1、1题组训练 64 椭圆（二）1已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，x2a2 y2b2若 AB 的中点为 M(1，1)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29答案 D解析 k AB ，k OM1，由 kABkOM ，得0 13 1 12 b2a2 ，a 22b 2.c3，a 218，b 29，椭圆 E 的方程为 1.b2a2 12 x218 y292(2018南昌二模)已知椭圆： x 21，过点 P( ， )的直线与椭圆相交于 A，B 两点，y
2、29 12 12且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为( )A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案 B解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为 A，B 在椭圆 x 21 上，所以 两y29 y129 x12 1，y229 x22 1， )式相减得 x 12x 220，得 (x 1x 2)(x1x 2)0，又弦y12 y229 （ y1 y2） （ y1 y2）9AB 被点 P( ， )平分，所以 x1x 21，y 1y 21，将其代入上式得 x 1x 20，12 12 y1 y29得 9，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y 9(x
3、 )，即y1 y2x1 x2 12 129xy50.3椭圆 1 上的点到直线 x2y 0 的最大距离是( )x216 y24 2A3 B. 11C2 D.2 10答案 D解析 设椭圆 1 上的点 P(4cos，2sin)，则点 P 到直线 x2y 0 的距离x216 y24 22为 d ，d max .|4cos 4sin 2|5 |42sin（ 4） 2|5 | 42 2|5 104(2018广东梅州阶段测评)已知椭圆 E： 1 的一个顶点 C(0，2)，直线 l 与x25 y24椭圆 E 交于 A，B 两点，若 E 的左焦点 F1为ABC 的重心，则直线 l 的方程为( )A6x5y140
4、 B6x5y140C6x5y140 D6x5y140答案 B解析 由题意知 F1(1，0)，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1 x2 0 3，y1 y2 2 0， ) x1 x2 3，y1 y2 2. )设 M 为 AB 的中点，则 M( ，1)32由 作差得 0，x125 y124 1，x225 y224 1， ) （ x1 x2） （ x1 x2）5 （ y1 y2） （ y1 y2）4将代入上式得 .y1 y2x1 x2 65即 k ，由点斜式得，直线方程为 y1 (x )，即 6x5y140.65 65 325(2018广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆 1(ab0)
5、的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为C，若 SABC 3SBCF 2，则椭圆的离心率为( )A. B.55 33C. D.105 3310答案 A解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F 2(c，0)，将 xc 代入椭圆方程得y .设 A(c， )，C(x，y)，由 SABC 3SBCF 2，可得 2 ，即有(2c， )b2a b2a AF2 F2C b2a2(xc，y)，即 2c2x2c， 2y，可得 x2c，y ，代入椭圆方程可得b2a b22a 1.由 e ，b 2a 2c 2，
6、得 4e2 e21，解得 e ，故选 A.4c2a2 b24a2 ca 14 14 5536已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 Cx2a2 y2b2 32相交于 A，B 两点若向量 3 ，则 k( )AF FB A1 B. 2C. D23答案 B解析 设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)因为 3 ，故 y13y 2.因为 e ，设AF FB 32a2t，c t，bt，故 x24y 24t 20，直线 AB 的方程为 xsy t.代入消去 x，3 3所以(s 24)y 22 styt 20，所以3y1y 2 ，y 1y2 ，2y 2 ，
7、3y 22 ，解得 s2 ，又23sts2 4 t2s2 4 23sts2 4 t2s2 4 12k ，则 k .故选 B.1s 27已知直线 l：yk(x2 )与椭圆 x29y 29 交于 A，B 两点，若|AB|2，则2k_答案 33解析 椭圆 x29y 29 即椭圆 y 21，所以椭圆的焦点坐标为(2 ，0)因为直线x29 2yk(x2 )，所以直线过椭圆的左焦点 F(2 ，0)，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线2 2yk(x2 )代入椭圆 x29y 29，可得(19k 2)x236 k2x72k 290，所以2 2x1x 2 ，x 1x2 ，所以|AB| 362k2
8、1 9k2 72k2 91 9k2 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x2，因为|AB|2，所以 2，所以 k .6（ 1 k2）1 9k2 6（ 1 k2）1 9k2 338直线 m 与椭圆 y 21 交于 P1，P 2两点，线段 P1P2的中点为 P，设直线 m 的斜率为x22k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_答案 12解析 由点差法可求出 k1 ，12 x中y中k 1 ，即 k1k2 .y中x中 12 129(2018河北唐山期末)设 F1，F 2为椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点，经过 F1x2a2 y2b24的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若
9、F 2AB 是面积为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为3_答案 1x29 y26解析 由F 2AB 是面积为 4 的等边三角形知 AB 垂直 x 轴，得3 2c， 2c 4 ，a 2b 2c 2，解得 a29，b 26，c 23.所以的椭圆方程b2a 33 12 2b2a 3为 1.x29 y2610椭圆 ： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c.若直线x2a2 y2b2y (xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于3_答案 13解析 由直线 y (xc)知其倾斜角为 60，3由题意知MF 1F260，则MF 2F130，F
10、 1MF290.故|MF 1|c，|MF 2| c.3又|MF 1|MF 2|2a，( 1)c2a.3即 e 1.23 1 311已知椭圆 1(00.设 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，AB 的中点为 N(x0，y 0)，则 x1x 2 ，y 1y 2 ，AB 的垂直4k22k2 1 2k2k2 1平分线 NG 的方程为 yy 0 (xx 0)令 y0，得 xGx 0ky 0 1k 2k22k2 1 k22k2 1 .k0， b0)相交于 A，Bx2a2 y2b2两点，且 OAOB(O 为坐标原点)，若椭圆的离心率 e ， ，则 a 的最大值为12 32_答案 102解析 设 A(x1
11、，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得(a 2b 2)x22a 2xa 2a 2b20，y x 1，x2a2 y2b2 1， )4a 44(a 2b 2)(a2a 2b2)0，可得 a2b 21 且x1 x2 2a2a2 b2，x1x2 a2 a2b2a2 b2， )OAOB， x 1x2y 1y20，即 2x1x2(x 1x 2)10，OA OB 10，整理得 a2b 22a 2b2，a 2a 2c 22a 2(a2c 2)，2（ a2 a2b2）a2 b2 2a2a2 b22a2a 2e22a 2(a2a 2e2)，2a 2 1 ，2 e21 e2 11 e2e ， ，2a 2 ，5，即
12、 amax .12 32 73 52 10214已知椭圆 C： 1，过椭圆 C 上一点 P(1， )作倾斜角互补的两条直线x22 y24 2PA，PB，分别交椭圆 C 于 A，B 两点，求直线 AB 的斜率答案 2解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设 PA 的方程为 y k(x1)，代入椭圆方程化简2得(k 22)x 22k(k )xk 22 k20，显然 1 和 x1是这个方程的两解因此 x12 2，y 1 ，由k 代替 x1，y 1中的 k，得k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2 2x2 ，y 2 ，所以 .k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2
13、 2 y2 y1x2 x1 2615设 F1，F 2分别是椭圆 E：x 2 1(0b1)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 E 相交y2b2于 A，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求实数 b 的值答案 (1) (2)43 22解析 (1)由椭圆定义知|AF 2|AB|BF 2|4，又 2|AB|AF 2|BF 2|，得|AB| .43(2)l 的方程为 yxc，其中 c .1 b2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A，B 两点坐标满足方程组 y x c，x2 y2b2 1.)化简，得(1b 2)x22
14、cx12b 20.则 x1x 2 ，x 1x2 . 2c1 b2 1 2b21 b2因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB| |x2x 1|.2即 |x2x 1|.43 2则 (x 1x 2)24x 1x2 ，解得 b .89 4（ 1 b2）（ 1 b2） 2 4（ 1 2b2）1 b2 8b4（ 1 b2） 2 2216(2018广东六校联盟二联)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1(3，0)，F 2(3，0)，直线 ykx 与椭圆交于 A，B 两点(1)若AF 1F2的周长为 4 6，求椭圆的标准方程；3(2)若|k| ，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，
15、求椭圆离心率 e 的取值范围24答案 (1) 1 (2) ，所以 120，即 b0)的顶点 B(0，b)引一条弦 BP，当 a b 时，|BP|的2最大值为( )A. B.b2a2 b2 a2a2 b2C. D.a2a2 b2 b2a2 b2答案 B解析 设 P(x，y)，因为 x2a 2 y2(bb0)，则椭圆在其上一点x2a2 y2b2A(x0，y 0)处的切线方程为 1.试运用该性质解决以下问题，椭圆x0xa2 y0yb2C1： 1(ab0)，其焦距为 2，且过点(1， )，点 B 为 C1在第一象限中的任意一点，x2a2 y2b2 22过 B 作 C1的切线 l，l 分别与 x 轴和
16、y 轴的正半轴交于 C，D 两点，则OCD 面积的最小值为( )A. B.22 2C. D23答案 B解析 由题意可得 2c2，即 c1，a 2b 21，将点(1， )代入椭圆方程，可得22 1，解得 a ，b1，即椭圆的方程为 y 21，设 B(x2，y 2)，则椭圆 C1在1a2 12b2 2 x22点 B 处的切线方程为 xy 2y1，令 x0，得 yD ，令 y0，可得 xC ，所以 Sx22 1y2 2x2OCD ，又点 B 为椭圆在第一象限上的点，所以12 1y2 2x2 1x2y2x20，y 20， y 221，即有 2 ，即 Sx222 1x2y2 x222 y22x2y2 x
17、22y2 y2x2 x22y2y2x2 2OCD ，当且仅当 y 22 ，即点 B 的坐标为(1， )时，OCD 面积取得最小值 ，故2x222 12 22 2选 B.4已知椭圆 C： 1(ab0)的一个顶点 A(2，0)，离心率为 ，直线 yk(x1)与x2a2 y2b2 22椭圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 时，求实数 k 的值10310答案 (1) 1 (2)k1x24 y22解析 (1)a2，e ，c ，b .ca 22 2 2椭圆 C： 1.x24 y22(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由 消 y，得(12k
18、2)x24k 2x2k 240.y k（ x 1） ，x24 y22 1， )直线 yk(x1)恒过椭圆内一点(1，0)，0 恒成立由根与系数的关系，得 x1x 2 ，x 1x2 .4k21 2k2 2k2 41 2k2SAMN 1|y1y 2| |kx1kx 2|12 12 .|k|2 （ x1 x2） 2 4x1x2 |k|2 16 24k21 2k2 103即 7k42k 250，解得 k1.5(2018河北保定期末)已知椭圆 C： 1(ab0)的右焦点为(1，0)，离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 P(0，3)的直线 m 与 C 交于 A，B
19、 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的方程答案 (1) 1 (2)y x3 或 y x3x24 y23 32 32解析 (1)椭圆 C： 1(ab0)的焦点在 x 轴上，右焦点为(1，0)，则 c1，x2a2 y2b2由椭圆的离心率 e ，得 b2a 2c 23，ca 12椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)若直线 m 的斜率不存在，可得点 A 的坐标为(0， )，点 B 的坐标为(0， )，显然不3 3满足条件，故此时方程不存在若直线 m 的斜率存在，设其方程为 ykx3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，A 是 PB 的中点，x 1 ，x22y1 ，y2 3
20、211 1，x124 y123 1，x224 y223联立，解得 或 即x2 2，y2 0) x2 2，y2 0， )点 B 的坐标为(2，0)或(2，0)，直线 m 的斜率为 或 ，则32 32直线 m 的方程为 y x3 或 y x3.32 326已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是 F1(0，1)，离心率为 .33(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F1作直线交椭圆于 A，B 两点，F 2是椭圆的另一个焦点，求 SABF 2的取值范围答案 (1) 1 (2)(0， x22 y23 433解析 (1)由条件可设椭圆方程为 1(ab0)，则有 c1，e ，b x2b2 y2a2 33 a2 c
21、2，2所求椭圆的方程是 1.x22 y23(2)由条件设直线 AB 的方程为 y1kx.将 ykx1 代入椭圆方程，得(2k 23)x 24kx40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，16k 216(2k 23)48(k 21)0，x1x 2 ，x 1x2 .4k2k2 3 42k2 3SABF 2 |F1F2|x1x 2|x 1x 2|.12(x1x 2)2(x 1x 2)24x 1x2 .16k2（ 2k2 3） 2 162k2 3 48（ k2 1）（ 2k2 3） 2令 tk 21，则 t1，设 g(t) 4t 4.（ 2t 1） 2t 1tg(t)4 ，1t2 4t2 1
22、t2当 t1 时，g(t)0，g(t)在1，)上单调递增，g(t)g(1)9，0b0)的左、右x2a2 y2b2焦点分别为 F1，F 2，且离心率是 ，过坐标原点 O 的任一直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且12|NF2|MF 2|4.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且与圆 x2y 21 相切()求证：m 2k 21；()求 的最小值OA OB 答案 (1) 1 (2)()略 ()x24 y23 53解析 (1)设 M(x，y)是椭圆上任一点，则 N(x，y)，|NF 2|MF 2|4， 4，即（ x c） 2 y2 （ x c）
23、 2 （ y） 2 4，（ x c） 2 y2 （ x c） 2 y2M(x，y)到点(c，0)，(c，0)的距离和为 4，2a4，a2.又椭圆 C 的离心率是 ，c1，b ，12 3椭圆 C 的标准方程是 1.x24 y23(2)()证明：直线 l：ykxm 与圆 x2y 21 相切，圆心(0，0)到直线 l 的距离等于半径 1，即 1m 2k 21.|m|1 k2()设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得y kx m，3x2 4y2 12 0， )(34k 2)x28kmx4m 2120，x1x 2 ，x 1x2 ，y 1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2km(x 1x 2)m 2 8km3 4k2 4m2 123 4k2.3m2 12k23 4k2 x 1x2y 1y2 .OA OB 4m2 123 4k2 3m2 12k23 4k2 7m2 12（ k2 1）3 4k2m 2k 21， x 1x2y 1y2 ( )OA OB 5（ k2 1）3 4k254（ 4k2 3） 544k2 3 54544k2 313当 k20 时， 有最小值 .OA OB 53
