1、1高考专题突破一 高考中的导数应用问题【考点自测】1若函数 f(x)2sin x(x0，)的图像在点 P处的切线平行于函数 g(x)2的图像在点 Q处的切线，则直线 PQ的斜率为( )x(x3 1)A. B283C. D.73 33答案 A解析 f( x)2cos x2,2，g( x) 2(当且仅当 x1 时取等号)x1x当两函数的切线平行时， xp0， xQ1.即 P(0,0)， Q ，直线 PQ的斜率为 .(1，83) 832(2017全国)若 x2 是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )A1 B2e 3 C5e 3 D1答案 A解析 函数 f(
2、x)( x2 ax1)e x1 ，则 f( x)(2 x a)ex1 ( x2 ax1)e x1e x1 x2( a2) x a12由 x2 是函数 f(x)的极值点，得f(2)e 3 (42 a4 a1)( a1)e 3 0，所以 a1.所以 f(x)( x2 x1)e x1 ， f( x)e x1 (x2 x2)由 ex1 0 恒成立，得当 x2 或 x1 时， f( x)0，且当 x2 时， f( x)0；当2 x1 时， f( x)0；当 x1 时， f( x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A.3(2018西宁质检)若 f(x
3、) x2 bln(x2)在(1，)上是减少的，则 b的取值12范围是( )A1，) B(1，)C(，1 D(，1)答案 C解析 由题意可知 f( x) x 0 在(1，)上恒成立，即 b x(x2)在bx 2(1， )上 恒 成 立 由 于 g(x) x(x 2)在 ( 1， )上 是 增 加 的 且 g( 1) 1， 所 以 b 1.故选 C.4若直线 y kx b是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln( x1)的切线，则 b .答案 1ln 2解析 yln x2 的切线方程为 y xln x11(设切点横坐标为 x1)1x1yln( x1)的切线方程为 y xln( x21) (设
4、切点横坐标为 x2)，1x2 1 x2x2 1Error!解得 x1 ， x2 ， bln x111ln 2.12 125(2017江苏)已知函数 f(x) x32 xe x ，其中 e是自然对数的底数，若 f(a1)1ex f(2a2)0，则实数 a的取值范围是 答案 1，12解析 因为 f( x)( x)32( x)e x1e x3 x32 xe x f(x)，1ex所以 f(x) x32 xe x 是奇函数1ex因为 f(a1) f(2a2)0，所以 f(2a2) f(a1)，即 f(2a2) f(1 a)因为 f( x)3 x22e xe x3 x222 exe x3 x20，当且仅当
5、 x0 时“”成立，所以 f(x)在 R上是增加的，所以 2a21 a，即 2a2 a10，所以1 a .12题型一 利用导数研究函数性质例 1 (2018沈阳质检)设 f(x) xln x ax2(2 a1) x， aR.(1)令 g(x) f( x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a的取值范围解 (1)由 f( x)ln x2 ax2 a，可得 g(x)ln x2 ax2 a， x(0，)，所以 g( x) 2 a .1x 1 2axx当 a0， x(0，)时， g( x)0，函数 g(x)是增加的；当 a0， x 时， g( x)0，函数 g
6、(x)是增加的， x 时， g( x)0，(0，12a) (12a， )函数 g(x)是减少的所以当 a0 时，函数 g(x)的递增区间为(0，)；当 a0 时，函数 g(x)的递增区间为 ，(0，12a)递减区间为 .(12a， )(2)由(1)知， f(1)0.当 a0 时， f( x)是增加的，所以当 x(0,1)时， f( x)0， f(x)是减少的，当 x(1，)时， f( x)0， f(x)是增加的，4所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意；当 0 a ，即 1 时，由(1)知 f( x)在 是增加的12 12a (0， 12a)可得当 x(0,1)时， f( x)0，当
7、 x 时， f( x)0.(1，12a)所以 f(x)在(0,1)上是减少的，在 上是增加的(1，12a)所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意；当 a ，即 1 时， f( x)在(0,1)上是增加的，12 12a在(1，)上是减少的，所以当 x(0，)时， f( x)0， f(x)是减少的，不符合题意；当 a ，即 0 1 时，12 12a当 x 时， f( x)0， f(x)是增加的，(12a， 1)当 x(1，)时， f( x)0， f(x)是减少的所以 f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意综上可知，实数 a的取值范围为Error!.思维升华 利用导数主要研究函数的单调性
8、、极值、最值已知 f(x)的单调性，可转化为不等式 f( x)0 或 f( x)0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析跟踪训练 1 已知 aR，函数 f(x)( x2 ax)ex (xR，e 为自然对数的底数)(1)当 a2 时，求函数 f(x)的递增区间；(2)若函数 f(x)在(1,1)上是增加的，求 a的取值范围解 (1)当 a2 时， f(x)( x22 x)ex，所以 f( x)(2 x2)e x( x22 x)ex( x22)e x.令 f( x)0，即( x22)e x
9、0，因为 ex0，所以 x220，解得 0，所以 x2( a2) x a0 对 x(1,1)都成立，即 a x2 2xx 1 x 12 1x 1( x1) 对 x(1,1)都成立1x 1令 y( x1) ，则 y1 0.1x 1 1x 12所以 y( x1) 在(1,1)上是增加的，1x 1所以 y0)，由 f( x)0，得 xe.x ex2当 x(0，e)时， f( x)0， f(x)在(e，)上是增加的，当 xe 时， f(x)取得极小值 f(e)ln e 2，ee f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x) f( x) (x0)，x3 1x mx2 x3令 g(x)0，得 m x3
10、x(x0)13设 (x) x3 x(x0)，13则 ( x) x21( x1)( x1)，6当 x(0,1)时， ( x)0， (x)在(0,1)上是增加的；当 x(1，)时， ( x) 时，函数 g(x)无零点；23当 m 时，函数 g(x)有且只有一个零点；23当 0 时，函数 g(x)无零点；23当 m 或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；23当 00.x22(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， 上仅有一个零点e(1)解 函数的定义域为(0，)由 f(x) kln x(k0)，得 f( x) x .x22 kx x2 k
11、x由 f( x)0，解得 x (负值舍去)kf( x)与 f(x)在区间(0，)上随 x的变化情况如下表：x (0， )k k ( ，)kf( x) 0 7f(x) k1 ln k2 所以， f(x)的递减区间是(0， )，k递增区间是( ，)kf(x)在 x 处取得极小值 f( ) ，无极大值k kk1 ln k2(2)证明 由(1)知， f(x)在区间(0，)上的最小值为 f( ) .kk1 ln k2因为 f(x)存在零点，所以 0，从而 ke，k1 ln k2当 ke 时， f(x)在区间(1， 上是减少的且 f( )0，e e所以 x 是 f(x)在区间(1， 上的唯一零点；e e当
12、 ke时， f(x)在区间(1， 上是减少的且ef(1) 0， f( ) 0)， f(1) a b0，f(e) ae2 b(e1) a(e2e1)e 2e1， a1， b1.(2)证明 f(x) x2ln x x1，f(x)( x1) 2 x2ln x x x2，设 g(x) x2ln x x x2(x1)，则 g( x)2 xln x x1.由( g( x)2ln x10，得 g( x)在1，)上是增加的， g( x) g(1)0，8 g(x)在1，)上是增加的， g(x) g(1)0. f(x)( x1) 2.(3)解 设 h(x) x2ln x x m(x1) 21( x1)，则 h(
13、x)2 xln x x2 m(x1)1，由(2)知 x2ln x( x1) 2 x1 x(x1)， xln x x1， h( x)3( x1)2 m(x1)(32 m)(x1)当 32 m0，即 m 时， h( x)0，32 h(x)在1，)上是增加的， h(x) h(1)0 成立当 32 m 时，32h( x)2 xln x(12 m)(x1)，( h( x)2ln x32 m，令( h( x)0，得 x023e1，当 x1， x0)时， h( x)是减少的，则 h( x) h(1)0， h(x)在1， x0)上是减少的， h(x) h(1)0，即 h(x)0 不成立综上， m .32思维升
14、华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解跟踪训练 3 已知函数 f(x) x32 x2 x a， g(x)2 x ，若对任意的 x11,2，9x存在 x22,4，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a的取值范围是 答案 74， 32解析 问题等价于 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集，显然， g(x)是减少的， g(x)max g(2) ，12g(x)min g(4) ；234对于 f(x)， f( x)3 x24 x1，9令 f( x)0，解得 x 或
15、x1，13当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况列表如下：x 1(1，)1313 (13， 1)1 (1,2) 2f( x) 0 0 f(x) a4 a427 a a2 f(x)max a2， f(x)min a4，Error! a .74， 321(2017浙江)已知函数 f(x)( x )e x .2x 1 (x12)(1)求 f(x)的导函数；(2)求 f(x)在区间 上的取值范围12， )解 (1)因为( x )1 ，2x 112x 1(e x)e x，所以 f( x) e x( x )e x(1 12x 1) 2x 1 .1 x2x 1 2e x2x 1 (x 12)(2)
16、由 f( x) 0，1 x2x 1 2e x2x 1解得 x1 或 x .52当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 12 (12， 1) 1 (1， 52) 52 (52， )f( x) 0 0 10f(x) 13e12 0 52e12又 f(x) ( 1) 2e x0，12 2x 1所以 f(x)在区间 上的取值范围是12， )120,e.2 已 知 函 数 f(x) x3 3x2 ax 2， 曲 线 y f(x)在 点 (0,2)处 的 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 为 2.(1)求 a的值；(2)证明：当 k0.当 x0 时， g( x)3 x26 x1
17、 k0， g(x)是增加的，g(1) k10时，令 h(x) x33 x24，则 g(x) h(x)(1 k)xh(x)h( x)3 x26 x3 x(x2)， h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以 g(x)h(x) h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上， g(x)0 在 R上有唯一实根，即曲线 y f(x)与直线 y kx2 只有一个交点3(2018长春质检)已知函数 f(x) x22e x m1， g(x) x (x0)e2x(1)若 g(x) m有零点，求 m的取值范围；(2)确定 m的取值范围，使得 g(x) f(x)0 有两个相异实根解 (1)
18、 g(x) x 2 2e( x0)，当且仅当 x 时取等号，当 xe 时， g(x)e2x e2 e2x11有最小值 2e.要使 g(x) m有零点，只需 m2e.即当 m2e，)时， g(x) m有零点(2)若 g(x) f(x)0 有两个相异实根，则函数 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点如图，作出函数 g(x) x (x0)的大致图像e2x f(x) x22e x m1( xe) 2 m1e 2，其对称轴为 xe，f(x)max m1e 2.若函数 f(x)与 g(x)的图像有两个交点，则 m1e 22e，即当 me 22e1 时， g(x) f(x)0 有两个相异实根 m的取值
19、范围是(e 22e1，)4(2017广西质检)已知函数 f(x) aln x(a0， aR)1x(1)若 a1，求函数 f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e上至少存在一点 x0，使得 f(x0)0，得 x1，所以当 x1 时， f(x)有极小值 1，无极大值；f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1)(2)f( x) ，且 a0， x0.1x2 ax ax 1x2令 f( x)0，得 x ，若在区间(0，e上存在一点 x0，使得 f(x0)0，即 a0时，1a若 e ，则 f( x)0 对 x(0，e恒成立，1a所以 f(x)在区间(0，e上是减少的，则 f(x)在区间(0
20、，e上的最小值为f(e) aln e a0，1e 1e显然 f(x)在区间(0，e上的最小值小于 0不成立；若 0 时，则当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：1a 1ex (0， 1a) 1a (1a， e)f( x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)在区间(0，e上的最小值为 f a aln ，(1a) 1a由 f a aln a(1ln a)e，即 a(e，)综上可知， a (e，)( ， 1e)5(2018 届珠海二中月考)已知函数 f(x) x aln x， aR.(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)设 g(x) ，若不等式 f(x)g(x)
21、对任意 x1，e恒成立，求 a的取值范围a 1x解 (1) f( x)1 (x0)，ax x ax当 a0 时， f( x)0在(0，)上恒成立，函数 f(x)在(0，)上是增加的，所以 f(x)在(0，)上没有极值点当 a0时，由 f( x)0，得 xa，13所以 f(x)在(0， a)上是减少的，在( a，)上是增加的，即 f(x)在 x a处有极小值，无极大值所以当 a0 时， f(x)在(0，)上没有极值点，当 a0时， f(x)在(0，)上有一个极值点(2)设 h(x) f(x) g(x) x aln x(x0)，1 ax则 h( x)1 1 ax2 ax x2 ax 1 ax2 ，
22、x 1x 1 ax2不等式 f(x)g(x)对任意 x1，e恒成立，即函数 h(x) x aln x在1，e上的最小值大于零1 ax当 1 ae，即 ae1 时， h(x)在1，e上是减少的，所以 h(x)的最小值为 h(e)，由 h(e)e a0，可得 ae1，所以 e1 a0，可得 a2，即22，即 00时，求函数 F(x)的单调区间；(2)当 ae 时，直线 x m， x n(m0， n0)与函数 f(x)， g(x)的图像一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形求证：( m1)( n1)0时， F( x)0，故 F(x)的递增区间为(，0)，(0，)，无递减区间(2)证明 因为直线 x m与 x n平行，故该四边形为平行四边形等价于 f(m) g(m) f(n) g(n)且 m0， n0.当 ae 时， F(x) f(x) g(x)e x (x0)，ex则 F( x)e x ，令 g(x) F( x)e x ，ex2 ex2则 g( x)e x 0，2ex3故 F( x)e x 在(0，)上是增加的ex2而 F(1)e 0，e12故当 x(0,1)时， F( x)0， F(x)是增加的而 F(m) F(n)，故 0m1n或 0n1m，所以( m1)( n1)0.
