1、1课时作业(二十九) 第 29 讲 等比数列及其前 n 项和时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.2017湖北七市联考 已知公比不为 1 的等比数列 an满足 a5a6+a4a7=18,若 a1am=9,则m 的值为 ( )A. 8 B. 9C. 10 D. 112.在等比数列 an中,若 a1+a4=18,a2+a3=12,则这个数列的公比为 ( )A. 2B. 12C. 2 或12D. -2 或123.已知 an,bn都是等比数列,则 ( )A. an+bn,anbn一定都是等比数列B. an+bn一定是等比数列,但 anbn不一定是等比数列C. an+bn不一定是等比数列
2、,但 anbn一定是等比数列D. an+bn,anbn都不一定是等比数列4.2017石家庄二模 在等比数列 an中,若 a1=-2,a5=-4,则 a3= . 5.已知各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a2a8= =1024,且 a1=2,则 Sm= .22能力提升6.2017山西三区八校二模 在明朝程大位的算法统宗中有这样一首歌谣:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了381 盏灯,且相邻两层中下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯 ( )A. 5 盏 B. 6 盏C. 4 盏 D. 3 盏7.201
3、8鞍山一中一模 设 an是首项为 a1,公差为 -2 的等差数列, Sn为其前 n 项和 .若S1,S2,S4成等比数列,则 a1=( )A. 8 B. -8C. 1 D. -18.设各项都是正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S30=70,则 S40= ( )A. 150B. -200C. 150 或 -200D. 400 或 -509.2017辽宁实验中学模拟 已知数列 an是首项为 1 的等比数列, Sn是数列 an的前 n项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项和为 ( )1A. 或 5158B. 或 53116C. 3116D. 158310.若数列 a
4、n满足 - =0,nN *,p 为非零常数,则称数列 an为“梦想数列” .已知正1+1项数列 为“梦想数列”,且 b1b2b3b99=299,则 b8+b92的最小值为 ( )1A. 2 B. 4C. 6 D. 811.已知等比数列 an是递增数列, Sn是数列 an的前 n 项和 .若 a1,a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6= . 12.2017合肥三模 已知等比数列 an的首项为 2,前 2m 项满足 a1+a3+a2m-1=170,a2+a4+a2m=340,则 m= . 13.(15 分)2017丹东一模 已知数列 an满足 a1=1,an+1=2an+1.(1)证
5、明:数列 an+1是等比数列,并求出数列 an的通项公式 .(2)记 bn= ,设 Sn为数列 bn的前 n 项和,证明: Sn0,a m=a5=32,又 a 1=2, 公比 q= =2,S 5=2451=62.2(1-25)1-26. D 解析 由题意知,第一层至第七层的灯数构成一个以 a1为首项,以 为公比的等比数12列,则 =381,解得 a1=192,所以塔的顶层共有 192 =3(盏)灯 .故选 D.1(1-127)1-12 1267. D 解析 由题易得 S1=a1,S2=2a1-2,S4=4a1-12,所以(2 a1-2)2=a1(4a1-12),解得 a1=-1.8. A 解析
6、 依题意知数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,所以( S20-S10)2=S10(S30-S20),即( S20-10)2=10(70-S20),解得 S20=-20 或 30,又 S200,所以 S20=30,则 S20-S10=20,S30-S20=40,故 S40-S30=80,则 S40=150.故选 A.9. C 解析 设数列 an的公比为 q,由题易知 q1,所以 = 1+q3=9q=2,所9(1-3)1- 1-61-以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,其前 5 项和为 = .故选 C.1 121-(12)51-12 311610. B 解
7、析 依题意可得 bn+1=pbn,则数列 bn为等比数列 .又b1b2b3b99=299= ,b 50=2,b 8+b922 =2b50=4,当且仅当 b8=b92,即该数列为常数列9950 892时取等号 .故选 B.11. 63 解析 设等比数列 an的公比为 q,解方程 x2-5x+4=0,得 x1=1,x2=4.因为数列 an是递增数列,且 a1,a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根,所以 a1=1,a3=4,则 q2= = =4,所以 q=2,3141则 S6= = =63.1(1-6)1- 1(1-26)1-2712. 4 解析 由题意知公比 q= = =2,则2+4+21+3
8、+2-1340170S2m= =170+340=510,解得 m=4.2(1-22)1-213. 解:(1)因为 an+1=2an+1,所以 an+1+1=2(an+1),又 a1+1=2,所以数列 an+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an+1=22n-1=2n,所以数列 an的通项公式为 an=2n-1.(2)证明:由(1)可得 bn= = - ,所以 Sn= 1- + + + - =1-1(+1)1 1+1 12 (12-13)(13-14) 1 1+1.因为 nN *,所以 0,故 Sn1),由已知得 即1+2+3=7,(1+3)+(3+4)2 =32,解得 故数列 an的
9、通项公式为 an=2n-1.1(1+2)=7,1(1-6+2)=-7, 1=1,=2,(2)由(1)得 bn=2n-1+(n-1)ln 2,所以 Tn=(1+2+22+2n-1)+0+1+2+(n-1)ln 2= + ln 2=2n-1+ ln 2.1-21-2(-1)2 (-1)215. 8 解析 a n0,且 a3-a1=2,a 1q2-a1=2,则 a1= (q1),a 5=a1q4= = .22-1242-1212-14令 t= (1t0),则 a5= ,又 -t2+t=- + ,a 58, + ),a 5的最小值为 8.122-2+ (-12)214 1416. 3 解析 由题意知 Tn= =9-2n- , 91(1-2)1-2 -1(1-22)1-212 82 2n+ 2 =4 ,82 28228当且仅当 2n= 时取等号,82又 nN *, 当 n=1 或 2 时, Tn取得最大值 3, 数列 Tn的最大项的值为 3.
