1、1课堂达标(四十四) 双曲线A 基础巩固练1 “m0，解得 m10，故“ mb0，椭圆 C1的方程为 1，双曲线 C2的方程为 1， C1与 C2x2a2 y2b2 x2a2 y2b2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为( )32A x y0 B. xy02 2C x2y0 D2 xy0解析 椭圆 C1的离心率为 ，双曲线 C2的离心率为 ，所以 a2 b2a a2 b2a a2 b2a ，a2 b2a 32所以 a4 b4 a4，即 a44 b4，所以 a b，所以双曲线 C2的渐近线方程是34 2y x，即 x y0.12 2答案 A24过双曲线 C： 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与
2、 C 的一条渐近线相交于点 A.若x2a2 y2b2以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点( O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x27 y29C. 1 D. 1x28 y28 x212 y24解析 由题意知 c4， A(a， b)，所以( a4) 2 b216，又 a2 b216 a2， b212；所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y212答案 A5(2018广西名校猜题卷)过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点 F 作一条渐x2a2 y2b2近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若 2 ，则此双曲线的
3、离心率为( )FB FA A. B. 2 3C2 D. 5解析 如图因为 2 ，所以 A 为线段 FB 的中点，FB FA 24，又13，2390，所以124223.故239032230160 .ba 3 e21 24 e2.(ba)答案 C6(2018山东省枣庄十六中 4 月模拟试卷)已知双曲线 C1： y21，双曲线 C2：x24 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， M 是双曲线 C2的一条渐近线上的点，且x2a2 y2b2OM MF2， O 为坐标原点，若 S OMF216，且双曲线 C1， C2的离心率相同，则双曲线 C2的3实轴长是( )A32 B16 C8 D4解析
4、双曲线 C1： y21 的离心率为 ，x24 52设 F2(c,0)，双曲线 C2一条渐近线方程为 y x，ba可得| F2M| b，即有| OM| a，bca2 b2 c2 b2由 S OMF216，可得 ab16，即 ab32，又 a2 b2 c2，12且 ，解得 a8， b4， c4 ，即有双曲线的实轴长为 16.ca 52 5答案 B7如图所示，已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A， B 为左、右焦点，且双曲线过C， D 两顶点若 AB4， BC3，则此双曲线的标准方程为_解析 设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2由题意得 B(2,0)， C(2,3)，Er
5、ror!解得Error!双曲线的标准方程为 x2 1.y23答案 x2 1y238(2018海南海口 4 月调研)过双曲线 1( a0， b0， b0)的离心率为 ，点( ，0)是双曲线的一个x2a2 y2b2 3 3顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A， B，求| AB|.解 (1)双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，点( ，0)是双曲线的一x2a2 y2b2 3 3个顶点，Error!解得 c3， b ，双曲线的方程为 1.6x23 y26(2)双曲线 1 的右焦点为 F2(3,0)，x23 y26经过双曲线
6、右焦点 F2且倾斜角为 30的直线的方程为 y (x3)33联立Error! 得 5x26 x270.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .65 275所以| AB| .1 13 ( 65)2 4( 275) 16355B 能力提升练1(2018三明质检)已知 P 是双曲线 y21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的x23两条渐近线的垂线，垂足分别为 A， B，则 的值是( )PA PB A B.38 316C D不能确定38解析 令点 P(x0， y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 y0， y0，x3 x3所以可取| PA| ，| PB| ，|x03
7、 y0|13 1|x03 y0|13 1又 cos APBcos AOBcos 2 AOxcos ， 3 12所以 | | |cos APB .PA PB PA PB |x203 y20|43 ( 12) 34 ( 12) 38答案 A2(2018山西太原二模)已知双曲线 y21 的右焦点是抛物线 y22 px(p0)的x23焦点，直线 y kx m 与抛物线交于 A， B 两个不同的点，点 M(2,2)是 AB 的中点，则OAB(O 为坐标原点)的面积是( )A4 B33 13C. D214 3解析 双曲线 y21 的 a ， b1，x23 3c 2，3 1右焦点为(2,0)，则抛物线 y2
8、2 px(p0)的焦点为(2,0)，即有 2 ，解得 p4，即抛物线方程为 y28 x，p2联立直线 y kx m，可得 k2x2(2 km8) x m20，判别式 (2 km8) 24 k2m20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，可得 x1 x2 ，8 2kmk26点 M(2,2)是 AB 的中点，可得 4，且 22 k m，8 2kmk2解得 k2， m2.满足判别式大于 0.即有 x1 x24， x1x21，可得弦长| AB| 1 4 x1 x2 2 4x1x2 2 ，5 16 4 15点 O 到直线 2x y20 的距离 d ，|0 0 2|4 1 25则 OAB(O 为
9、坐标原点)的面积是 d|AB| 2 2 .故选：D.12 12 25 15 3答案 D3(2018日照模拟)已知 F1， F2为双曲线 1( a0， b0)的焦点，过 F2作垂直x2a2 y2b2于 x 轴的直线交双曲线于点 P 和 Q.且 F1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_解析 设 F2(c,0)(c0)， P(c， y0)，代入双曲线方程得 y0 ， PQ x 轴，| PQ| .b2a 2b2a在 Rt F1F2P 中， PF1F230，| F1F2| |PF2|，即 2c .3 3b2a又 c2 a2 b2， b22 a2或 2a23 b2(舍去) a0， b0， .ba 2
10、故所求双曲线的渐近线方程为 y x.2答案 y x24(2018咸阳模拟)已知 F1， F2为双曲线 1( a0， b0 且 a b)的两个焦x2a2 y2b2点， P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点给出下面四个命题： PF1F2的内切圆的圆心必在直线 x a 上； PF1F2的内切圆的圆心必在直线 x b 上； PF1F2的内切圆的圆心必在直线 OP 上； PF1F2的内切圆必通过点( a,0)其中所有真命题的序号是_解析 设 PF1F2的内切圆分别与 PF1， PF2切于 A， B，与 F1F2切于 M，则7|PA| PB|，| F1A| F1M|，| F2B| F2M
11、|，又点 P 在双曲线的右支上，所以|PF1| PF2|2 a，设点 M 的坐标为( x,0)，则由| PF1| PF2|2 a，可得( x c)( c x)2 a，解得 x a，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴由以上分析易知，正确，错误答案 5(2018湛江模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F(c,0)x2a2 y2b2(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y x 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率3解 (1)双曲线的渐近线为 y x， a b，ba
12、 c2 a2 b22 a24， a2 b22，双曲线方程为 1.x22 y22(2)设点 A 的坐标为( x0， y0)，直线 AO 的斜率满足 ( )1，y0x0 3 x0 y0.3依题意，圆的方程为 x2 y2 c2，将代入圆的方程得 3y y c2，即 y0 c，20 2012 x0 c，点 A 的坐标为 ，32 (32c， 12c)代入双曲线方程得 1，34c2a214c2b2即 b2c2 a2c2 a2b2.34 14又 a2 b2 c2，将 b2 c2 a2代入式，整理得： c42 a2c2 a40，343 48 240，(ca) (ca)(3 e22)( e22)0. e1， e
13、 ，2双曲线的离心率为 .2C 尖子生专练8已知椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而x24C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l： y kx 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2，求 k2 OA OB 的取值范围解 (1)设双曲线 C2的方程为 1( a0， b0)，则 a2413， c24，再x2a2 y2b2由 a2 b2 c2，得 b21，故双曲线 C2的方程为 y21.x23(2)将 y kx 代入 y21，2x23得(13 k2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得Error! k21 且 k2 .13设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .62k1 3k2 91 3k2 x1x2 y1y2 x1x2( kx1 )(kx2 )2 2( k21) x1x2 k(x1 x2)2 .23k2 73k2 1又 2，即 x1x2 y1y22， 2，OA OB 3k2 73k2 1即 0，解得 k23. 3k2 93k2 1 13由得 k21，13故 k 的取值范围为 .( 1， 33) (33， 1)
