1、1课时分层训练(五十六) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标一、选择题1若直线 y kx 与双曲线 1 相交，则 k 的取值范围是( )x29 y24A. B.(0，23) ( 23， 0)C. D. (23， 23) ( ， 23) (23， )C 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，若直线与双曲线相交，数形结合，得x29 y24 23k .(23， 23)2已知直线 y2 (x1)与抛物线 C： y24 x 交于 A， B 两点，点 M(1， m)，2若 0，则 m( )MA MB A. B.222C. D012B 由Error! 得 A(2,2 )， B .2 (12， 2)又 M
2、(1， m)且 0，MA MB 2 m22 m10，解得 m .2223直线 y kx2 与抛物线 y28 x 有且只有一个公共点，则 k 的值为( ) 【导学号：79140306】A1 B1 或 3C0 D1 或 0D 由Error! 得 k2x2(4 k8) x40，若 k0，则 y2，符合题意若 k0，则 0，即 6464 k0，解得 k1，所以直线 y kx2 与抛物线 y28 x 有且只有一个共公点时， k0 或 1.4(2017河南重点中学联考)已知直线 l： y2 x3 被椭圆 C： 1( a b0)截得x2a2 y2b2的弦长为 7，则下列直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7
3、 的有( ) y2 x3； y2 x1； y2 x3； y2 x3.2A1 条 B2 条C3 条 D4 条C 直线 y2 x3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.5已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两x2a2 y2b2点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x218 y29 x227 y218C. 1 D. 1x236 y227 x245 y236A 因为直线 A
4、B 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，代入12椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2 a2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，即 a22 b2.又 a2 b2 c2，所以32a22(a24 b2)b c3， a3 ，2所以 E 的方程为 1.x218 y29二、填空题6已知倾斜角为 60的直线 l 通过抛物线 x24 y 的焦点，且与抛物线相交于 A， B 两点，则弦 AB 的长为_16 直线 l 的方程为 y x1，3由Error! 得 y214 y10.设 A(x1， y1)， B(x2，
5、 y2)，则 y1 y214，所以| AB| y1 y2 p14216.7已知(4,2)是直线 l 被椭圆 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是x236 y29_x2 y80 设直线 l 与椭圆相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)则 1，且 1，x2136 y219 x236 y29两式相减得 .y1 y2x1 x2 x1 x24(y1 y2)又 x1 x28， y1 y24，3所以 ，故直线 l 的方程为 y2 (x4)，即 x2 y80.y1 y2x1 x2 12 128已知椭圆 1(00)图 892(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)当 p
6、1 时，若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求线段 PQ 的中点 M 的坐标解 (1)抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 .(p2， 0)由点 在直线 l： x y20 上，(p2， 0)得 020，即 p4.p2所以抛物线 C 的方程为 y28 x.(2)当 p1 时，曲线 C： y22 x.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0)因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为 y x b.由Error! 消去 x，得 y22 y2 b0.因为
7、P 和 Q 是抛物线 C 的两相异点，则 y1 y2.从而 441(2 b)8 b40.(*)因此 y1 y22，所以 y01.又 M(x0， y0)在直线 l 上，所以 x01.所以点 M(1，1)，此时 b0 满足(*)式故线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1)B 组 能力提升11(2017全国卷)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在3x 轴的上方)， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为( )A. B25 2C2 D33 3C 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由直
8、线方程的点斜式可得直5线 MF 的方程为 y (x1)3联立得方程组Error!解得Error! 或Error!点 M 在 x 轴的上方， M(3,2 )3 MN l， N(1,2 )3| NF| 4，(1 1)2 (0 2r(3)2|MF| MN| 4.(3 1)2 (2r(3) 2r(3)2 MNF 是边长为 4 的等边三角形点 M 到直线 NF 的距离为 2 .3故选 C.12(2017青岛质检)过双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行x2a2 y2b2的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_2 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线
9、 l 的斜率为 ，又直线 l 过右焦点3baF(c,0)，则直线 l 的方程为 y (x c)ba因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得 1，4a2a2 y2b2化简得 y b 或 y b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)3 3故点 P 的坐标为(2 a， b)，3代入直线方程得 b (2a c)，3ba6化简可得离心率 e 2 .ca 313(2018广州综合测试(二)已知定点 F(0,1)，定直线 l： y1，动圆 M 过点 F，且与直线 l 相切(1)求动圆 M 的圆心轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A， B 两点，分别过点 A， B 作曲线 C 的切
10、线l1， l2两条切线相交于点 P，求 PAB 外接圆面积的最小值. 【导学号：79140308】解 (1)法一：设圆心 M 到直线 l 的距离为 d，由题意| MF| d.设圆心 M(x， y)，则有 | y1|.x2 (y 1)2化简得 x24 y.所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x24 y.法二：设圆心 M 到直线 l 的距离为 d，由题意| MF| d.根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线，焦点为 F(0,1)，准线为 y1.所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x24 y.(2)法一：设 lAB： y kx1，代入 x24 y 中，得 x24 kx40.设 A(x1， y1)，
11、 B(x2， y2)，则 x1 x24 k， x1x24.所以| AB| |x1 x2|4( k21)1 k2因为曲线 C： x24 y，即 y ，所以 y .x24 x2所以直线 l1的斜率为 k1 ，x12直线 l2的斜率为 k2 .x22因为 k1k2 1，x1x24所以 PA PB，即 PAB 为直角三角形所以 PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是外接圆的直径因为| AB|4( k21)，所以当 k0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.法二：设 lAB： y kx1，7代入 x24 y 中，得 x24 kx40.设 A(x1，
12、 y1)， B(x2， y2)，则 x1 x24 k， x1x24.所以| AB| |x1 x2|4( k21)1 k2因为曲线 C： x24 y，即 y ，所以 y .x24 x2所以直线 l1的方程为 y y1 (x x1)，x12即 y x .x12 x214同理可得直线 l2的方程为 y x .x22 x24联立，解得Error!即 P(2k，1)因为 ( x12 k， y11)( x22 k， y21)PA PB x1x22 k(x1 x2)4 k2 y1y2( y1 y2)10，所以 PA PB，即 PAB 为直角三角形所以 PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB
13、是外接圆的直径因为| AB|4( k21)，所以当 k0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.法三：设 lAB： y kx1，由对称性不妨设点 A 在 y 轴的左侧，代入 x24 y 中，得 x24 kx40.解得 A(2k2 ，2 k22 k 1)，k2 1 k2 1B(2k2 ，2 k22 k 1)k2 1 k2 1所以| AB|4( k21)因为曲线 C： x24 y，即 y ，所以 y .x24 x2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以直线 l1的方程为 y y1 (x x1)，x12即 y x . x12 x214同理可得直线 l2的方
14、程为 y x . x22 x24联立，解得Error!即 P(2k，1)因为 AB 的中点 M 的坐标为(2 k,2k21)，8所以 AB 的中垂线方程为 y(2 k21) (x2 k)，1k因为 PA 的中垂线方程为 y( k2 k )( k )x(2 k )，k2 1 k2 1 k2 1联立上述两个方程，解得其交点坐标为 N(2k,2k21)因为点 M， N 的坐标相同，所以 AB 的中点 M 为 PAB 的外接圆的圆心所以 PAB 是直角三角形，且 PA PB，所以线段 AB 是 PAB 外接圆的直径因为| AB|4( k21)，所以当 k0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.
