1、111.3 合情推理与演绎推理知识梳理1推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理(3)归纳和类比推理的定义、特征23演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特
2、殊情况做出的判断诊断自测1概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(选修 A12P 23例题)观察下列各式：a b1， a2 b23， a3 b34， a4 b47， a5 b511，则 a10 b10为( )A28 B76 C123 D199答案 C解析 记 an bn f(n)，则 f(3
3、) f(1) f(2)134； f(4) f(2) f(3)347； f(5) f(3) f(4)11.通过观察不难发现 f(n) f(n1) f(n2)(nN *， n3)，则 f(6) f(4) f(5)18； f(7) f(5) f(6)29； f(8) f(6) f(7)47； f(9) f(7) f(8)76； f(10) f(8) f(9)123.所以 a10 b10123.故选 C.(2)(选修 A12P 23例 2)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则3S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则
4、 T4，_，_， 成等比数列T16T12答案 T8T4 T12T8解析 设等比数列 bn的公比为 q，首项为 b1，则 T4 b q6， T8 b q127 b q28，41 81 81T12 b q1211 b q66，12 12 b q22， b q38，T8T4 41 T12T8 41即 2 T4，故 T4， ， 成等比数列(T8T4) T12T8 T8T4 T12T8故答案为 ， .T8T4 T12T83小题热身(1)(2018厦门模拟)已知圆： x2 y2 r2上任意一点( x0， y0)处的切线方程为x0x y0y r2.类比以上结论，有双曲线 1 上任意一点( x0， y0)处的
5、切线方程为x2a2 y2b2_答案 1x0xa2 y0yb2解析 设圆上任一点为( x0， y0)，把圆的方程中的 x2， y2替换为 x0x， y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线 1 上任一点为( x0， y0)，则切线方程为x2a2 y2b2 1(这个结论是正确的，证明略)x0xa2 y0yb2(2)(2015陕西高考)观察下列等式1 12 121 12 13 14 13 141 12 13 14 15 16 14 15 16据此规律，第 n 个等式可为_答案 1 12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n解析 观察已知等式可知，第 n 个等式左边共有
6、 2n 项，其中奇数项为 ，偶数项12n 1为 ，等式右边共有 n 项，为等式左边后 n 项的绝对值之和，所以第 n 个等式为 1 12n 12 .13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n4题型 1 类比推理已知 P(x0， y0)是抛物线 y22 px(p0)上的一点，过点 P 的切线方程的斜率可 典 例通过如下方式求得：在 y22 px 两边同时对 x 求导，得 2yy2 p，则 y ，所以过点pyP 的切线的斜率 k .类比上述方法求出双曲线 x2 1 在 P( ， )处的切线方程为py0 y22 2 2_注意题意要求，类比上述方法求切线答案 2 x y 02解析 将双
7、曲线方程化为 y22( x21)，类比上述方法两边同时对 x 求导得2yy4 x，则 y ，即过点 P 的切线的斜率 k ，由于 P( ， )，故切线斜率2xy 2x0y0 2 2k 2，因此切线方程为 y 2( x )，整理得 2x y 0.222 2 2 2方法技巧1类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义：如等差、等比数列的定义；类比性质：如椭圆、双曲线的性质；类比方法：如基本不等式与柯西不等式；类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球(2)四个原则长度类比面积；面积类比体积；平面类比空间；和类比积，差类比商见典例2类比推
8、理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等冲关针对训练5(2017山东日照一模)36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 362 232，所以 36 的所有正约数之和为(133 2)(22323 2)(2 22 232 232)(122 2)(
9、133 2)91，参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为_答案 465解析 类比求 36 的所有正约数之和的方法，200 的所有正约数之和可按如下方法求得，因为 2002 352，所以 200 的所有正约数之和为(122 22 3)(155 2)465.题型 2 归纳推理角度 1 与数字有关的归纳推理(2018石家庄模拟)如图所示的数阵中，用 A(m， n)表示第 m 行的第 n 个数， 典 例则依此规律 A(15,2)为( ) 1316 16110 13 110115 1330 1330 115121 12 1315 12 121A. B. C. D.2942 710 1724 7
10、3102每行第一个数的分母形成了数列 3,6,10,15满足 an1 an n2，写出 A(15,2)，然后采用裂项相消法答案 C解析 观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于它肩上的两个数的和，所以 A(15,2) 16 16 110 115 121 1120 2Error! Error!16 112 120 130 142 1240 216 134 145 156 167 11516 216 (13 14 14 15 15 16 115 116)6 2 .故选 C.16 (13 116) 1724角度 2 与式子有关的归纳推理(2016山东高考)观察下列等式： 典 例2
11、2 12；(sin 3) (sin23) 432 2 2 2 23；(sin 5) (sin25) (sin35) (sin45) 432 2 2 2(sin 7) (sin27) (sin37) (sin67) 34；432 2 2 2(sin 9) (sin29) (sin39) (sin89) 45；43照此规律，2 2 2 2 _.(sin2n 1) (sin22n 1) (sin32n 1) (sin2n2n 1)分析等式右边的结构规律答案 4nn 13解析 观察前 4 个等式，由归纳推理可知2 2 2(sin2n 1) (sin22n 1) (sin2n2n 1) n(n1) .4
12、3 4nn 13角度 3 与图形有关的归纳推理如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3 典 例根火柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 个火柴，则第 2018 个图形用的火柴根数为( )7A20162019 B20172018C20172019 D30272019答案 D解析 由题意，第 1 个图形需要火柴的根数为 31；第 2 个图形需要火柴的根数为 3(12)；第 3 个图形需要火柴的根数为 3(123)；由此，可以推出，第 n 个图形需要火柴的根数为 3(123 n)所以第 2018 个图形所需火柴的根数为 3(1232018)33
13、0272019，故选 D.20181 20182方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见角度 1 典例2与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(2)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可见角度 2 典例3与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见角度 3 典例冲关针对训练某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是
14、在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120，依此规律得到 n 级分形图，138n 级分形图中共有_条线段答案 32 n3解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3(323)条线段，二级分形图有 9(32 23)条线段，三级分形图中有21(32 33)条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 an32 n3.题型 3 演绎推理数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11， an1 Sn(nN *)证明： 典 例 n 2n(1)数列 是等比数列；Snn(2)Sn1 4 an.证明 是等比数列，将已知 an1
15、 Sn中的Snn n 2nan1 用 Sn1 Sn表示证明 (1) an1 Sn1 Sn， an1 Sn，n 2n( n2) Sn n(Sn1 Sn)，即 nSn1 2( n1) Sn. 2 ，又 10，(小前提)Sn 1n 1 Snn S11故 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论)Snn(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 4 (n2)，Sn 1n 1 Sn 1n 1 Sn1 4( n1) 4 Sn1Sn 1n 1 n 1 2n 14 an(n2)，(小前提)又 a23 S13， S2 a1 a21344 a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn1 4 a
16、n.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)方法技巧9三段论的应用1三段论推理的依据是：如果集合 M 的所有元素都具有性质 P， S 是 M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质 P.2应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确冲关针对训练(2017厦门模拟)设 f(x)3 ax22 bx c，若 a b c0， f(0)0， f(1)0，证明：(1)a0 且20， f(1)0，所以 c0,3a2 b c0.由 a b c0，消去
17、b 得 ac0；再由条件 a b c0，消去 c 得 a b0，所以20， f(1)0，而 f (b3a) 3ac b23a a2 c2 ac3a 0， y0， 2 4，yx 4xy yx4xy (54) ，1x 4y 12 92当且仅当Error!即Error! 时， 取最小值 .1x 4y 92参考上述解法，已知 A， B， C 是 ABC 的三个内角，则 的最小值为( )1A 9B CA. B. C. D.16 8 4 2答案 A解析 A B C，设 A ， B C ，则 ， 1， 参考题干中解法，则 ( )1A 9B C 1 9 (1 9 ) (106) ，当且仅当 ，即 3 时等号成
18、立故选1 1 (10 9 ) 1 16 9A.二、填空题11(2017北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i1,2,3.(1)记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1， Q2， Q3中最大的是_(2)记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1， p2， p3中最大的是_答案 (1) Q1 (2) p216解析 设 A1(xA1， yA1)， B1(xB1， yB1)，线段 A1B
19、1的中点为 E1(x1， y1)，则Q1 yA1 yB12 y1.因此，要比较 Q1， Q2， Q3的大小，只需比较线段 A1B1， A2B2， A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知 Q1最大又 p1 ，其几何意义为线段 A1B1的中点 E1与坐标原点连线yA1 yB1xA1 xB1 2y12x1 y1x1 y1 0x1 0的斜率，因此，要比较 p1， p2， p3的大小，只需比较线段 A1B1， A2B2， A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知 p2最大12(2018湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长) l2 r，二维测度(面积) S r2；三维空间中，球的二维测度(表面积
20、) S4 r2，三维测度(体积) V r3.应43用合情推理，若四维空间中， “超球”的三维测度 V8 r3，则其四维测度 W_.答案 2 r4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积) S r2，则其导数 S2 r, 即为圆的一维测度(周长) l2 r；在三维空间中，球的三维测度(体积) V r3，则其导数43V4 r2，即为球的二维测度(表面积) S4 r2；应用合情推理，在四维空间中， “超球”的三维测度 V8 r3，则其四维测度 W2 r4.13(2017江西赣州十四县联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次
21、关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1关收税金 ，第 2 关收税金为剩余的 ，第 3 关收税金为剩余的 ，第 4 关收税金为剩余的 ，12 13 14 15第 5 关收税金为剩余的 ，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？”若将“516关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关” ，则第 8 关所收税金为_ x.答案 172解析 第 1 关收税金： x；12第 2 关收税金： x ；13(1 12) x6 x23第 3 关收税金： x ；14(1 12 16) x12 x34第
22、 8 关收税金： .x89 x7214传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：17将三角形数 1,3,6,10，记为数列 an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn可以推测：(1)b2016是数列 an中的第_项；(2)b2k1 _(用 k 表示)答案 (1)5040 (2)5k5k 12解析 观察知这些三角形数满足 an ， nN *，当 n5 k1 或 n5 k， kN *时，nn 12对应的三角形数是 5 的倍数，为数列 bn中的项，将 5k1 和 5k 列为一组，所以 b2016是第 1008 组的后面一项
23、，即 b2016是数列 an中的第 510085040 项； b2k1 是第 k 组的前面一项，是数列 an中的第 5k1 项，即 b2k1 a5k1 .5k5k 12三、解答题15(2017未央区校级期中)阅读以下求 123 n 的值的过程：因为( n1) 2 n22 n1，n2( n1) 22( n1)1221 2211以上各式相加得( n1) 212(123 n) n所以 123 n .n2 2n n2 nn 12类比上述过程，求 122 23 2 n2的值解 2 31 332 2321，332 333 2331，n3( n1) 33 n23 n1，把这 n1 个等式相加得 n313(2
24、 23 2 n2)3(23 n)( n1)，由此得 n313(1 22 23 2 n2)3(123 n)( n1)，即 122 2 n2 .13n3 1 32nn 1 n 116(2018南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列 an、 bn是两个等差数列，它们的前 n 项的和分别是 Sn， Tn，则 .anbn S2n 1T2n 118(1)请你证明上述命题；(2)请你就数列 an、 bn是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明解 (1)证明：在等差数列 an中， an (nN *)，那么对于等差数列 an、a1 a2n 12bn有： .anbn12a1 a2n 112b1 b2n 112a1 a2n 12n 112b1 b2n 12n 1 S2n 1T2n 1(2)猜想：数列 an、 bn是两个各项均为正的等比数列，它们的前 n 项的积分别是Xn， Yn，则 2n1 .(anbn) X2n 1Y2n 1证明：在等比数列 an中， a a1a2n1 a2a2n2 ( nN *)，2n(an)2n1 a1a2a3a2n1 (nN *)，那么对于等比数列 an、 bn有2n1 .(anbn) a1a2a3a2n 1b1b2b3b2n 1 X2n 1Y2n 1
