1、1题组训练 67 抛物线（一）1抛物线 x2 y的焦点到准线的距离是( )12A2 B1C. D.12 14答案 D解析 抛物线标准方程 x22py(p0)中 p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ，故选 D.142过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是( )Ay 2 x或 x2 y By 2 x或 x2 y92 43 92 43Cy 2 x或 x2 y Dy 2 x或 x2 y92 43 92 43答案 A解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得k ，m ，y 2 x或 x2 y，选 A.92 43 92 433若抛物线 yax 2的焦点坐标是
2、(0，1)，则 a( )A1 B.12C2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为 x2 y，所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a ，1a 14a 14a 14故选 D.4若抛物线 y22px 上一点 P(2，y 0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( )Ay 24x By 26xCy 28x Dy 210x答案 C解析 抛物线 y22px，准线为 x .p2点 P(2，y 0)到其准线的距离为 4，| 2|4.p22p4，抛物线的标准方程为 y28x.5已知点 A(2，3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，记 C的焦点为 F，则直线 AF的斜率为( )A B143C
3、D34 12答案 C解析 因为点 A在抛物线的准线上，所以 2，所以该抛物线的焦点 F(2，0)，所以p2kAF .3 0 2 2 346(2018衡水中学调研卷)若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10和 6，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 236xCy 24x 或 y236x Dy 28x 或 y232x答案 C解析 因为抛物线 y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设该点为P，则 P(x0，6)因为 P到抛物线的焦点 F( ，0)的距离为 10，所以由抛物线的定义得p2x0 10 .因为 P在抛物线上，所以 362px 0
4、 .由解得 p2，x 09 或p2p18，x 01，则抛物线的方程为 y24x 或 y236x.7(2016课标全国)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C的准线于D，E 两点已知|AB|4 ，|DE|2 ，则 C的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 ，|DE|2 ，可取2 5A( ，2 )，D( ， )，设 O为坐标原点，由|OA|OD|，得 8 5，得 p4，4p 2 p2 5 16p2 p24所以选 B.8(2018吉林长春调研测试)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x
5、1，抛物线y24x 上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A. B23553C. D3115答案 B解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点P到 l2的距离等于|PF|，则动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦点 F到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是 2，故选 B.|4 0 6|59点 A是抛物线 C1：y 22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交x2a2 y2b2点，若点 A到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双曲线 C2的离心率等于( )A. B.2 3C
6、. D.5 6答案 C解析 求抛物线 C1：y 22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点x2a2 y2b2为 解得 所以 ，c 25a 2，e ，故选 C.y2 2px，y bax， ) x 2pa2b2，y 2pab， ) 2pa2b2 p2 510(2013课标全国，理)设抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，|MF|5，若以 MF为直径的圆过点(0，2)，则 C的方程为( )Ay 24x 或 y28x By 22x 或 y28xCy 24x 或 y216x Dy 22x 或 y216x答案 C解析 方法一：设点 M的坐标为(x 0，y
7、0)，由抛物线的定义，得|MF|x 0 5，则p2x05 .p2又点 F的坐标为( ，0)，所以以 MF为直径的圆的方程为(xx 0)(x )(yy 0)y0.p2 p2将 x0，y2 代入得 px084y 00，即 4y 080，所以 y04.y022由 y022px 0，得 162p(5 )，解之得 p2 或 p8.p2所以 C的方程为 y24x 或 y216x.故选 C.方法二：由已知得抛物线的焦点 F( ，0)，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y 0)，则 (p2 AF 4，2)， ( ，y 02)p2 AM y022p由已知得， 0，即 y028y 0160，因而 y04，
8、M( ，4)AF AM 8p由抛物线定义可知：|MF| 5.8p p2又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C.11(2018合肥质检)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M到焦点 F的距离等于 2p，则直线MF的斜率为( )A B13C D34 33答案 A解析 设 M(xM，y M)，由抛物线定义可得|MF|x M 2p，解得 xM ，代入抛物线方程p2 3p2可得 yM p，则直线 MF的斜率为 ，选项 A正确3yMxM p2 3pp 312(2018太原一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 0，则 ( )FA FB FC 1kAB 1k
9、BC 1kCAA0 B1C2 D2p答案 A解析 设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F( ，0)，则(x 1 ，y 1)(x 2 ，y 2)p2 p2 p2(x 3 ，y 3)(0，0)，故 y1y 2y 30. ，同p2 1kAB x2 x1y2 y1 12p（ y22 y12）y2 y1 y2 y12p理可知 ， ， 0.1kBC y3 y22p 1kCA y3 y12p 1kAB 1kBC 1kCA 2（ y1 y2 y3）2p13(2018河南新乡第一次调研)经过抛物线 y28x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为_答案 3解析 圆心是 x1 与
10、抛物线的交点r123.14(2018福建闽侯三中期中)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P作 PAl 于点 A，当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_5答案 43解析 设 l与 y轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB| .233设 P(x0，y 0)，则 x0 ，代入 x24y 中，得 y0 ，从而|PF|PA|y 01 .233 13 4315已知定点 Q(2，1)，F 为抛物线 y24x 的焦点，动点 P为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P 的坐标为_答案 ( ，1)14解析 设点 P在准线上的射影
11、为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即 D，P，Q 三点共线时|PQ|PF|最小将 Q(2，1)的纵坐标代入 y24x 得 x ，故 P的坐标为( ，1)14 1416.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 2米，水面宽4米水位下降 1米后，水面宽_米答案 2 6解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x22py(p0)，由点(2，2)在抛物线上，可得 p1，则抛物线方程为 x22y.当 y3 时，x ，6所以水面宽为 2 米617抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为 y2x，斜
12、边长为 5 ，求此抛物线方程13答案 y 24x解析 设抛物线 y22px(p0)的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为 y x.12解方程组 可得点 A的坐标为 ；y 2x，y2 2px， ) (p2， p)解方程组 可得点 B的坐标为(8p，4p)y 12x，y2 2px， )|OA| 2|OB| 2|AB| 2，且|AB|5 ，13 (64p 216p 2)325.(p24 p2)p2，所求的抛物线方程为 y24x.618(2018上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光
13、锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图 1所示，图 2是投影射出的抛物线的平面图，图 3是一个射灯投影的直观图，在图 2与图 3中，点 O、A、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C，AB3 米，OC4.5米(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图 3中，已知 OC平行于圆锥的母线 SD，AB、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到 0.01)答案 (1) (2)9.5914解析 (1)如图，以 O为坐标原点，OC 所在直线为 y轴，建系B(1.5，4.5)设抛物线方程为 x22py.点 B(1.5，4.5)在抛物线上p .焦点到准线距离为 .14
14、14(2)如图，C 为 DE中点，OCSD，O 为 SE中点7SCDE，OC4.5，SE2OC9.DEAB3，CE1.5.sinCSE 0.167.CESE 1.59SCE9.59.圆锥的母线与轴的夹角约为 9.59.1抛物线 y4x 2关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是( )Ay1 By116Cx1 Dx116答案 D解析 抛物线 x2 y的准线方程为 y ，关于 xy 对称的准线方程 x 为所求14 116 1162已知点 P是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P到点(0，2)的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3172C. D.592答案 A解析 抛
15、物线 y22x 的焦点为 F( ，0)，准线是 l，由抛物线的定义知点 P到焦点 F的距12离等于它到准线 l的距离，因此要求点 P到点(0，2)的距离与点 P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P到点(0，2)的距离与点 P到焦点 F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F到点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于 ，选 A.（ 12） 2 （ 2） 2 1723抛物线 y4ax 2(a0)的焦点坐标是( )A(0，a) B(a，0)C(0， ) D( ，0)116a 116a8答案 C解析 抛物线方程化标准方程为 x2 y，焦点在 y轴上，焦点为(0，
16、)14a 116a4已知点 A(2，3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，过点 A的直线与 C在第一象限相切于点 B，记 C的焦点为 F，则直线 BF的斜率为( )A. B.12 23C. D.34 43答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解抛物线 y22px 的准线为直线 x ，而点 A(2，3)在准线上，所以 2，即p2 p2p4，从而 C：y 28x，焦点为 F(2，0)设切线方程为 y3k(x2)，代入 y28x 得y2y2k30(k0).由于 14 (2k3)0，所以 k2 或 k .因为切k8 k8 12点在第一象限，所以 k .12将 k 代入中，得 y8，再代入
17、y28x 中得 x8，所以点 B的坐标为(8，8)，所以直12线 BF的斜率为 .86 435(2018海口一模)过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( )Ay 212x By 212xCx 212y Dx 212y答案 D6(2018湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线 ymx 2的准线的距离为 2，则实数m( )A8 B8C D14 18答案 D解析 x 2 y，故由题意可得 2，所以 m .1m 14|m| 187(2018江西吉安一中期中)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)满足|AF|BF|2，则 y1x 1
18、2y 2x 22( )A4 B69C8 D10答案 D解析 |AF|BF|2，y 11(y 21)2，y 1y 22，所以y1x 12y 2x 225(y 1y 2)10，故选 D.8(2018云南昆明适应性检测)已知抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F，点 A，B 在 C上，且点 F是AOB 的重心，则 cosAFB 为( )A B35 78C D1112 2325答案 D解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由重心坐标公式得 ，y 1y 20，故 A，B 关x1 x23 p2于 x轴对称，则 x1x 2 p，所以|AF|BF| p p，|AB| 26p 2，所以由余
19、弦定理34 34 p2 54可得 cosAFB ，故选 D.|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| 23259(2018湖南郴州第二次质检)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，则这个正三角形的边长为( )A2 p B2p3C4 p D4p3答案 C解析 抛物线 y22px 关于 x轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，则 A，B 关于 x轴对称，如图所示，直线 OA的倾斜角为 30，斜率为 ，直线 OA的方程为 y x，由 得 A(6p，233 33 y 33x，y2 2px， ) x 6p
20、，y 23p， )p)，则 B(6p，2 p)，|AB|4 p，这个正三角形的边长为 4 p.故选 C.3 3 3 310(2016浙江，理)若抛物线 y24x 上的点 M到焦点的距离为 10，则 M到 y轴的距离是_答案 9解析 由于抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线为 x1，设点 M的坐标为(x，y)，则 x110，所以 x9.故 M到 y轴的距离是 9.1011在抛物线 y24x 上找一点 M，使|MA|MF|最小，其中 A(3，2)，F(1，0)，求 M点的坐标及此时的最小值答案 M(1，2)，最小值为 4解析 如图点 A在抛物线 y24x 的内部，由抛物线的定义可知，|M
21、A|MF|MA|MH|，其中|MH|为 M到抛物线的准线的距离过 A作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B，则|MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点 M在 M1的位置时等号成立此时 M1点的坐标为(1，2)12(2018黑龙江大庆一模)已知圆 x2y 2mx 0 与抛物线 y24x 的准线相切，则14m_答案 34解析 圆 x2y 2mx 0 圆心为( ，0)，半径 r ，抛物线 y24x 的准线为14 m2 m2 12x1.由| 1| ，得 m .m2 m2 12 3413一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为 36 ，则 a
22、_3答案 2 3解析 设正三角形边长为 x，则 36 x2sin60.312x12.当 a0时，将(6 ，6)代入3y2ax 得 a2 .3当 a0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB中点的纵坐标为 6，求抛物线方程答案 x 22y 或 x24y解析 x 22py 变形为 y x2，12py .设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，xpy|xx 1 .x1p切线 AM方程为 yy 1 (xx 1)x1p即 y x .同理 BM方程为 y x .x1p x122p x2p x222p又(2，2p)在两条直线上，122p ，2p .2x1p x122p 2x2p x222px 1，x 2是方程 2p0 的两根x22p 2xp即 x24x4p 20.x 1x 24，x 1x24p 2.y 1y 2 (x12x 22)12p (x1x 2)22x 1x2 (168p 2)12p 12p又线段 AB中点纵坐标为 6，y 1y 212，即 (168p 2)12.12p解得 p1 或 p2.抛物线方程为 x22y 或 x24y.
