1、1课堂达标(五十五) 数系的扩充和复数的引入A 基础巩固练1(2016北京卷)复数 等于( )1 2i2 iAi B1iCi D1i解析 i.故选 A.1 2i2 i 1 2i 2 i 2 i 2 i 5i5答案 A2(2018天津质检)已知 i 为虚数单位， aR，如果复数 2i 是实数，则 a 的a1 i值为( )A4 B2C2 D4解析 2i 2ia1 i a 1 i 1 i 1 i2i i i ， aR，2 0，a2 a2 (2 a2) a2 a2 a4.答案 D3(2018南昌月考) 是 z 的共轭复数，若 z 2，( z )i2(i 为虚数单位)，则z z zz 等于( )A1i
2、B1iC1i D1i解析 方法一：设 z a bi， a， b 为实数，则 a bi.z z 2 a2， a1.z又( z )i2 bi22 b2， b1.z故 z1i.方法二：( z )i2， z 2i.z z2i又 z 2，( z )( z )2i2，z z z2 z2i2， z1i.答案 D4(2018福州二检)定义运算 ad bc，则符合条件 0 的复数 z 的共|a bc d| |z 1 i i 2i|轭复数 在复平面内对应的点在( )z2A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 由题意得，2 zi|i(1i)|0，则 z i， i， i 1 i2i 12 12 z 12 1
3、2其在复平面内对应的点在第二象限，故选 B.答案 B5已知复数 z1 ，则 1 z z2 z2 017等于( )2i1 iA1i B1iCi D0解析 z1 1 i，2i1 i 2i 1 i21 z z2 z2 017 1i.1 1 z2 0181 z 1 i2 0181 i 1 i4504i21 i答案 A6(陕西高考)设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x 的概率为( )A. B. 34 12 12 1C. D. 14 12 12 1解析 由| z|1 可得( x1) 2 y21，表示以(1,0)为圆心，半径为 1 的圆及其内部，满足 y x 的部分为如图阴影所
4、示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P 14 12 1212 r2 4 12 14 12答案 C7(2017江苏)已知复数 z(1i)(12i)其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_解析 | z|(1i)(12i)|1i|12i| ，故答案为 .2 5 10 10答案 108已知复数 z1cos 15sin 15i 和复数 z2cos 45sin 45i，则z1z2_.3解析 z1z2(cos 15sin 15i)(cos 45sin 45i)(cos 15cos 45sin 15sin 45) (sin 15cos 45cos 15sin 45)icos 60sin 60i i.12 3
5、2答案 i12 329(2018河北教学质量检测)已知 mR，复数 的实部和虚部相等，则m i1 i 12m_.解析 m i1 i 12 m i 1 i 1 i 1 i 12 ， m 1 1 m i2 12 m 1 m i2由已知得 m1 m，则 m .12答案 1210复数 z1 (10 a2)i， z2 (2 a5)i，若 1 z2是实数，求实数 a 的3a 5 21 a z值解 1 z2 ( a210)i (2 a5)i ( a210)z3a 5 21 a ( 3a 5 21 a)(2 a5)i ( a22 a15)i.a 13 a 5 a 1 1 z2是实数， a22 a150，解得
6、a5 或 a3.z a50， a5，故 a3.B 能力提升练1(2018新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1， z2满足 z1 m(4 m2)i， z22cos ( 3sin )i(m， ， R)，并且 z1 z2，则 的取值范围是( )A1,1 B.916， 1C. D.916， 7 916， 7解析 由复数相等的充要条件可得Error!化简得 44cos 2 3sin ，由此可得 4cos 2 3sin 44(1sin 2 )3sin 44sin 2 3sin 42 ，因为 sin 1,1，所以 4sin2 3sin .(sin 38) 916 916， 74答案 C2(2018宁夏银川一中
7、一模)已知复数(1i)( a bi)24i( a， bR)，函数 f(x)2sin b 图象的一个对称中心是( )(ax 6)A. B.( 6， 1) ( 18， 0)C. D.( 6， 3) (518， 1)解析 因为(1i)( a bi)24i，所以 a bi 3i，2 4i1 i 2 4i 1 i 1 i 1 i所以 a3， b1.f(x)2sin 1，令 3x k， kZ，(3x 6) 6所以 x ， kZ，令 k1，得 x ，18 k3 518所以 f(x)2sin 1 的一个对称中心为 .(3x 6) (518， 1)答案 D3已知复数 z x yi，且| z2| ，则 的最大值为
8、_3yx解析 | z2| x 2 2 y2 ，( x2) 2 y23.3由图可知 max .(yx) 31 3答案 34设 z1， z2是复数，则下列命题若| z1 z2|0，则 1 2z z若 z1 2，则 1 z2z z若| z1| z2|，则 z1 1 z2 2z z若| z1| z2|，则 z z21 2真命题是_解析 对于，| z1 z2|0 z1 z2 1 2，是真命题；对于，易判断是真命z z5题；对于若 z12， z21 i，则| z1| z2|，但 z 4， z 22 i，是假命题3 21 2 3答案 5已知 z 是复数， z2i， 均为实数(i 为虚数单位)，且复数( z
9、ai)2在复平面z2 i上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解析 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i，由题意得 y2. (x2i)(2i)z2 i x 2i2 i 15 (2x2) (x4)i.15 15由题意得 x4， z42i.( z ai)2(124 a a2)8( a2)i.由于( z ai)2在复平面上对应的点在第一象限，Error! 解得 2 a6.实数 a 的取值范围是(2,6)C 尖子生专练若虚数 z 同时满足下列两个条件： z 是实数；5z z3 的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由解 这样的虚数存在， z12i 或 z2i.设 z a bi(a， bR 且 b0)，z a bi a bi i.5z 5a bi 5 a bia2 b2 (a 5aa2 b2) (b 5ba2 b2) z 是实数， b 0.5z 5ba2 b2又 b0， a2 b25. 又 z3( a3) bi 的实部与虚部互为相反数， a3 b0. 由得Error!解得Error! 或Error!故存在虚数 z， z12i 或 z2i.
