1、1题组训练 66 双曲线（二）1已知集合 A(x，y)| 1，x，yR，B(x，y)| 1，x，yR，则x29 y24 x3 y2AB 中元素的个数为( )A0 B1C2 D3答案 B解析 集合 A表示双曲线，顶点为(3，0)，其渐近线方程为 0，集合 B表示直线，x3 y2与 x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以AB 中元素的个数为 1.故选 B.2直线 l过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，这样的直线有( )2A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 C解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条
2、，共 3条3已知 F1，F 2是双曲线 y 21 的左、右焦点，P，Q 为右支上的两点，直线 PQ过 F2且x22倾斜角为 ，则|PF 1|QF 1|PQ|的值为( )A8 B2 2C4 D随 的大小而变化2答案 C解析 由双曲线定义知：|PF1|QF 1|PQ|PF 1|QF 1|(|PF 2|QF 2|)(|PF 1|PF 2|)(|QF 1|QF 2|)4a4 .24已知双曲线 E的中心为原点，F(3，0)是 E的焦点，过 F的直线 l与 E相交于 A，B 两点，且 AB的中点为 M(12，15)，则 E的方程为( )A. 1 B. 1x23 y26 x24 y25C. 1 D. 1x2
3、6 y23 x25 y24答案 B2解析 由已知易得 l的斜率为 kk FM1.设双曲线方程为 1(a0，b0)，A(x 1，y 1)，x2a2 y2b2B(x2，y 2)，则有 两式相减并结合 x1x 224，y 1y 230，得x12a2 y12b2 1，x22a2 y22b2 1， ) ，从而 1，即 4b25a 2.又 a2b 29，解得 a24，b 25，故选 B.y1 y2x1 x2 4b25a2 4b25a25(2017山东师大附中模拟)过双曲线 x2 1 的右焦点作直线 l交双曲线于 A，B 两y23点，则满足|AB|6 的直线 l有( )A4 条 B3 条C2 条 D1 条答
4、案 B解析 当直线 l的倾斜角为 90时，|AB|6；当直线 l的倾斜角为 0时，|AB|20)上，将点 A的坐标代入得 a2，所以 C的实轴长为 4.7(2018河北石家庄摸底)已知 F1，F 2分别为双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F1的直线 l与双曲线 C的左、右两支分别交于 A，B 两点，若|AB|BF 2|AF 2|51213，则双曲线的离心率为( )A. B.13 41C. D.15 3答案 B解析 设|AF 1|t，|AB|5x，则|BF 2|12x，|AF 2|13x，根据双曲线的定义，得|AF2|AF 1|BF 1|BF 2|2a，即 13x
5、t(5xt)12x2a，解得 t10x，x a，23即|AF 1| a，|AF 2| a.|AB|BF 2|AF 2|51213，ABF 2是以 B为直角的203 263三角形|BF 1|t5x10x5x15x15 a10a，|BF 2|12x12 a8a，则23 233|BF1|2|BF 2|2|F 1F2|2，即 100a264a 24c 2，即 164a24c 2，则 41a2c 2，即c a，因此，该双曲线的离心率 e .故选 B.41ca 418已知直线 ykx1 与双曲线 x2 1 交于 A，B 两点，且|AB|8 ，则实数 k的值y24 2为( )A B 或7 3413C D34
6、13答案 B解析 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k2.将 ykx1 代入 x2 1 得(4k 2)y24x22kx50，则 4k 24(4k 2)50，k 20，解得 b .92 9214(2018重庆第八中学一调)已知曲线 1(ab0 且 ab)与直线 xy20y2b x2a相交于 P，Q 两点，且 0(O 为坐标原点)，则 的值为_OP OQ 1b 1a答案 12解析 设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 0， ，x 1x2y 1y20.由OP OQ OP OQ 消去 y，得(ab)x 24ax4aab0，当 (4a) 24(ab)(4aab)y2b x2a 1，y x
7、2， )4ab(a4b)0 时，x 1x 2 ，x 1x2 ，则 y1y2(x 12)(x 22)4aa b 4a aba bx 1x22(x 1x 2)4 4.由 x1x2y 1y20，得4a aba b 8aa b 40，化简得 .4a aba b 4a aba b 8aa b 1b 1a 1215(2018山东寿光一中月考)设 F1，F 2是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上y23一点，若 3|PF1|4|PF 2|，则PF 1F2的面积是_答案 3 15解析 设|PF 1|m，|PF 2|n，因为 3|PF1|4|PF 2|，所以 3m4n，即 m n.根据双曲线43的定义可
8、知 mn2，解得 n6，m8.在PF 1F2中，由余弦定理，得 cosF 1PF2 ，所以 sinF 1PF2 ，所以PF 1F2的面积为m2 n2 （ 2c） 22mn 78 158S mnsinF 1PF2 68 3 .12 12 158 1516求两条渐近线为 x2y0 和 x2y0 且截直线 xy30 所得的弦长为 的双曲833线的方程答案 y 21x24解析 渐近线方程为 y x，126可设双曲线方程为 1，则x24m y2m x24m y2m 1，x y 3 0.)可得 3x224x364m0，x 1x 28，x 1x2 .36 4m3由弦长公式|AB| ，得1 k2 （ x1 x
9、2） 2 4x1x2|AB| .248 16m3又|AB| ，m1.833双曲线方程为 y 21.x2417已知点 M(2，0)，N(2，0)，动点 P满足条件|PM|PN|2 ，记动点 P的轨迹为 W.2(1)求 W的方程；(2)若 A和 B是 W上的不同两点，O 是坐标原点，求 的最小值OA OB 答案 (1) 1(x ) (2)2x22 y22 2解析 (1)由|PM|PN|2 知动点 P的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴2长 a .2又焦距 2c4，所以虚半轴长 b .c2 a2 2所以 W的方程为 1(x )x22 y22 2(2)设 A，B 的坐标分别为(x 1，y
10、1)，(x 2，y 2)当 ABx 轴时，x 1x 2，y 1y 2，从而 x 1x2y 1y2x 12y 122.OA OB 当 AB与 x轴不垂直时，设直线 AB的方程为 ykxm(k1)，与 W的方程联立，消去 y得(1k 2)x22kmxm 220，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2km1 k2 m2 2k2 1所以 x 1x2y 1y2OA OB x 1x2(kx 1m)(kx 2m)(1k 2)x1x2km(x 1x 2)m 2 m 2（ 1 k2） （ m2 2）k2 1 2k2m21 k27 2 .2k2 2k2 1 4k2 1又因为 x1x20，所以 k210.所以 2.OA
11、 OB 综上所述，当 ABx 轴时， 取得最小值 2.OA OB 18(2017河南安阳调研)已知圆 C1：(x )2y 2 ，圆 C2：(x )2y 2 ，动圆62 258 62 18P与已知两圆都外切(1)求动圆的圆心 P的轨迹 E的方程；(2)直线 l：ykx1 与点 P的轨迹 E交于不同的两点 A，B，AB 的中垂线与 y轴交于点N，求点 N的纵坐标的取值范围答案 (1)2x 2y 21(x0) (2)(， )32解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1( ，0)，r 1 ；C 2( ，0)，r 2 .62 524 62 24设动圆 P的半径为 r，由题意知|PC 1|r ，|PC
12、 2|r ，524 24则|PC 1|PC 2| 0)(2)将直线 ykx1 代入双曲线方程，并整理，得(k 22)x 22kx20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为 M(x0，y 0)，依题意，直线 l与双曲线的右支交于不同两点，故所以20，x1 x2 2kk2 20，x1x2 2k2 20. ) 2且 x0 ，y 0kx 01 ，则 AB的中垂线方程为 y (x ) kk2 2 2k2 2 2k2 2 1k kk2 2令 x0，得 yN .32 k220)，x 0 m，y 0x 0m2m，点x2 y22 1，x y m 0， ) x1 x22M(x0，y 0)在
13、圆 x2y 25 上，m 2(2m) 25，m1.2已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F2的直线与该双曲线的右支交于x216 y29A，B 两点，若|AB|5，则ABF 1的周长为( )A16 B20C21 D26答案 D解析 由双曲线 1，知 a4.由双曲线定义x216 y29|AF1|AF 2|BF 1|BF 2|2a8，|AF 1|BF 1|AF 2|BF 2|1621，所以ABF1的周长为|AF 1|BF 1|AB|21526.3(2017南昌第一次模拟)双曲线 1(b0，a0)与抛物线 y x2有一个公共焦x2b2 y2a2 18点 F，双曲线上过点 F且垂直于
14、y轴的弦长为 ，则双曲线的离心率等于( )233A2 B.233C. D.322 3答案 B解析 双曲线与抛物线 x28y 的公共焦点 F的坐标为(0，2)，由题意知点( ，2)在双曲33线上，于是 得 a23，故 e ，故选 B.a2 b2 4，13b2 4a2 1， ) ca 2334(2015四川，理)过双曲线 x2 1 的右焦点且与 x轴垂直的直线，交该双曲线的两y23条渐近线于 A，B 两点，则|AB|( )9A. B2433 3C6 D4 3答案 D解析 双曲线 x2 1 的右焦点坐标为(2，0)，渐近线方程为 y x，由题意知y23 3A(2，2 )，B(2，2 )或 A(2，2
15、 )，B(2，2 )，所以|AB|4 ，故选 D.3 3 3 3 35(2018陕西质检)双曲线 1 的两条渐近线与直线 x1 围成的三角形的面积为x24 y212_答案 36(2017山东潍坊质检)设双曲线 x2y 21 的两条渐近线与直线 x 围成的三角形区22域(包含边界)为 D，点 P(x，y)为 D内的一个动点，则目标函数 zx2y 的最小值为_答案 22解析 双曲线 x2y 21 的两条渐近线是 yx，解方程组 y x，x 22， )y x，x 22， )得到三角形区域的顶点坐标是 A( ， )，B( ， )，C(0，0)所以 zAy x，y x， ) 22 22 22 22 2
16、，z B 2( ) ，z C0.所以目标函数 zx2y 的最小值为22 22 22 22 22 322 .227双曲线 C：x 2y 21 的渐近线方程为_；若双曲线 C的右顶点为 A，过 A的直线l与双曲线 C的两条渐近线交于 P，Q 两点，且 2 ，则直线 l的斜率为_PA AQ 答案 xy0，3解析 双曲线 C：x 2y 21 的渐近线方程为 x2y 20，即 yx；双曲线 C的右顶点A(1，0)，设 l：xmy1，联立方程，得 消去 x，得(m 21)x my 1，x2 y2 0， )y22my10(*)，方程(*)的根为 P，Q 两点的纵坐标，设 P(xP，y P)，Q(xQ，y Q
17、) 2 ，y P2y Q.PA AQ 10又 解得 m ，直线 l的斜率为 ，即为 3或3.yP yQ 2m1 m2，yPyQ 1m2 1， ) 13 1m8直线 l：y (x2)和双曲线 C： 1(a0，b0)交于 A，B 两点，且|AB| ，3x2a2 y2b2 3又 l关于直线 l1：y x对称的直线 l2与 x轴平行ba(1)求双曲线 C的离心率 e；(2)求双曲线 C的方程答案 (1) (2) y 21233 x23解析 (1)设双曲线 C： 1 过第一、三象限的渐近线 l1： 0 的倾斜角为 .x2a2 y2b2 xa yb因为 l和 l2关于 l1对称，记它们的交点为 P，l 与
18、 x轴的交点为 M.而 l2与 x轴平行，记 l2与 y轴的交点为 Q.依题意有QPOPOMOPM.又 l：y (x2)的倾斜角为 60，则 260，3所以 tan30 .ba 33于是 e2 1 1 ，c2a2 b2a2 13 43所以 e .233(2)由于 ，于是设双曲线方程为 1(k0)，ba 33 x23k2 y2k2即 x23y 23k 2.将 y (x2)代入 x23y 23k 2中，3得 x233(x2) 23k 2.化简得到 8x236x363k 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| |x1x 2|1 32 （ x1 x2） 2 4x1x22362 48（ 36 3k2）8 .9 6k2 3解得 k21.11故所求双曲线 C的方程为 y 21.x23
