1、18.8 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离最新考纲 考情考向分析1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1两条异面直线所成角的求法设 a， b 分别是两异面直线 l1， l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 a 与 b 的夹角 范围 (0， 2 0，求法 cos |ab|a|b| cos ab|a|b|22.
2、直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ， a 与 n的夹角为 ，则 sin |cos | .|an|a|n|3求二面角的大小(1)如图， AB， CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ， AB CD (2)如图， n1， n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足|cos |cos n1， n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)知识拓展利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点 A(x1， y1， z1)，点 B(x2， y2， z2
3、)，则| AB| | .AB x1 x22 y1 y22 z1 z22(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段， n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为| | .BO |AB n|n|题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( )(4)两异面直线夹角的范围是 ，直线与平面所成角的范围是 ，二面角的范围(0， 2 0， 2是0，( )3(5)若二面角 a 的两个半平面
4、， 的法向量 n1， n2所成角为 ，则二面角 a 的大小是 .( )题组二 教材改编2已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)， n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A45 B135C45或 135 D90答案 A解析 cos m， n ，即 m， n45.mn|m|n| 112 22两平面所成二面角为 45.3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱) ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为2 ，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为_2答案 6解析 以 A 为原点，以 ， (AE AB)， 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴(如图)建立AB AE AA1 空
5、间直角坐标系，设 D 为 A1B1的中点，则 A(0,0,0)， C1(1， ，2 )， D(1,0,2 )， (1， ，2 )，3 2 2 AC1 3 2(1,0,2 )AD 2 C1AD 为 AC1与平面 ABB1A1所成的角，cos C1ADAC1 AD |AC1 |AD | ，1， 3， 221， 0， 22129 324又 C1AD ， C1AD .0， 2 6题组三 易错自纠4在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 3010 2
6、2答案 C解析 以点 C 为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设直三棱柱的棱长为 2，则可得 A(2,0,0)， B(0,2,0)， M(1,1,2)， N(1,0,2)， (1，1,2)， (1,0,2)BM AN cos ， BM AN BM AN |BM |AN | . 1 412 12 22 12 02 22 365 30105已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cos m， n ，12则 l 与 所成的角为_答案 30解析 设 l 与 所成角为 ，cos m， n ，12sin |
7、cos m， n| ，0 90， 30.126(2018马鞍山月考)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 AB PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的角为_答案 45解析 如图，以点 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB PA1，5则 A(0,0,0)， D(0,1,0)， P(0,0,1)，由题意，知 AD平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE PD，又 CD平面 PAD， CD AE，从而 AE平面 PCD. (0,1,0)， 分别是平面 PAB，平面 PCD
8、的法向量，且 ， 45.AD AE (0， 12， 12) AD AE 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的角为 45.题型一 求异面直线所成的角典例 如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC120， E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD， DF平面 ABCD， BE2 DF， AE EC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值(1)证明 如图所示，连接 BD，设 BD AC G，连接 EG， FG， EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由 ABC120，可得 AG GC .3由 BE平面 ABCD， AB B
9、C2，可知 AE EC.又 AE EC，所以 EG ，且 EG AC.3在 Rt EBG 中，可得 BE ，故 DF .2226在 Rt FDG 中，可得 FG .62在直角梯形 BDFE 中，由 BD2， BE ， DF ，可得 EF ，从而 EG2 FG2 EF2，所222 322以 EG FG.又 AC FG G， AC， FG平面 AFC，所以 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.(2)解 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB， GC 所在直线为 x 轴， y 轴，| |为单位长度，GB 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 由 (1)可 得 A
10、(0， ， 0)， E(1,0， )， F ， C(0， ， 0)，3 2 ( 1， 0，22) 3所以 (1， ， )， .AE 3 2 CF ( 1， 3， 22)故 cos ， .AE CF AE CF |AE |CF | 33所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 .33思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值跟踪训练 (2017广东五校诊断)如图所示，菱形 ABCD
11、中， ABC60， AC 与 BD 相交于点 O， AE平面 ABCD， CF AE， AB AE2.7(1)求证： BD平面 ACFE；(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45时，求异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值的大小(1)证明 四边形 ABCD 是菱形， BD AC. AE平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD AE.又 AC AE A， AC， AE平面 ACFE， BD平面 ACFE.(2)解 以 O 为原点， OA， OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴，过 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则 B(0， ，0)，
12、 D(0， ，0)， E(1,0,2)，3 3F(1,0， a)(a0)， (1,0， a)OF 设平面 EBD 的法向量为 n( x， y， z)，则有Error! 即Error!令 z1，则 n(2,0,1)，由题意得 sin 45|cos ， n|OF |OF n|OF |n| ，|2 a|a2 15 228解得 a3 或 a (舍去)13 (1,0,3)， (1， ，2)，OF BE 3cos ， ，OF BE 1 6108 54故异面直线 OF 与 BE 所成角的余弦值为 .54题型二 求直线与平面所成的角典例 (2016全国)如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面ABCD， A
13、D BC， AB AD AC3， PA BC4， M 为线段 AD 上一点， AM2 MD， N 为 PC 的中点(1)证明： MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值(1)证明 由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 的中点知 TN BC， TN BC2.12又 AD BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT.因为 AT平面 PAB， MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB AC 得 AE BC，从而 AE AD， AE .AB
14、2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A 为坐标原点， AE， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系9由题意知， P(0,0,4)， M(0,2,0)， C( ，2,0)， N ， (0,2，4)， 5 (52， 1， 2) PM PN ， .(52， 1， 2) AN (52， 1， 2)设 n( x， y， z)为平面 PMN 的法向量，则Error!即 Error!可取 n(0,2,1)于是|cos n， | .AN |nAN |n|AN | 8525设 AN 与平面 PMN 所成的角为 ，则 sin ，8525即直线 AN 与平面 PM
15、N 所成角的正弦值为 .8525思维升华 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角10跟踪训练 如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AD BC， BAD90，AC BD， BC1， AD AA13.(1)证明： AC B1D；(2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值(1)证明 易知 AB， AD， AA1两两垂直，如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴
16、， z 轴，建立空间直角坐标系设 AB t，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)， C1(t,1,3)， D(0,3,0)， D1(0,3,3)从而 ( t,3，3)， ( t,1,0)， ( t,3,0)，B1D AC BD 因为 AC BD，所以 t2300，AC BD 解得 t 或 t (舍去)3 3于是 ( ，3，3)， A ( ，1,0)，B1D 3 C 3因为 3300，AC B1D 所以 ，AC B1D 即 AC B1D.(2)解 由(1)知， (0,3,3)， A ( ，1,0)，AD1 C 3(0,1,0)，B1C1
17、 设 n( x， y， z)是平面 ACD1的一个法向量，则Error! 即Error!令 x1，则 n(1， ， )3 3设直线 B1C1与平面 ACD1所成的角为 ，11则 sin |cos n， | ，B1C1 |nB1C1 |n|B1C1 | 37 217即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 .217题型三 求二面角典例 (2017全国)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB BC AD， BAD ABC90， E 是 PD 的中点12(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 AB
18、CD 所成角为 45，求平面 MAB 与平面 ABD 夹角的余弦值(1)证明 取 PA 的中点 F，连接 EF， BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD， EF AD.12由 BAD ABC90，得 BC AD，又 BC AD，12所以 EF 綊 BC，四边形 BCEF 是平行四边形， CE BF，又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)解 由已知得 BA AD，以 A 为坐标原点， AB， AD 所在直线分别为 x 轴， y 轴，| |为AB 单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， C(1,1,0)， P(0
19、,1， )， (1,0， )， (1,0,0)3 PC 3 AB 设 M(x， y， z)(0x1)，则( x1， y， z)， ( x， y1， z )BM PM 3因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，12而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量，所以|cos ， n|sin 45， ，BM |z|x 12 y2 z2 22即( x1) 2 y2 z20.又 M 在棱 PC 上，设 ，则PM PC x ， y1， z .3 3由解得Error!(舍去)或Error!所以 M ，从而 .(122， 1， 62) AM (1 22， 1， 62)设 m( x0， y0， z0)
20、是平面 ABM 的法向量，则Error!即 Error!所以可取 m(0， ，2)于是|cos m， n| .6|mn|m|n| 105由图可知平面 MAB 与平面 ABD 的夹角是锐角，所以平面 MAB 与平面 ABD 夹角的余弦值为 .105思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小跟踪训练 (2017天津)如图
21、，在三棱锥 P-ABC 中， PA底面 ABC， BAC90.点D， E， N 分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC4， AB2.(1)求证： MN平面 BDE；(2)求平面 CEM 与平面 EMN 夹角的正弦值；(3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长721(1)证明 如图，以 A 为原点，分别以 AB， AC， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系由题意，可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,4,0)， P(0,0,4)， D(0,0,2)，E
22、(0,2,2)，13M(0,0,1)， N(1,2,0)(0,2,0)， (2,0，2)DE DB 设 n( x， y， z)为平面 BDE 的一个法向量，则Error! 即Error!不妨设 z1，可得 n(1,0,1)又 (1,2，1)，可得 n0.MN MN 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE.(2)解 易知 n1(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量设 n2( x1， y1， z1)为平面 EMN 的一个法向量，则Error!因为 (0，2，1)， (1,2，1)，EM MN 所以Error!不妨设 y11，可得 n2(4,1，2)因此|cos n1， n2| ，|n1
23、n2|n1|n2| 421于是 sin n1， n2 .10521所以平面 CEM 与平面 EMN 夹角的正弦值为 .10521(3)解 由题意，设 AH h(0 h4)，则 H(0,0， h)，进而可得 (1，2， h)，NH (2,2,2)BE 由已知，得|cos ， |NH BE |NH BE |NH |BE | ，|2h 2|h2 523 72114整理得 10h221 h80，解得 h 或 h .85 12所以线段 AH 的长为 或 .85 12题型四 求空间距离(供选用)典例 (2018株洲模拟)如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面BCD， AB
24、平面 BCD， AB2 ，求点 A 到平面 MBC 的距离3解 如图，取 CD 的中点 O，连接 OB， OM，因为 BCD 与 MCD 均为正三角形，所以OB CD， OM CD，又平面 MCD平面 BCD，平面 MCD平面 BCD CD， OM平面 MCD，所以 MO平面 BCD.以 O 为坐标原点，直线 OC， BO， OM 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系因为 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，所以 OB OM ，3则 O(0,0,0)， C(1,0,0)， M(0,0， )， B(0， ，0)，3 3A(0， ，2 )，3 3所以 (1， ，0)，
25、 (0， ， )BC 3 BM 3 3设平面 MBC 的法向量为 n( x， y， z)，由Error! 得Error!即Error!15取 x ，可得平面 MBC 的一个法向量为 n( ，1,1)3 3又 (0,0,2 )，BA 3所以所求距离为 d .|BA n|n| 2155思维升华 求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)等体积法(3)向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便跟踪训练 (2018武昌质检)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱PA PD ， PA PD，底面 ABCD 为直角梯
26、形，其中 BC AD， AB AD， AB BC1， O 为 AD2的中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得平面 QAC 与平面 ACD 夹角的余弦值为 ？若存在，求63出 的值；若不存在，请说明理由PQQD解 (1)在 PAD 中， PA PD， O 为 AD 的中点， PO AD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PO平面 PAD， PO平面 ABCD.在 PAD 中， PA PD， PA PD ， AD2.2在直角梯形 ABCD 中， O 为 AD 的中点，
27、 OA BC1， OC AD.以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， OD 所在直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，16则 P(0,0,1)， A(0，1,0)， B(1，1,0)， C(1,0,0)， D(0,1,0)， (1，1，1)PB OA OP， OA OC， OP OC O， OA平面 POC. (0，1,0)为平面 POC 的法向量，OA cos ， ，PB OA PB OA |PB |OA | 33 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 .63(2) (1，1，1)，PB 设平面 PCD 的法向量为 u( x， y， z)，则Er
28、ror!取 z1，得 u(1,1,1)则 B 点到平面 PCD 的距离 d .|PB u|u| 33(3)假设存在，且设 (0 1)PQ PD (0,1，1)， (0， ， )，PD OQ OP PQ (0， ，1 )， Q(0， ，1 )OQ 设平面 CAQ 的法向量为 m( x1， y1， z1)，则Error!取 z11 ，得 m(1 ， 1， 1)平面 CAD 的一个法向量为 n(0,0,1)，平面 QAC 与平面 ACD 夹角的余弦值为 ，63|cos m， n|mn|m|n|17 ，| 1|1 2 12 121 63整理化简，得 3 210 30.解得 或 3(舍去)，13线段 P
29、D 上存在满足题意的点 Q，且 .PQQD 12利用空间向量求解空间角典例 (12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面ABCD， AD AB， AB DC， AD DC AP2， AB1，点 E 为棱 PC 的中点(1)证明： BE DC；(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；(3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF AC，求平面 FAB 与平面 ABP 夹角的余弦值规范解答(1)证明 由题意，以点 A 为原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图，可得 B(1,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0
30、)， P(0,0,2)1 分由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1)(0,1,1)， (2,0,0)，BE DC 故 0，所以 BE DC.3 分BE DC (2)解 (1,2,0)， (1,0，2)BD PB 设 n( x， y， z)为平面 PBD 的一个法向量，18则Error! 即Error!不妨令 y1，5 分可得 n(2,1,1)于是有 cos n， ，BE nBE |n|BE | 262 33所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .7 分33(3)解 (1,2,0)， (2，2,2)，BC CP (2,2,0)， (1,0,0)AC AB 由点 F 在棱 PC
31、 上，设 (0 1)，CF CP 故 (12 ，22 ，2 )BF BC CF BC CP 由 BF AC，得 0，BF AC 因此，2(12 )2(22 )0，解得 ，34即 .9 分BF ( 12， 12， 32)设 n1( x1， y1， z1)为平面 FAB 的一个法向量，则Error! 即Error!不妨令 z11，可得 n1(0，3,1)取平面 ABP 的法向量 n2(0,1,0)，则|cos n1， n2| ，|n1n2|n1|n2| | 3|101 31010所以其余弦值为 .12 分31010利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求
32、向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范191(2018抚顺调研)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中， AC 与 B1D 所成角的大小为( )A. B. C. D. 6 4 3 2答案 D解析 以 A 点为坐标原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为 1，则 A(0,0,0)， C(1,1,0)， B1(1,0,1)， D(0,1,0) (1,1,0)， (1,1，1)，AC B1D 1(1)
33、110(1)0，AC B1D ， AC 与 B1D 所成的角为 .AC B1D 22.如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 3，底面边长 A1C1 B1C11，且 A1C1B190， D 点在棱 AA1上且 AD2 DA1， P 点在棱 C1C 上，则 的最小值为( )PD PB1 A. B C. D52 14 14 52答案 B解析 以 C 点为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，20则 D(1,0,2)， B1(0,1,3)，设 P(0,0， z)，其中 0 z3，则 (1,0,2 z)， (0,1,3 z
34、)，PD PB1 00(2 z)(3 z) 2 ，PD PB1 (z 52) 14故当 z 时， 取得最小值 .52 PD PB1 143在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 夹角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 33 22答案 B解析 以 A 为原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)， E ， D(0,1,0)，(1， 0，12) (0,1，1)， .A1D A1E (1， 0， 12)设平面 A1ED 的一个法
35、向量为 n1(1， y， z)，则有Error! 即Error!Error! n1(1,2,2)平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，|cos n1， n2| ，231 23即平面 A1ED 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 .234.(2017西安调研)已知六面体 ABCA1B1C1是各棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点，则直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为( )21A45 B60C90 D30答案 A解析 如图所示，取 AC 的中点 N，连接 NB，以 N 为坐标原点， NB， NC 所在直线分别为 x轴， y 轴，建立空间直角坐标系则 A ， C
36、，(0， a2， 0) (0， a2， 0)B1 ， D ，(3a2， 0， a) (0， a2， a2)C1 ，(0，a2， a) ， ， (0,0， a)AB1 (3a2， a2， a) AD (0， a， a2) CC1 设平面 AB1D 的法向量为 n( x， y， z)，由 n 0， n 0，可取 n( ，1，2)AB1 AD 3cos ， n ，CC1 CC1 n|CC1 |n| 2aa22 22直线与平面所成角的范围是0，90，直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45.5(2018大同模拟)设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则点 D1到平面 A1BD 的距离是
37、( )A. B. C. D.32 22 223 233答案 D解析 如图，以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立坐标系，22则 D(0,0,0)， D1(0,0,2)， A1(2,0,2)， B(2,2,0)，(2,0,0)， (2,2,0)， (2,0,2)，D1A1 DB DA1 设平面 A1BD 的一个法向量 n( x， y， z)，则Error!Error! 令 z1，得 n(1,1,1) D1到平面 A1BD 的距离 d .|D1A1 n|n| 23 2336二面角的棱上有 A， B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的
38、两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC6， BD8， CD2 ，则该二面角的大小为( )17A150 B45C60 D120答案 C解析 如图所示，二面角的大小就是 ， AC BD ，CD CA AB BD 2 2 2 22( ) 2 2 22 ，CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD CA AB BD CA BD (2 )26 24 28 224.CA BD 12 17因此 24，cos ， ，AC BD AC BD AC BD |AC |BD | 12又 ， B 0，90，AC D ， 60，故二面角为 60.AC BD 237.如图所示，在三棱柱 ABC
39、A1B1C1中， AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点E， F 分别是棱 AB， BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是_答案 60解析 以 B 点为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴， BB1所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系设 AB BC AA12，则 C1(2,0,2)， E(0,1,0)， F(0,0,1)，则 (0，1,1)， (2,0,2)，EF BC1 2，EF BC1 cos ， ，EF BC1 2222 12异面直线所成角的范围是(0,90， EF 和 BC1所成的角为 60.8在正四棱柱 ABCD A1B1C
40、1D1中， AA12 AB，则直线 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值为_答案 23解析 以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12 AB2，则 D(0,0,0)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)，则 (0,1,0)， (1,1,0)，DC DB 24(0,1,2)DC1 设平面 BDC1的一个法向量为 n( x， y， z)，则 n ， n ，DB DC1 所以有Error! 令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 s
41、in |cos n， | .DC |nDC |n|DC | 239已知点 E， F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BB1， CC1上，且 B1E2 EB， CF2 FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 夹角的正切值为_答案 23解析 方法一 延长 FE， CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示设正方体的棱长为 3，则 GB BC3，作 BH AG 于点 H，连接 EH，则 EHB 即为所求两平面的夹角 BH ， EB1，322tan EHB .EBBH 23方法二 如图，以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐
42、标系，设 DA1，由已知条件得25A(1,0,0)， E ，(1， 1，13)F ， ，(0， 1，23) AE (0， 1， 13) ，AF ( 1， 1， 23)设平面 AEF 的法向量为 n( x， y， z)，平面 AEF 与平面 ABC 的夹角为 ，由Error! 得Error!令 y1， z3， x1，则 n(1,1，3)，取平面 ABC 的法向量为 m(0,0，1)，则 cos |cos n， m| ，tan .31111 2310(2017河北石家庄二模)设二面角 CD 的大小为 45， A 点在平面 内， B点在 CD 上，且 ABC45，则 AB 与平面 所成角的大小为_答
43、案 30解析 如图，作 AE平面 于点 E，在平面 内过 E 作 EF CD 于点 F，连接 AF，因为 AE CD， AE EF E，所以 CD平面 AEF，所以 AF CD，所以 AFE 为二面角 CD 的平面角，所以 AFE45，因为 ABC45，所以 BAF45.连接 BE，则 ABE 为 AB 与平面 所成的角设 AE m，则 EF m， AF m， BF m， AB2 m，2 2所以 sin ABE ，AEAB 12又因为 ABE 为锐角，所以 ABE30.11(2017洛阳二模)已知三棱锥 ABCD， AD平面26BCD， BD CD， AD BD2， CD2 ， E， F 分别是 AC， BC 的中点， P 为线段 BC 上一点，且3CP2 PB.(1)求证： AP DE；(2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值(1)证明 作 PG BD 交 CD 于 G，连接 AG. 2， GD CD .CGGD CPPB 13 233 AD平面 BCD， AD DC，在 Rt ADG 中，tan GAD ，33 DAG30，在 Rt ADC 中， AC2 AD2 CD241216， AC4，又 E 为 AC 的中点， DE AE2，又 AD2， ADE60， AG DE. AD平面 BCD，
