1、1坐标系与参数方程第一节 坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error! 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设 M是平面内一点，极点 O与点 M的距离| OM|叫做点 M的极径，记为 .极角：以极轴 Ox为始边，射线 OM为终边的角
2、xOM叫做点 M的极角，记为 .极坐标：有序数对( ， )叫做点 M的极坐标，记为 M( ， )一般不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M是平面内任意一点，它的直角坐标是( x， y)，极坐标是( ， )，则它们之间的关系为：Error!Error!4简单曲线的极坐标方程曲线 极坐标方程圆心为极点，半径为 r的圆 r(0 0时，可取 ；当2x0， y0)在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲
3、线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解：(1)消去参数 t得到 C1的普通方程为 x2( y1) 2 a2，则 C1是以(0,1)为圆心， a为半径的圆将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22 sin 1 a20.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a20，由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0，从而 1 a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上所以 a1.5(2018洛阳模拟)在直
4、角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 x2( y2) 24.以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C的极坐标方程；(2)直线 l的极坐标方程是 2 sin 5 ，射 线 OM： 与圆 C的交点为( 6) 3 6O， P，与直线 l的交点为 Q，求线段 PQ的长解：(1)将 x cos ， y sin 代入 x2( y2) 24，9得圆 C的极坐标方程为 4sin .(2)设 P( 1， 1)，则由Error!解得 12， 1 .6设 Q( 2， 2)，则由Error!解得 25， 2 .6所以| PQ| 2 13.6在直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴正半轴为极轴建
5、立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 cos 1， M， N分别为 C与 x轴， y轴的交点( 3)(1)求 C的直角坐标方程，并求 M， N的极坐标；(2)设 MN的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程解：(1)由 cos 1 得 1.( 3) (12cos 32sin )从而 C的直角坐标方程为 x y1，即 x y2.12 32 3当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 时， ，所以 N .2 233 (233， 2)(2)由(1)知 M点的直角坐标为(2,0)， N点的直角坐标为 .(0，233)所以 P点的直角坐标为 ，则 P点的极坐标为 ，所以直线 OP的极坐标(1，33) (233，
6、 6)方程为 ( R)67(2018福建质检)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的普通方程为( x2) 2 y24，在以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ，曲线C3： ( 0)， A(2,0)6(1)把 C1的普通方程化为极坐标方程；(2)设 C3分别交 C1， C2于点 P， Q，求 APQ的面积解：(1)因为 C1的普通方程为( x2) 2 y24，即 x2 y24 x0，所以 C1的极坐标方程为 24 cos 0，即 4cos .(2)依题意，设点 P， Q的极坐标分别为 ， .( 1，6) ( 2， 6)10将 代入 4cos ，得 12 ，6
7、 3将 代入 2sin ，得 21，6所以| PQ| 1 2|2 1.3依题意，点 A(2,0)到曲线 ( 0)的距离6d| OA|sin 1，6所以 S APQ |PQ|d (2 1)1 .12 12 3 3 128(2018贵州适应性考试)在以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos ，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin .(1)求曲线 C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为 的射线 l与曲线 C1， C2分别相交于 A， B两点(6 4)(A， B异于原点)，求| OA|OB|的取值范围解：(1)由曲线 C2的极坐标方程为 cos
8、2 sin ，两边同乘以 ，得 2cos2 sin ，故曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y.(2)射线 l的极坐标方程为 ， ，6 4把射线 l的极坐标方程代入曲线 C1的极坐标方程得| OA| 4cos ，把射线 l的极坐标方程代入曲线 C2的极坐标方程得| OB| ，sin cos2| OA|OB|4cos 4tan .sin cos2 ，6 4| OA|OB|的取值范围是 .(433， 4第二节 参数方程111参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y都是某个变数 t的函数：Error! 并且对于 t的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点 M(x，
9、y)都在这条曲线上，那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数 t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点 M(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l的参数方程为Error!( t为参数)(2)圆心在点 M0(x0， y0)，半径为 r的圆的参数方程为Error!( 为参数)(3)椭圆 1( a b0)的参数方程为Error! ( 为参数)x2a2 y2b2(4)双曲线 1( a0， b0)的参数方程为Error! ( 为参数)x2a2 y2b21在平面直角坐标系中，若曲线 C的参数方程为Error! (t为参数
10、)，则其普通方程为_解析：依题意，消去参数可得 x2 y1，即 x y10.答案： x y102椭圆 C的参数方程为Error!( 为参数)，过左焦点 F1的直线 l与 C相交于 A， B两点，则| AB|min_.解析：由Error!( 为参数)得， 1，x225 y29当 AB x轴时，| AB|有最小值所以| AB|min2 .95 185答案：1853曲线 C的参数方程为Error!( 为参数)，则曲线 C的普通方程为_解析：由Error!( 为参数)消去参数 ，得 y22 x2(1 x1)12答案： y22 x2(1 x1)4在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程为Err
11、or!( t为参数)，椭圆 C的方程为 x2 1，设直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，则线段 AB的长为y24_解析：将直线 l的参数方程Error!代入 x2 1，y24得 2 1，(112t) (32t)24即 7t216 t0，解得 t10， t2 ，167所以| AB| t1 t2| .167答案：167考 点 一 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 考什么怎么考参数方程与普通方程的互化是每年高考的热点内容，常与极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基础题1将下列参数方程化为普通方程(1)Error!(t为参数)；(
12、2)Error!( 为参数)解：(1) 2 21，(1t) (1tt2 1) x2 y21. t210， t1 或 t1.又 x ， x0.1t当 t1 时，00)以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程18为 cos 2 .( 4) 2(1)设 P是曲线 C上的一个动点，当 a2 时，求点 P到直线 l的距离的最小值；(2)若曲线 C上的所有点均在直线 l的右下方，求 a的取值范围解：(1)由 cos 2 ，( 4) 2得 ( cos sin )2 ，22 2化成直角坐标方程，得 (x y)2 ，22 2即直线 l的方程为 x y40.依题意，设 P(2c
13、os t,2sin t)，则点 P到直线 l的距离d |2cos t 2sin t 4|2 |22cos(t 4) 4|22 2cos .2 (t4)当 cos 1 时， dmin2 2.(t4) 2故点 P到直线 l的距离的最小值为 2 2.2(2)曲线 C上的所有点均在直线 l的右下方，对 tR，有 acos t2sin t40 恒成立，即 cos(t )4 恒成立，a2 4 (其 中 tan 2a) 0，00，即 a0，2t1 t2 ， t1t2 .21 4a2根据参数方程的几何意义可知| PA|2| t1|，| PB|2| t2|，又| PA|2| PB|可得 2|t1|22| t2|
14、，即 t12 t2或 t12 t2.当 t12 t2时，有Error!解得 a ，符合题意136当 t12 t2时，有Error!解得 a ，符合题意94综上，实数 a 或 a .136 943(2018贵阳模拟)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为Error!( t为参数)，以坐标原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为20 2sin .(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)若 A， B分别为曲线 C1， C2上的动点，求当 AB取最小值时 AOB的面积解：(1)由Error!( t为参数)得 C1的普通方程为(x4) 2(
15、 y5) 29，由 2sin ，得 22 sin ，将 x2 y2 2， y sin 代入上式，得 C2的直角坐标方程为 x2( y1) 21.(2)如图，当 A， B， C1， C2四点共线，且 A， B在线段 C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得 C1(4,5)， C2(0,1)，则 kC1C2 1，5 14 0直线 C1C2的方程为 x y10，点 O到直线 C1C2的距离 d ，12 22又| AB| C1C2|13 4 4 0 2 5 1 24 4，2 S AOB d|AB| (4 4)2 .12 12 22 2 24(2018广州综合测试)在直角坐标系 xOy中，直线 l的
16、参数方程为Error!( t为参数)在以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 2 cos .2 ( 4)(1)求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)求曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值解：(1)由Error!( t为参数)消去 t得 x y40，所以直线 l的普通方程为 x y40.由 2 cos 2 2cos 2sin ，2 ( 4) 2(cos cos4 sin sin4)得 22 cos 2 sin .将 2 x2 y2， cos x， sin y代入上式，得 x2 y22 x2 y，即( x1) 2( y1) 22.所以曲线 C的直角坐标方程
17、为( x1) 2( y1) 22.(2)法一：设曲线 C上的点 P(1 cos ，1 sin )，2 2则点 P到直线 l的距离 d |1 2cos 1 2sin 4|221 .|2 sin cos 2|2 |2sin( 4) 2|2当 sin 1 时， dmax2 .( 4) 2所以曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值为 2 .2法二：设与直线 l平行的直线 l： x y b0，当直线 l与圆 C相切时， ，|1 1 b|2 2解得 b0 或 b4(舍去)，所以直线 l的方程为 x y0.因为直线 l与直线 l的距离 d 2 .|0 4|2 2所以曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值为
18、2 .25在直角坐标系 xOy中，曲线 C1：Error!( t为参数， t0)，其中 0 .在以 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ， C3： 2 cos .3(1)求 C2与 C3交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，求| AB|的最大值解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y22 y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2 y22 x0.3联立Error!解得Error! 或Error!所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 .(32， 32)(2)曲线 C1的极坐标方程为 ( R， 0)，其中 0 .因
19、此 A的极坐标为(2sin ， )， B的极坐标为(2 cos ， )3所以| AB|2sin 2 cos |4 .3 |sin( 3)|当 时，| AB|取得最大值，最大值为 4.566已知直线 L的参数方程为Error!( t为参数)，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 .21 3cos2 (1)求直线 L的极坐标方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)过曲线 C上任意一点 P作与直线 L夹角为 的直线 l，设直线 l与直线 L的交点为3A，求| PA|的最大值22解：(1)由Error!( t为参数)，得 L的普通方程为 2x y60，令 x cos
20、 ， y sin ，得直线 L的极坐标方程为 2 cos sin 60，由曲线 C的极坐标方程，知 23 2cos2 4，所以曲线 C的直角坐标方程为 x2 1.y24(2)由(1)，知直线 L的普通方程为 2x y60，设曲线 C上任意一点 P(cos ，2sin )，则点 P到直线 L的距离 d .|2cos 2sin 6|5由题意得| PA| ，dsin 3 415| 2sin( 4) 3|15所以当 sin 1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .( 4) 415 3 2157(2018石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线 C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 ，得
21、到曲线 C2.以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，12建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 2.(1)求曲线 C2的参数方程；(2)过坐标原点 O且关于 y轴对称的两条直线 l1与 l2分别交曲线 C2于 A， C和 B， D，且点 A在第一象限，当四边形 ABCD的周长最大时，求直线 l1的普通方程解：(1)由 2，得 24，所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2 y24.故由题意可得曲线 C2的直角坐标方程为 y21.x24所以曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)(2)设四边形 ABCD的周长为 l，点 A(2cos ，sin )，则 l8cos 4sin 4 sin
22、( )，5所以当 2 k (kZ)时， l取得最大值，最大值为 4 ，此时 2 k2 5 (kZ)，2所以 2cos 2sin ，sin cos ，45 15此时 A .(45， 15)23所以直线 l1的普通方程为 x4 y0.8(2018成都诊断)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l的参数方程为Error!( t为参数)在以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O的射线与曲线 C相交于不同于极点的点 A，且点 A的极坐标为(2 ， )，其中 .3 (2， )(1)求 的值；(2)若射线 OA与直线 l相交于点 B，求| AB|的值解：(1)由题意知，曲线 C的普通方程为 x2( y2) 24， x cos ， y sin ，曲线 C的极坐标方程为( cos )2( sin 2) 24，即 4sin .由 2 ，得 sin ，332 ， .(2， ) 23(2)易知直线 l的普通方程为 x y4 0，3 3直线 l的极坐标方程为 cos sin 4 0.3 3又射线 OA的极坐标方程为 ( 0)，23联立Error! 解得 4 .3点 B的极坐标为 ，(43，23)| AB| B A|4 2 2 .3 3 3
