1、142 平面向量基本定理及坐标表示基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知向量 a， b 不共线， c ka b(kR)， d a b.如果 c d，那么( )A k1 且 c 与 d 同向 B k1 且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向 D k1 且 c 与 d 反向答案 D解析 c d，( ka b)( a b)，存在 使 ka b (a b)，Error! Error! c a b， c 与 d 反向故选 D.2(2018襄樊一模)已知 (1，3)， (2，1)， ( k1， k2)，若OA OB OC A， B， C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )A k
2、2 B k C k1 D k112答案 C解析 若点 A， B， C 不能构成三角形，则向量 与 共线因为 (2，1)AB AC AB OB OA (1，3)(1,2)， ( k1， k2)(1，3)( k， k1)所以 1(k1)AC OC OA 2 k0，解得 k1.故选 C.3(2018怀化一模)设向量 a(1，3)， b(2,4)， c(1，2)，若表示向量4a,4b2 c,2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d( )A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案 D解析 设 d( x， y)，由题意知 4a(4，12)，4 b2 c(6,20)，2(
3、 a c)(4，2)，又 4a4 b2 c2( a c) d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)( x， y)(0,0)，解得 x2， y6，所以 d(2，6)故选 D.4(2017河南高三质检)在 ABC 中， BAC60， AB5， AC4， D 是 AB 上一点，且 5，则| |等于( )AB CD BD A6 B4 C2 D1答案 C解析 设 ， ， ( ) 2 5，可AD AB CD AD AC AB CD AB AD AC AB AB AC 得 25 15， ，| | | |2.故选 C.35 BD 25AB 25在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 a， b，其中
4、a(3,1)，OA OB b(1,3)若 a b，且 0 1，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正OC 确的是( )答案 A解析 由题意知 (3 ， 3 )，取特殊值， 0， 0，知所求区域包含OC 原点，取 0， 1，知所求区域包含(1,3)选 A.6(2017茂名二模)已知向量 a(3，2)， b( x， y1)且 a b，若 x， y 均为正数，则 的最小值是( )3x 2yA24 B8 C. D.83 53答案 B解析 a b，2 x3( y1)0，即 2x3 y3，又x， y0， (2x3 y) 8，当且仅当3x 2y (3x 2y) 13 13(6 9yx 4xy 6) 13(
5、12 29yx4xy)2x3 y 时，等号成立 的最小值是 8.故选 B.32 3x 2y7(2017济南二模)如图所示，两个非共线向量 、 的夹角为 ， N 为 OB 中点， MOA OB 为 OA 上靠近 A 的三等分点，点 C 在直线 MN 上，且 x y (x， yR)，则 x2 y2的最OC OA OB 小值为( )3A. B. C. D.425 25 49 23答案 A解析 因为点 C， M， N 共线，则 ， 1，OC OM ON 23 OA 12 OB 由 x y ，OC OA OB x ， y (1 )，23 12 12x2 y2 2 (1 )2 2 ，(23 ) 14 25
6、36 2 14设 g( ) 2 ，2536 2 14由二次函数的性质可知：当 时， g( )取最小值，925最小值为 g ，(925) 425所以 x2 y2的最小值为 .故选 A.4258(2017河南中原名校联考)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点，若 ( ， 为实数)，则 2 2( )DE AB AD A. B. C1 D.58 14 516答案 A解析 ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD 4 ， ，故 2 2 .故选 A.14 34 589(2018安徽十校联考)已知 A， B，
7、C 三点不共线，且 2 ，则AD 13AB AC ( )S ABDS ACDA. B. C6 D.23 32 16答案 C解析 如图，取 ， 2 ，以 AM， AN 为邻边作平行四边形 AMDN，AM 13AB AN AC 此时 2 .AD 13AB AC 由图可知 S ABD3 S AMD， S ACD S AND，12而 S AMD S AND， 6.故选 C.S ABDS ACD10如图所示，在四边形 ABCD 中， AB BC CD1，且 B90， BCD135，记向量 a， b，则 ( )AB AC AD A. a b2 (122)B a b2 (122)5C a b2 (122)D
8、. a b2 (122)答案 B解析 根据题意可得 ABC 为等腰直角三角形，由 BCD135，得 ACD1354590.以 B 为原点， AB 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作 DE y 轴于点 E，则 CDE 也为等腰直角三角形由 CD1，得 CE ED ，则22A(1,0)， B(0,0)， C(0,1)， D ， (1,0)， (1,1)， (22， 1 22) AB AC AD .令 ，则有Error!得Error! a b.故选 B.(22 1， 1 22) AD AB AC AD 2 (1 22)二、填空题11在梯形 ABCD 中， A
9、B CD，且 DC2 AB，三个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)，则点D 的坐标为_答案 (2,4)解析 在梯形 ABCD 中， DC2 AB， AB CD， 2 .设点 D 的坐标为( x， y)，则DC AB (4 x,2 y)， (1，1)，DC AB (4 x,2 y)2(1，1)，即(4 x,2 y)(2，2)，Error! 解得Error!故点 D 的坐标为(2,4)12在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设向量 p( a c， b)，q( b a， c a)，若 p q，则角 C 的大小为_答案 60解析 由 p q，得( a c
10、)(c a) b(b a)，整理，得 b2 a2 c2 ab.由余弦定理，得 cosC .a2 b2 c22ab 126又 0C180， C60.13(2017太原三模)在 ABC 中， AB3， AC2， BAC60，点 P 是 ABC 内一点(含边界)，若 ，则| |的最大值为_AP 23AB AC AP 答案 2133解析 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系， AB3， AC2， BAC60， A(0,0)， B(3,0)，C(1， )，3设点 P 为( x， y)，0 x3，0 y ，3 ，AP 23AB AC ( x， y) (3,0) (1， )(
11、2 ， )，23 3 3Error! y (x2)，3直线 BC 的方程为 y (x3)，32联立，解得Error!此时| |最大，| | .AP AP 499 13 213314(2018江西南昌一模)已知三角形 ABC 中， AB AC， BC4， BAC120， 3BE ，若点 P 是 BC 边上的动点，则 的取值范围是_EC AP AE 答案 23， 103解析 因为 AB AC， BC4， BAC120，所以 ABC30， AB .因为43373 ，所以 .BE EC BE 34BC 设 t ，则 0 t1，所以 t ，又 ，BP BC AP AB BP AB BC AE AB BE
12、 AB 34BC 所以 ( t )AP AE AB BC (AB 34BC ) 2 t t 2AB BC AB 34BC AB 34BC t4 cos150 4 cos150 t424 t ，163 433 34 433 34 23因为 0 t1，所以 4 t ，23 23 103即 的取值范围是 .AP AE 23， 103三、解答题15给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 O 为OA OB 23圆心的 上运动若 x y ，其中 x， yR，求 x y 的最大值OC OA OB 解 以 O 为坐标原点， 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示
13、，则OA A(1,0)， B .(12， 32)设 AOC ，( 0，23)8则 C(cos ，sin )，由 x y ，得Error!OC OA OB 所以 xcos sin ， y sin ，33 233所以 x ycos sin 2sin ，3 ( 6)又 ，所以当 时， x y 取得最大值 2.0，23 316(2018湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点B(1，0)，| |1，且 AOC x，其中 O 为坐标原点OC (1)若 x ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求| |的最小值；34 OC OD (2)若 x ，向量 m ， n(1cos x
14、，sin x2cos x)，求 mn 的最小值及对0， 2 BC 应的 x 值解 (1)设 D(t,0)(0 t1)，由题易知 C ，(22， 22)所以 ，OC OD ( 22 t， 22)所以| |2 t t2 t2 t1 2 (0 t1)，OC OD 12 2 12 2 (t 22) 12所以当 t 时，| |2最小，最小值为 .22 OC OD 22(2)由题意得 C(cosx，sin x)， m (cos x1，sin x)，BC 则 mn1cos 2xsin 2x2sin xcosx1cos2 xsin2 x1 sin .2 (2x 4)因为 x ，所以 2 x ，0， 2 4 4 54所以当 2x ，即 x 时， 4 2 89sin 取得最大值 1，(2x 4)所以 mn 的最小值为 1 ，此时 x .2 8
