1、11.2 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 考情考向分析1.理解命题的概念2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系2(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假
2、性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要 条件p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qpp 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qpp 是 q 的充要条件 pqp 是 q 的既不充分又不必要条件 pq 且 qp知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 A x|p(x)， B x|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件；(2)若 AB，则 p 是 q 的必要条件；(3)若
3、 A B，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；(5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件；(6)若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“对顶角相等”是命题( )(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”( )(3)当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件( )(4)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立( )3(5)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件( )题组二 教
4、材改编2下列命题是真命题的是( )A矩形的对角线相等B若 a b， c d，则 ac bdC若整数 a 是素数，则 a 是奇数D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 A3 “x30”是“( x3)( x4)0”的_条件(填“充分不必要” “必要不充分”“充要” “既不充分又不必要”)答案 充分不必要题组三 易错自纠4命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是( )A若 xy，则 x2y2 D若 x y，则 x2 y2答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是“若 x y，则 x2 y2”5 “sin 0”是“ 是第一象限角”的(
5、)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 B解析 由 sin 0，可得 是第一或第二象限角及终边在 y 轴正半轴上；若 是第一象限角，则 sin 0，所以“sin 0”是“ 是第一象限角”的必要不充分条件故选 B.6已知集合 AError!， B x|13，即 m2.题型一 命题及其关系41下列命题是真命题的是( )A若 ，则 x y1x 1yB若 x21，则 x1C若 x y，则 x yD若 x y，则 x2 y2答案 A2某食品的广告词为“幸福的人们都拥有” ，这句话的等价命题是( )A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福 D不拥有的
6、人们不幸福答案 D3(2018青岛调研)下列命题：“若 a21，则 ax22 ax a30 的解集为 R”的逆否命题；“若 x(x0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题3其中正确的命题是( )A B C D答案 A解析 对于，否命题为“若 a2 b2，则 a b”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形” ，为假命题；对于，当 a1 时， 12 a1 或 x x2，则綈 p 是綈 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案 A解析 由 5x6 x2，得 2sin 不成立73 3充分性不成立；取 ， ，sin sin ，但 ，必要性不成立
7、 3 136故“ ”是“sin sin ”的既不充分又不必要条件(2)设向量 a(sin 2 ，cos )， b(cos ，1)，则“ a b”是“tan 成立”的12_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 a bsin 2 cos 2 cos 0 或 2sin cos cos 0 或 tan ，所以“ a b”是“tan 成立”的必要不充分条件12 12题型三 充分必要条件的应用典例 已知 P x|x28 x200，非空集合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S 的必要条件，求 m 的取值范围解 由 x28 x200，得2
8、x10， P x|2 x10由 x P 是 x S 的必要条件，知 SP.则Error!当 0 m3 时， x P 是 x S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0,3引申探究若本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件解 若 x P 是 x S 的充要条件，则 P S，Error! 方程组无解，即不存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验
9、跟踪训练 (1)设 p：|2 x1|0)； q： 0.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 mx 12x 17的取值范围为_答案 (0,2解析 由|2 x1|0)，得 m0，得 x1.x 12x 1 12 p 是 q 的充分不必要条件，又 m0， ，01”的否命题是( )A若函数 f(x)e x mx 在0，)上不是减函数，则 m1B若函数 f(x)e x mx 在0，)上是减函数，则 m1C若 m1，则函数 f(x)e x mx 在0，)上是减函数D若 m1，则函数 f(x)e x mx 在0，)上不是减函数答案 A解析 “若 p，则 q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选
10、A.2命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a6，则 a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此 4 个命题中有 2 个假命题3 “(2x1) x0”是“ x0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案 B4已知命题 p：若 a1，命题 p 为假命题，9A 不正确；命题 p 的逆命题是“若 a20， b0，则“ ab”是“ aln abln b”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 C解析
11、 设 f(x) xln x，显然 f(x)在(0，)上单调递增， ab， f(a)f(b)， aln abln b，故充分性成立； aln abln b， f(a)f(b)， ab，故必要性成立，故“ ab”是“ aln abln b”的充要条件，故选 C.7已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.8(2017
12、江西红色七校二模)在 ABC 中，角 A， B 均为锐角，则“cos Asin B”是“ABC 为钝角三角形”的( )10A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 C解析 因为 cos Asin B，所以 cos Acos ，( 2 B)因为角 A， B 均为锐角，所以 B 为锐角， 2又因为余弦函数 ycos x 在(0，)上单调递减，所以 A ， 2所以 ABC 为钝角三角形；若 ABC 为钝角三角形，角 A， B 均为锐角，则 C ，所以 A Bcos ， 2 ( 2 B)即 cos Asin B.故“cos Asin B”是“ ABC 为钝角三角形”的充
13、要条件9 “若 a b，则 ac2 bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题10设 p：实数 x， y 满足 x1 且 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q 的_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 当 x1， y1 时， x y2 一定成立，即 pq，当 x y2 时，可令 x1， y4，即 qp，故 p 是 q 的充分不必要条件11已知命题 p： a x a1，命题 q： x24 x0，若 p 是 q 的充分不必要条件
14、，则 a 的取值范围是_答案 (0,3)解析 令 M x|a x a1，N x|x24 x0 x|0 x4 p 是 q 的充分不必要条件， MN，11Error! 解得 0 a3.12有下列几个命题：“若 a b，则 a2 b2”的否命题；“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2 x2”的逆否命题其中真命题的序号是_答案 解析 原命题的否命题为“若 a b，则 a2 b2”，错误；原命题的逆命题为“若 x， y 互为相反数，则 x y0” ，正确；原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24” ，正确13已知 p：函数 f(x)| x a|在(，1)上是单调
15、函数， q：函数 g(x)log a(x1)(a0，且 a1)在(1，)上是增函数，则綈 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 C解析 易知 p 成立 a1， q 成立 a1，所以綈 p 成立 a1，则綈 p 是 q 的充要条件故选 C.14已知条件 p：2 x23 x10，条件 q： x2(2 a1) x a(a1)0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_答案 0，12解析 方法一 命题 p 为Error!，命题 q 为 x|a x a1綈 p 对应的集合 AError!，綈 q 对应的集合 B x|xa1 或 x0，即 2n12 对任意的nN 都成立，于是可得 32 ，即 1”是“ a2 b21”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 a b1，即 ab1.又 a， b 为正数， a2(b1) 2 b212 bb21，即 a2 b21 成立；反之，当 a ， b1 时，满足3a2 b21，但 a b1 不成立所以“ a b1”是“ a2 b21”的充分不必要条件
