1、1第一节 坐标系考纲传真 (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(对应学生用书第 198 页)基础知识填充1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标与极坐标系的概念图 1在平面内取一个定点 O，叫作极点，从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一
2、个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系对于平面内任意一点 M，用 表示线段 OM 的长， 表示以 Ox 为始边、 OM 为终边的角度， 叫作点 M 的极径， 叫作点 M 的极角，有序实数对( ， )叫作点 M 的极坐标，记作 M( ， )当点 M 在极点时，它的极径 0，极角 可以取任意值3极坐标与直角坐标的互化点 M 直角坐标( x， y) 极坐标( ， )互化公式 Error! 2 x2 y2 tan (x0)yx4.圆的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 2)圆心为( r,0)，半径为 r 的圆 2 rco
3、s ( 2 2)2圆心为 ，半径为 r 的圆(r， 2) 2 rsin (0 )5.直线的极坐标方程(1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 ，则直线 l 的极坐标方程是 ( R)(2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 cos a.( 2 2)(3)直线过 M 且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 sin (b， 2) b(0 )基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点 P 的直角坐标为(1， )，则点 P 的一
4、个极坐标是 .( )3 (2， 3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( )(4)极坐标方程 ( 0)表示的曲线是一条直线( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1 x(0 x1)的极坐标方程为( )A ，0 1cos sin 2B ，0 1cos sin 4C cos sin ，0 2D cos sin ，0 4A y1 x(0 x1)， sin 1 cos (0 cos 1)， .1sin cos (0 2)3(2017北京高考)在极坐标系中，点 A 在圆 22 cos 4 sin 40
5、 上，点P 的坐标为(1,0)，则| AP|的最小值为_31 由 22 cos 4 sin 40，得x2 y22 x4 y40，即( x1) 2( y2) 21，圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1.点 P 的坐标为(1,0)，点 P 在圆 C 外又点 A 在圆 C 上，| AP|min| PC|1211.4已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin ，点 A 的极坐标为 A ，则点( 4) 2 (22， 74)A 到直线 l 的距离为_由 2 sin ，得522 ( 4) 22 ，(22sin 22cos ) 2 y x1.由 A ，得点 A 的直角坐标为 (2，2)(22，74)点 A 到
6、直线 l 的距离 d .|2 2 1|2 5225已知圆 C 的极坐标方程为 22 sin 40，求圆 C 的半径2 ( 4)解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程可化为 22 40，2 (22sin 22cos )化简，得 22 sin 2 cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为x2 y22 x2 y40，即( x1) 2( y1) 26，所以圆 C 的半径为 .6(对应学生用书第 199 页)平面直角坐标系中的伸缩变换4在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ：Error!(1)求点 A 经过 变换所得点 A的坐标
7、；(13， 2)(2)求直线 l： y6 x 经过 变换后所得直线 l的方程解 (1)设点 A( x， y)，由伸缩变换 ：Error! 得Error! x 31， y 1.13 22点 A的坐标为(1，1)(2)设 P( x， y)是直线 l上任意一点由伸缩变换 ：Error!得Error!代入 y6 x，得 2y6 2 x，x3 y x 即为所求直线 l的方程规律方法 伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线 y f x 在变换 ：Error!的作用下的变换方程的求法是将Error!代入 y f x ，得 f ，整理之后得到y (x )y h x ，即为所求变换之后的方程.易错警示：应用伸缩变换
8、时，要分清变换前的点的坐标 x， y 与变换后的点的坐标 x， y.跟踪训练 求椭圆 y21，经过伸缩变换Error!后的曲线方程. x24【导学号：79140385】解 由Error!得Error! 将代入 y21，得 y 21，x24 4x 24即 x 2 y 21.因此椭圆 y21 经过伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y21.x24极坐标与直角坐标的互化(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x6) 2 y225.(1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)， l 与 C
9、 交于 A， B 两点，| AB| ，求105l 的斜率解 (1)由 x cos ， y sin 可得圆 C 的极坐标方程为 212 cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R)设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212 cos 110，于是 1 212cos ， 1 211.|AB| 1 2| ( 1 2)2 4 1 2 .144cos2 44由| AB| 得 cos2 ，tan .1038 153所以 l 的斜率为 或 .153 153规律方法 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直
10、角坐标系的原点为极点(2)以 x 轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 x cos 及 y sin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 cos ， sin ， 2的形式，进行整体代换跟踪训练 (2018合肥二检)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos .(1)求出圆 C 的直角坐标方程；(2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A， B 两点，直线 l： y2 x 关于点 M(0， m)(m0)对
11、称的直线为 l.若直线 l上存在点 P 使得 APB90，求实数 m 的最大值解 (1)由 4cos 得 24 cos ，即 x2 y24 x0，即圆 C 的标准方程为( x2) 2 y24.(2)直线 l： y2 x 关于点 M(0， m)的对称直线 l的方程为 y2 x2 m，而 AB 为圆C 的直径，故直线 l上存在点 P 使得 APB90的充要条件是直线 l与圆 C 有公共点，故 2，解得2 m 2，|4 2m|5 5 5所以实数 m 的最大值为 2.56极坐标方程的应用(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方
12、程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解 (1)设 P 的极坐标为( ， )( 0)， M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积S
13、 |OA| Bsin AOB4cos 12 |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3规律方法 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.跟踪训练 (2017太原市质检)已知曲线 C1： x y 和 C2：Error! ( 为参数)以3 3原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1和 C2的方程化为极坐标方程；(2)设 C1
14、与 x， y 轴交于 M， N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1， C2交于P， Q 两点，求 P， Q 两点间的距离. 【导学号：79140386】解 (1)曲线 C1化为 cos sin .3 3 sin .( 6) 327曲线 C2化为 1.(*)x26 y22将 x cos ， y sin 代入(*)式得 cos2 sin2 1，即 2(cos2 3sin 2 )6. 26 22曲线 C2的极坐标方程为 2 .61 2sin2(2) M( ，0)， N(0,1)， P ，3 (32， 12) OP 的极坐标方程为 ， 6把 代入 sin 得 11， P . 6 ( 6) 32 (1， 6)把 代入 2 得 22， Q . 6 61 2sin2 (2， 6)| PQ| 2 1|1，即 P， Q 两点间的距离为 1.
