1、19.3 圆的方程最新考纲 考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆圆心为( a， b)标准式 (x a)2( y b)2 r2(r0)半径为 r充要条件： D2 E24 F0圆心坐标： (D2， E2)方程一般式 x2 y2 Dx Ey F0半径 r12D2 E2 4F知识拓展1确定圆的方程的方法和步骤2确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，
2、选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于 a， b， r 或 D， E， F 的方程组(3)解出 a， b， r 或 D， E， F 代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种已知圆的标准方程( x a)2( y b)2 r2，点 M(x0， y0)(1)点在圆上：( x0 a)2( y0 b)2 r2；(2)点在圆外：( x0 a)2( y0 b)2r2；(3)点在圆内：( x0 a)2( y0 b)20.( )(4)方程 x22 ax y20 一定表示圆( )(5)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F0 外，则 x y Dx0 Ey0 F0.(
3、)20 20(6)方程( x a)2( y b)2 t2(tR)表示圆心为( a， b)，半径为 t 的圆( )题组二 教材改编2(2018南昌模拟)以点(3，1)为圆心，并且与直线 3x4 y0 相切的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 21 B( x3) 2( y1) 21C( x3) 2( y1) 21 D( x3) 2( y1) 21答案 A3圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为 答案 ( x2) 2 y210解析 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，| CA| CB|，即 ，a 12 1
4、a 12 93解得 a2，圆心为 C(2,0)，半径| CA| ，2 12 1 10圆 C 的方程为( x2) 2 y210.题组三 易错自纠4若方程 x2 y2 mx2 y30 表示圆，则 m 的取值范围是( )A(， )( ，)2 2B(，2 )(2 ，)2 2C(， )( ，)3 3D(，2 )(2 ，)3 3答案 B解析 将 x2 y2 mx2 y30 化为圆的标准方程得 2( y1) 2 2.(xm2) m24由其表示圆可得 20，解得 m2 .m24 2 25若点(1,1)在圆( x a)2( y a)24 的内部，则实数 a 的取值范围是( )A11 或 a0)，又圆与直线4x3
5、 y0 相切， 1，解得 a2 或 a (舍去)|4a 3|5 12圆的标准方程为( x2) 2( y1) 21.故选 A.4题型一 圆的方程典例 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x y10 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方程为 答案 ( x3) 2 y22解析 方法一 由已知 kAB0，所以 AB 的中垂线方程为 x3.过点 B 且垂直于直线 x y10 的直线方程为 y1( x2)，即 x y30，联立，解得Error!所以圆心坐标为(3,0)，半径 r ，4 32 1 02 2所以圆 C 的方程为( x3) 2 y22.方法二 设圆方程为( x a)2( y b)2 r2
6、(r0)，因为点 A(4,1)， B(2,1)都在圆上，故Error!又因为 1，解得 a3， b0， r ，b 1a 2 2故所求圆的方程为( x3) 2 y22.(2)已知圆 C 经过 P(2,4)， Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为 答案 x2 y22 x4 y80 或 x2 y26 x8 y0解析 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，将 P， Q 两点的坐标分别代入得Error!又令 y0，得 x2 Dx F0.设 x1， x2是方程的两根，由| x1 x2|6，即( x1 x2)24 x1x236，得 D24 F3
7、6，由解得 D2， E4， F8 或 D6， E8， F0.故所求圆的方程为x2 y22 x4 y80 或 x2 y26 x8 y0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法5若已知条件与圆心( a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a， b， r 的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值跟踪训练 (2017广东七校联考)一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3 y0 上，且在直线y x 上截得的弦长为 2 ，则该圆的方程为 7答案 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y1
8、0解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x3 y0 上，设所求圆的圆心为(3 a， a)，又所求圆与 y 轴相切，半径 r3| a|，又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 ，圆心(3 a， a)到直线 y x 的距离 d ，7|2a|2 d2( )2 r2，即 2a279 a2， a1.7故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29，即x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.方法二 设所求圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，则圆心( a， b)到直线 y x 的距离为 ，|a b|2 r2 7，即 2r2( a b)214.a
9、 b22由于所求圆与 y 轴相切， r2 a2，又所求圆的圆心在直线 x3 y0 上， a3 b0，联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29，即x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.方法三 设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则圆心坐标为 ，(D2， E2)半径 r .12D2 E2 4F在圆的方程中，令 x0，得 y2 Ey F0.由于所求圆与 y 轴相切， 0，则 E24 F.圆心 到直线 y x 的距离为(D2， E2)d ，| D2 E2|2由已知得 d2( )2 r2，76即
10、( D E)2562( D2 E24 F)又圆心 在直线 x3 y0 上，(D2， E2) D3 E0.联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.题型二 与圆有关的最值问题典例 已知点( x， y)在圆( x2) 2( y3) 21 上，求 x y 的最大值和最小值解 设 t x y，则 y x t， t 可视为直线 y x t 在 y 轴上的截距， x y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 1，|2 3 t|2
11、解得 t 1 或 t 1.2 2 x y 的最大值为 1，最小值为 1.2 2引申探究1在本例的条件下，求 的最大值和最小值yx解 可视为点( x， y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原yx yx点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为 y kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得 k2 或 k2 ， 的最大值为2 ，最小值为|2k 3|k2 1 233 233 yx 2332 .2332在本例的条件下，求 的最大值和最小值x2 y2 2x 4y 5解 ，求它的最值可视为求点( x， y)到定点x2 y2 2x 4
12、y 5 x 12 y 22(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为 ，34 的最大值为 1，最小值为 1.x2 y2 2x 4y 5 34 34思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点( x， y)有关代数式的最值的常见类型及解法7 形 如 u 型 的 最 值 问 题 ， 可 转 化 为 过 点 (a， b)和 点 (x， y)的 直 线 的 斜 率 的 最 值 问y bx a题 ； 形如 t ax
13、by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如( x a)2( y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点( a， b)的距离的平方的最值问题跟踪训练 已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y26 x6 y140 上(1)求 的最大值和最小值；yx(2)求 x y 的最大值与最小值解 (1)方程 x2 y26 x6 y140 可变形为( x3) 2( y3) 24.表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，yx如图所示设切线方程为 y kx，即 kx y0，由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，可得 2，|3k 3|k2 1解
14、得 k ，92145所以 的最大值为 ，最小值为 .yx 9 2145 9 2145(2)设 x y b，则 b 表示动直线 y x b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y x b 与圆( x3) 2( y3) 24 相切时， b 取得最大值或最小值，如图所示由圆心 C(3,3)到切线 x y b 的距离等于圆的半径 2，可得 2，即|3 3 b|12 12|b6|2 ，解得 b62 ，2 2所以 x y 的最大值为 62 ，最小值为 62 .2 2题型三 与圆有关的轨迹问题典例 (2017潍坊调研)已知圆 x2 y24 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的
15、动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程8解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以(2 x2) 2(2 y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt PBQ 中，| PN| BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2，所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2
16、 y2 x y10.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等跟踪训练 (2017河北衡水中学调研)已知 Rt ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程解 (1)方法一 设 C(x， y)，因为 A， B， C 三点不共线，所以 y0.因为 AC BC，所以 kACkBC1，又 kAC ， kBC ，
17、yx 1 yx 3所以 1，yx 1 yx 3化简得 x2 y22 x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 y22 x30( y0)方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD| |AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于12A， B， C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 C 的轨迹方程为( x1) 2 y24( y0)(2)设 M(x， y)， C(x0， y0)，因为 B(3,0)， M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x9， y ，所以 x02 x3， y02
18、 y.x0 32 y0 02由(1)知，点 C 的轨迹方程为( x1) 2 y24( y0)，将 x02 x3， y02 y 代入得(2 x4)2(2 y)24，即( x2) 2 y21.因此动点 M 的轨迹方程为( x2) 2 y21( y0)利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y x26 x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C的方程思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线 y x26 x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定
19、在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题规范解答解 一般解法 (代数法)曲线 y x26 x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32， 0)，(32 ，0)，设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，2 2则有Error!解得Error!故圆的方程是 x2 y26 x2 y10.巧妙解法 (几何法)曲线 y x26 x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 ，0)，(32 ，0)2 2故可设 C 的圆心为(3， t)，则有 32( t1) 2(2 )
20、2 t2，解得 t1.2则圆 C 的半径为 3，32 t 12所以圆 C 的方程为( x3) 2( y1) 29.1已知点 A(4，5)， B(6，1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程为( )A( x1) 2( y3) 22910B( x1) 2( y3) 229C( x1) 2( y3) 2116D( x1) 2( y3) 2116答案 B解析 由题意可知 A(4，5)， B(6，1)，则以线段 AB 为直径的圆的圆心为点，即(1，3)，( 4 62 ， 5 12 )半径为 ，6 42 1 522 29故以线段 AB 为直径的圆的方程是(x1) 2( y3) 229.故选 B.2圆心在 y
21、 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )A x2 y210 y0 B x2 y210 y0C x2 y210 x0 D x2 y210 x0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0， r)，半径为 r，则 32( r1) 2 r2，解得 r5，可得圆的方程为 x2 y210 y0.3(2017豫北名校联考)圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 24 B( x )2( y )243 2 2C x2( y2) 24 D( x1) 2( y )243答案 D解析 设圆( x2) 2 y24 的圆心(2,0)关于直线 y
22、 x 对称的点的坐标为( a， b)，则有33Error!解得 a1， b ，3从而所求圆的方程为( x1) 2( y )24.故选 D.34(2017福建厦门联考)若 a ，则方程 2， 0， 1，34x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示的圆的个数为( )A0 B1C2 D3答案 B11解析 方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆的条件为 a24 a24(2 a2 a1)0，即 3a24 a42 .2 22 7 32 2 2所以点 Q 在圆 C 外，所以| MQ|max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(2)可知 表示直线 MQ 的斜率，
23、n 3m 2设直线 MQ 的方程为 y3 k(x2)，即 kx y2 k30，则 k.n 3m 2因为直线 MQ 与圆 C 有交点，所以 2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2可得 2 k2 ，3 3所以 的最大值为 2 ，最小值为 2 .n 3m 2 3 313已知圆 C：( x3) 2( y4) 21，设点 P 是圆 C 上的动点记 d| PB|2| PA|2，其中A(0,1)， B(0，1)，则 d 的最大值为 答案 74解析 设 P(x0， y0)， d| PB|2| PA|2 x ( y01) 2 x ( y01) 22( x y )20 20 20 202. x y 为圆上任一点
24、到原点距离的平方，( x y )max(51) 236，20 20 20 2014 dmax74.14(2017运城二模)已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l： x2 y0 的距离为 ，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的方程为 55答案 ( x1) 2( y1) 22 或( x1) 2( y1) 22解析 设圆 C 的方程为( x a)2( y b)2 r2，则点 C 到 x 轴、 y 轴的距离分别为| b|，| a|.由题意可知Error!Error! 或Error!故所求圆 C 的方程为( x1) 2( y1) 22 或( x1) 2( y
25、1) 22.15(2017广东七校联考)圆 x2 y22 x6 y10 关于直线 ax by30( a0， b0)对称，则 的最小值是( )1a 3bA2 B.3203C4 D.163答案 D解析 由圆 x2 y22 x6 y10 知，其标准方程为( x1) 2( y3) 29，圆x2 y22 x6 y10 关于直线 ax by30( a0， b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即 a3 b30， a3 b3( a0， b0)， (a3 b)1a 3b 13 (1a 3b) ，13(1 3ab 3ba 9) 13(10 23ab3ba) 163当且仅当 ，即 a b 时取等号，故选 D.3ba 3ab16已知平面区域Error!恰好被面积最小的圆 C：( x a)2( y b)2 r2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为 答案 ( x2) 2( y1) 25解析 由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)， Q(0,2)所构成的三角形及其内部，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 OPQ 为直角三角形，圆心为斜边 PQ 的中点(2,1)，半径 r ，|PQ|2 5因此圆 C 的方程为( x2) 2( y1) 25.
