MC1 (xa，y，z) (x，ay，az)12x a，y ，z .23 a3 a3| | a.MN （ a 23a） 2 （ a a3） 2 （ a2 a3） 2 2168.(2018湖南师大附中一模)如图，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线 AB1和 A1C
6、所成角的余弦值为( )A. B14 14C. D12 12答案 A解析 如图所示，以 A为坐标原点，在平面 ABC内过点 A作 AC的垂线，以此为 x轴，以AC所在直线为 y轴，以 AA1所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系设正三棱柱ABCA 1B1C1的各条棱长为 2，则 A(0，0，0)，B 1( ，1，2)，A 1(0，0，2)，C(0，2，0)，3( ，1，2)， (0，2，2)设异面直线 AB1和 A1C所成的角为 ，则 cosAB1 3 A1C .异面直线 AB1和 A1C所成角的余弦值为 .故选 A.|AB1 A1C |AB1 |A1C | | 2|88 14 1449(2018
7、东营质检)已知 A(1，0，0)，B(0，1，1)， 与 的夹角为 120，OA OB OB 则 的值为( )A B.66 66C D66 6答案 C解析 (1，)，OA OB cos120 ，得 . 1 2 22 12 66经检验 不合题意，舍去， .66 6610在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，棱长为 2，O 是底面 ABCD的中心，E，F 分别是 CC1，AD的中点，则异面直线 OE与 FD1所成角的余弦值为( )A. B.105 155C. D.45 23答案 B解析 ( )， ，OE 12AC1 12AB AD AA1 FD1 12AD AA1 ( )( )OE FD1 12
8、AB AD AA1 12AD AA1 ( 2 2) (24)3.1212AB AD AB AA1 12AD AD AA1 12AA1 AD AA1 12而| | ，| | ，OE 1222 22 22 3 FD1 55cos ， .故选 B.OE FD1 315 15511.(2017云南昆明一模)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标为( )A(1，1，1) B(1，1， )2C(1，1， ) D(2，2， )3 3答案 C12(易
9、错题)已知 A(1，1，1)，B(2，3，1)，则与 平行且模为 1的向量是_AB 答案 ( ， )或( ， ， )1323 23 13 23 23解析 (1，2，2)，| |3，所以与 平行且模为 1的向量是 ( ， )，或AB AB AB AB |AB | 1323 23( ， ， )AB |AB | 13 23 2313已知 a(2，4，x)， b(2，y，2)，且| a|6， a b，则 xy 的值为_答案 1 或3解析 依题意得 解得 或4 4y 2x 0，4 16 x2 36， ) x 4，y 3， ) x 4，y 1. )14设 OABC 是四面体，G 1是ABC 的重心，G 是
10、 OG1上的一点，且 OG3GG 1，若x y z ，则(x，y，z)为_OG OA OB OC 答案 ( ， )1414 14解析 如图所示，取 BC的中点 E，连接 AE. ( ) OG 34OG1 34OA AG1 34OA 12AE ( ) ( )34OA 14AB AC 34OA 14OB OA OC OA ( )，xyz .14OA OB OC 1415三棱柱 ABCA 1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA 1CAA 160，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_6答案 66解析 如图，设 a， b， c，设棱长为 1，则 a b，AA1 AB AC AB1 a a
11、 c b，因为底面边长和侧棱长都相等，且BC1 BC BAA 1CAA 160，所以 ab ac bc ，所以| |12 AB1 ，| | ， ( a b)(a c b)1，设异（ a b） 2 3 BC1 （ a c b） 2 2 AB1 BC1 面直线的夹角为 ，所以 cos .AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 123 6616已知空间三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以 ， 为邻边的平行四边形的面积；AB AC (2)若| a| ，且 a分别与 ， 垂直，求向量 a的坐标3 AB AC 答案 (1)7 (2)(1，1，1)或(1，1，1)3解析 (1
12、)由题意，可得 (2，1，3)， (1，3，2)AB AC cos ， .AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 61414 714 12sin ， .AB AC 32以 ， 为邻边的平行四边形的面积为AB AC S2 | | |sin ， 14 7 .12AB AC AB AC 32 3(2)设 a(x，y，z)，由题意得 解得 或x2 y2 z2 3， 2x y 3z 0，x 3y 2z 0. ) x 1，y 1，z 1， ) x 1，y 1，z 1.)向量 a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)17如图，在棱长为 a的正方体 OABCO 1A1B1C1中，E，F 分别是棱
13、AB，BC 上的动点，且AEBFx，其中 0xa，以 O为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.7(1)写出点 E，F 的坐标；(2)求证：A 1FC 1E；(3)若 A1，E，F，C 1四点共面，求证： .A1F 12A1C1 A1E 答案 (1)E(a，x，0)，F(ax，a，0) (2)略 (3)略解析 (1)解：E(a，x，0)，F(ax，a，0)(2)证明：A 1(a，0，a)，C 1(0，a，a)， (x，a，a)， (a，xa，a)，A1F C1E axa(xa)a 20，A1F C1E ，A 1FC 1E.A1F C1E (3)证明：A 1，E，F，C 1四点共面， ， ， 共面A1E A1C1 A1F 选 与 为平面 A1C1E的一组基向量，则存在唯一实数对( 1， 2)，使A1E A1C1 1 2 ，A1F A1C1 A1E 即(x，a，a) 1(a，a，0) 2(0，x，a)(a 1，a 1x 2，a 2)， x a 1，a a 1 x 2， a a 2， )解得 1 ， 21.12于是 .A1F 12A1C1 A1E
