1、1第 1 课时 坐标系最新考纲 考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1平面直角坐标系设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标
2、系的概念在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对( ， )称为点 M 的极坐标 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角一般认为 0.当极角 的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标( ， )( 0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径 0，极角 可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设 M 为平面内的一点，
3、它的直角坐标为( x， y)，极坐标为( ， )由图可知下面关系式2成立：Error!或 Error!这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 0)，点 M 的极坐标为( 1， )( 10)由题意知|OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积 S |OA| Bsin AOB124cos |sin( 3)
4、|82 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与 x 轴正半轴重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角 时，应注意判断点 P 所在的象限(即角 的终边的位置)，以便正确地求出角 .利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定 取正值， 0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标( ， )( 0)建立一一对应关系跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标
5、系中，求直线 sin 2 被圆 4 截得的( 4)弦长解 由 sin 2，得 ( sin cos )2，可化为 x y2 0.圆( 4) 22 2 4 可化为 x2 y216，圆心(0,0)到直线 x y2 0 的距离 d 2，2|22|2由圆中的弦长公式，得弦长l2 2 4 .r2 d2 42 22 3故所求弦长为 4 .31(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin .( 4) 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解 (1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin
6、，圆 O 的直角坐标方程为 x2 y2 x y，即 x2 y2 x y0，9直线 l： sin ，( 4) 22即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为 y x1，即 x y10.(2)由Error! 得Error!故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 .(1， 2)2已知曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)求 C1的极坐标方程， C2的直角坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(其中 0,0 2)解 (1)将Error!消去参数 t，化为普通方程为( x4)
7、 2( y5) 225，即 C1： x2 y28 x10 y160.将Error! 代入 x2 y28 x10 y160，得 28 cos 10 sin 160.所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.因为曲线 C2的极坐标方程为 2sin ，变为 22 sin ，化为直角坐标方程为 x2 y22 y，即 x2 y22 y0.(2)因为 C1的普通方程为 x2 y28 x10 y160，C2的普通方程为 x2 y22 y0，由Error!解得Error! 或Error!所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .(2， 4) (2， 2)3(2017贵阳调研)在以直角坐标
8、系中的原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为 .21 sin (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P， Q，若| OP|3| OQ|，求直线 l 的极坐标方程解 (1) ， sin y，x2 y2 化为 sin 2，21 sin 10曲线的直角坐标方程为 x24 y4.(2)设直线 l 的极坐标方程为 0( R)，根据题意 3 ，21 sin 0 21 sin 0 解得 0 或 0 ， 6 56直线 l 的极坐标方程为 ( R)或 ( R) 6 564(2017东北三校二模)已知点 P 的直角坐标是( x， y
9、)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是( ， )，点 Q 的极坐标是( ， 0)，其中 0是常数设点 Q 的直角坐标是( m， n)(1)用 x， y， 0表示 m， n；(2)若 m， n 满足 mn1，且 0 ，求点 P 的直角坐标( x， y)满足的方程 4解 (1)由题意知Error!且Error!所以Error!即Error!(2)由(1)可知Error!又 mn1，所以 1.(22x 22y)(22x 22y)整理得 1.x22 y22所以 1 即为所求方程x22 y225以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
10、，直线 l 的方程为 sin ， C 的极坐标方程为 4cos 2sin .( 23) 3(1)求直线 l 和 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，求弦 AB 的长解 (1)直线 l： sin ，( 23) 3 ，(sin cos 23 cos sin 23) 3 y x ，即 y x2 .(12) 32 3 3 3 C： 4cos 2sin ， 24 cos 2 sin ， x2 y24 x2 y，即 x2 y24 x2 y0.11(2) C： x2 y24 x2 y0，即( x2) 2( y1) 25.圆心 C(2,1)，半径 R ，5 C 的圆心 C 到
11、直线 l 的距离d ，|1 23 23|32 12 12| AB|2 2 .R2 d25 (12)2 19弦 AB 的长为 .196(2017贵阳质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 ，点 R .31 2sin2 (22， 4)(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标解 (1) x cos ， y sin ，曲线 C 的直角坐标方程为 y21，x23点
12、 R 的直角坐标为 R(2,2)(2)设 P( cos ，sin )，3根据题意可得| PQ|2 cos ，| QR|2sin ，3| PQ| QR|42sin ，( 3)当 时，| PQ| QR|取最小值 2， 6矩形 PQRS 周长的最小值为 4，此时点 P 的直角坐标为 .(32， 12)7在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1： 24 cos 30， 0,2，曲线 C2： ， 0,234sin( 6 )(1)求曲线 C1的一个参数方程；(2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A， B 两点，求| AB|的值解 (1)由 24 cos
13、30，可得 x2 y24 x30.12( x2) 2 y21.令 x2cos ， ysin ， C1的一个参数方程为Error!( 为参数， R)(2)C2：4 3，(sin 6cos cos 6sin )4 3，即 2x2 y30.(12x 32y) 3直线 2x2 y30 与圆( x2) 2 y21 相交于 A， B 两点，且圆心到直线的距离3d ，14| AB|2 2 .1 (14)2 154 1528已知曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 的极坐标方程为 (sin
14、cos )1，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长解 (1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C 的普通方程为( x2) 2( y1) 25.将Error! 代入并化简得 4cos 2sin ，即曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin .(2) l 的直角坐标方程为 x y10，圆心 C(2,1)到直线 l 的距离 d ，22 2弦长为 2 2 .5 2 39(2017哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 与曲线 C2交于点 D
15、 . 3 (2， 3)(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点 A( 1， 0)， B ，若 A， B 都在曲线 C1上，求 ( 2， 0 2) 1 21的值1 2解 (1) C1的参数方程为Error!13 C1的普通方程为 y21.x24由题意知曲线 C2的极坐标方程为 2 acos (a 为半径)，将 D 代入，得 22 a ， a2，(2， 3) 12圆 C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2， C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24.(2)曲线 C1的极坐标方程为 2sin2 1， 2cos24即 2 .44sin2 cos2 ，21
16、44sin2 0 cos2 0 .244sin2( 0 2) cos2( 0 2) 4sin2 0 4cos2 0 .1 21 1 2 4sin2 0 cos2 04 4cos2 0 sin2 04 5410在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 1， M， N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点( 3)(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解 (1)由 cos 1，( 3)得 1.(12cos 32sin )从而 C 的直角坐标方程为 x y1，即 x y20.12 32 3当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 时， ， 2 233所以 N .(233， 2)(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 ，(0，233)所以 P 点的直角坐标为 ，(1，33)14则 P 点的极坐标为 ，(233， 6)所以直线 OP 的极坐标方程为 ( R) 6
