1、1课时分层训练(三十二) 等比数列及其前 n 项和A 组 基础达标一、选择题1对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是( )A a1， a3， a9成等比数列B a2， a3， a6成等比数列C a2， a4， a8成等比数列D a3， a6， a9成等比数列D 由等比数列的性质得， a3a9 a 0，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D.262(2018武汉调研)等比数列 an的各项均为正数，且 a5a6 a4a718，则log3a1log 3a2log 3a10( )A12 B10C8 D2log 35B 由等比数列的性质知 a5a6 a4a79，所以log3a1log 3a
2、2log 3a3log 3a10log 3(a1a2a3a10)log 3(a5a6)5log 39510，故选 B.3(2017广东深圳一模)已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b，则 ( )abA3 B1C1 D3A 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S13 a b a b2 a，a3 S3 S29 a b3 a b6 a，等比数列 an中， a a1a3，2(2 a)2( a b)6a，解得 3.故选 A.ab4设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9等于( )A. B18 1
3、8C. D578 558A 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即8，1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6)1，即 S9 S6 .所以 a7 a8 a9 .18 1825已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 mN ，满足 9， ，则数列S2mSm a2mam 5m 1m 1an的公比为( )A2 B2C3 D3B 设公比为 q，若 q1，则 2，与题中条件矛盾，故S2mSmq1. qm19， qm8.S2mSma1(1 q2m)1 qa1(1 qm)1 q qm8 ，a2mam a1q2m 1a1qm 1 5m 1m 1
4、 m3， q38， q2.二、填空题6在等比数列 an中，若 a1a516， a48，则 a6_.32 由题意得， a2a4 a1a516， a22， q2 4， a6 a4q232.a4a27(2017江苏高考)等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知S3 ， S6 ，则 a8_. 74 634【导学号：79140178】32 设 an的首项为 a1，公比为 q，则Error!解得Error!所以 a8 272 532.148(2017深圳二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，
5、问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚， Sn为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺2n 1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，12n 1所以前 n 天大老鼠打洞的距离共为 2 n1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的1(1 2n)1 23距离共为 2 ，所以 Sn2 n12 2 n 1.12n 1 12n 1 12n 1三、解答题9在公差不为零的等差数列 an中， a11， a2， a4， a8成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2
6、 an， Tn b1 b2 bn，求 Tn. 【导学号：79140179】解 (1)设等差数列 an的公差为 d，则依题意有Error!解得 d1 或 d0(舍去)， an1( n1) n.(2)由(1)得 an n， bn2 n， 2， bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，bn 1bn Tn 2 n1 2.2(1 2n)1 210设等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a2 a326， S6728.(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： S SnSn2 43 n.2n 1解 (1)设等比数列 an的公比为 q，由 728226 得， S62 S3， q1.由已知得Error
7、!解得Error! an23 n1 .(2)证明：由(1)可得 Sn 3 n1.2(1 3n)1 3 Sn1 3 n1 1， Sn2 3 n2 1. S SnSn2 (3 n1 1) 2(3 n1)(3 n2 1)43 n.2n 1B 组 能力提升11数列 an满足： an1 a n1( nN ， R 且 0)，若数列 an1是等比数列，则 的值等于( )A1 B1C. D212D 由 an1 a n1，得 an1 1 a n2 .由于数列 an1是等比数列，(an2 )4所以 1，得 2.212(2018江西九校联考)已知正项数列 an满足 a 2 a anan1 ，若 a11，则数列2n
8、1 2nan的前 n 项和 Sn_. 【导学号：79140180】2n1 由 a 2 a anan1 ，得( an1 2 an)(an1 an)0，所以 an1 2 an或2n 1 2nan1 an(舍去)，所以 2，所以数列 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，an 1an所以 Sn 2 n1.1 2n1 213已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明： an1 an6 an1 (n2)， an1 2 an3 an6 an1 3( an2 an1 )(n2) a15， a25， a22 a115， an2 an1 0( n2)， 3( n2)，an 1 2anan 2an 1数列 an1 2 an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n， an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n.
