1、1课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级保分题目巧做快做1.在 ABC 中， A45， C105， BC ，则 AC 为( )2A. 1 B13C2 D. 13解析：选 B 因为 A45， C105，所以 B180 C A30，由正弦定理得 AC 1.BCsin Bsin A212222在锐角 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 sin A ， a3， S223ABC2 ，则 b 的值为( )2A6 B3C2 D2 或 3解析：选 D 因为 S ABC bcsin A2 ，12 2所以 bc6，又因为 sin A ，所以 cos
2、A ，又 a3，由余弦定理得223 139 b2 c22 bccos A b2 c24， b2 c213，可得 b2 或 b3.3在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，若 a2 bcos C，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选 C 法一：由余弦定理可得 a2 b ，a2 b2 c22ab因此 a2 a2 b2 c2，得 b2 c2，于是 b c，从而 ABC 为等腰三角形法二：由正弦定理可得 sin A2sin Bcos C，因此 sin(B C)2sin Bcos C，即 sin Bcos Cco
3、s Bsin C2sin Bcos C，于是 sin(B C)0，因此 B C0，即 B C，故 ABC 为等腰三角形4(2018合肥质检)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos C2， bcos A acos B2，则 ABC 的外接圆面积为( )223A4 B8C9 D36解析：选 C 由余弦定理得 b a 2.即b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac2，整理得 c2，由 cos C 得 sin C ，再由正弦定理可b2 c2 a2 a2 c2 b22c 223 13得 2R 6，所以 ABC 的外接圆面积为 R29.csin C5.在 AB
4、C 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c2( a b)26， C ， 3则 ABC 的面积是( )A3 B.932C. D3332 3解析：选 C c2( a b)26， a2 b2 c22 ab6，又 cos C ， ab6，a2 b2 c22ab 2ab 62ab 12 S ABC absin C 6 .12 12 32 3326设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a2，cos C ，3sin 14A2sin B，则 c_.解析：3sin A2sin B，3 a2 b.又 a2， b3.由余弦定理可知 c2 a2 b22 abc
5、os C， c22 23 2223 16，(14) c4.答案：47在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边， A ， b2sin C4 sin B， 4 2则 ABC 的面积为_解析：因为 b2sin C4 sin B，2所以 b2c4 b，所以 bc4 ，2 23S ABC bcsin A 4 2.12 12 2 22答案：28已知 ABC 中， AC4， BC2 ， BAC60， AD BC 于点 D，则 的值为7BDCD_解析：在 ABC 中，由余弦定理可得 BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC，即2816 AB24 AB，解得 AB6( AB2
6、，舍去)，则cos ABC ， BD ABcos ABC6 ， CD BC BD228 36 162276 277 277 1277 7 ，所以 6.1277 277 BDCD答案：69.(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .B(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b.解：(1)由题设及 A B C 得 sin B8sin 2 ，B2即 sin B4(1cos B)，故 17cos2B32cos B150，解得 cos B 或 cos B1(舍去)1517(2)由 cos B ，得
7、 sin B ，1517 817故 S ABC acsin B ac.12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6 得b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B)362 172 (1 1517)4.所以 b2.410(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin A cos A0， a2 ， b2.3 7(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的面积解：(1)由已知可得 tan A ，所以 A .323在 ABC 中，由余弦定理得 284 c24 ccos
8、，23即 c22 c240.解得 c4(负值舍去)(2)由题设可得 CAD ， 2所以 BAD BAC CAD .23 2 6故 ABD 的面积与 ACD 的面积的比值为1.12ABADsin 612ACAD又 ABC 的面积为 42sin 2 ，12 23 3所以 ABD 的面积为 .3B 级拔高题目稳做准做1.在 ABC 中，三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 SABC2 ， a b6， 2cos C，则 c 等于( )3acos B bcos AcA2 B27 3C4 D3 3解析：选 B 因为 1，所acos B bcos Ac sin Acos B sin
9、Bcos Asin C sin A Bsin A B以 2cos C1，所以 C60.因为 S ABC2 ，所以 absin C2 ，所以 ab8.312 3因为 a b6，所以 c2 a2 b22 abcos C( a b)23 ab6 23812，所以 c2 .32.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 sin Asin B sin 13C,3b2 a,2 a2 ac18，设 ABC 的面积为 S， p a S，则 p 的最大值是( )25A. B.529 729C. D.2928解析：选 D 在 ABC 中，由 sin Asin B sin C 结合
10、正弦定理可得， c3 a3 b，13再根据 3b2 a,2 a2 ac18，可得 a c,1 a3，由余弦定理可得b2 a2 a22 aacos Bcos B ，可得 sin B ，所以 S acsinB a2，4a29 79 429 12 229故 p a S a a2，根据二次函数的图象可得，当 a 时， p 取得最大值 .2 2229 94 9283.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，如果 ABC 的面积等于8， a5，tan B ，那么 _.43 a b csin A sin B sin C解析：tan B ，43sin B ，cos B ，45 3
11、5又 S ABC acsin B2 c8，12 c4， b ，a2 c2 2accos B 65 .a b csin A sin B sin C bsin B 5654答案：56544.(2018洛阳统考)在 ABC 中， B30， AC2 ， D 是 AB 边上的一点， CD2，5若 ACD 为锐角， ACD 的面积为 4，则 BC_.解析：依题意得 S ACD CDACsin ACD2 sin ACD4，解得 sin ACD12 5.255又 ACD 是锐角，因此 cos ACD .55在 ACD 中， AD 4.由正弦定理得， CD2 AC2 2CDACcos ACDADsin ACD，
12、CDsin A即 sin A .CDsin ACDAD 556在 ABC 中， ，即 BC 4.ACsin B BCsin A ACsin Asin B答案：45.(2018湖北七市联考)如图，已知在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， C120.(1)若 c1，求 ABC 面积的最大值；(2)若 a2 b，求 tan A.解：(1)由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos 1201， a2 b2 ab12 ab ab3 ab，当且仅当 a b 时取等号， ab ，13故 S ABC absin C ab ，12 34 312即 ABC 面积的最大值为 .312
13、(2) a2 b，由正弦定理得 sin A2sin B，又 C120，故 A B60，sin A2sin(60 A) cos Asin A，3 cos A2sin A，tan A .3326.(2018昆明质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC， AB2， BD ， BCD2 ABD， ABD 的面积为 2.5(1)求 AD 的长；(2)求 CBD 的面积解：(1)由已知 S ABD ABBDsin ABD 2 sin ABD2，可得12 12 5sin ABD ，255又 BCD2 ABD，所以 ABD ，(0， 2)所以 cos ABD .55在 ABD 中，由余弦定理 AD2 AB2 BD22 ABBDcos ABD，可得 AD25，所以 AD .5(2)由 AB BC，得 ABD CBD ， 27所以 sin CBDcos ABD .55又 BCD2 ABD，所以 sin BCD2sin ABDcos ABD ，45 BDC CBD BCD 2 ABD ABD CBD，( 2 ABD) 2所以 CBD 为等腰三角形，即 CB CD.在 CBD 中，由正弦定理 ，BDsin BCD CDsin CBD得 CD ，BDsin CBDsin BCD55545 54所以 S CBD CBCDsin BCD .12 12 54 54 45 58
