1、1课时跟踪检测（四十五） 立体几何中的向量方法(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 A1B1， BB1的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值等于( )A. B.32 1010C. D.35 25解析：选 D 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M，(1，12， 1)C(0,1,0)，N ，(1， 1，12) ， .CN (1， 0， 12) AM (0， 12， 1)故 cos ， .AM CN 0 0 125252 252直三棱柱 ABCA1B1C1中， BCA90，M，N 分别是 A1B1，
2、 A1C1的中点，BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.110 25C. D.3010 22解析：选 C 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，设 BC2，则 B(0,2,0)， A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以 (1，1,2)，BM (1，0,2)，AN 故 BM 与 AN 所成角 的余弦值cos .365 30103在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AA12，二面角 BAA1C1的大小为 60，点 B 到平面ACC1A1的距离为 ，点 C 到平面 ABB1A1的距离为 2 ，则直线 BC1与直线 AB1所成角的正切3 3值为(
3、 )2A. B.7 6C. D25解析：选 A 由题意可知， BAC60，点 B 到平面 ACC1A1的距离为 ，点 C 到平面3ABB1A1的距离为 2 ，所以在三角形 ABC 中， AB2， AC4， BC2 ， ABC90，3 3则 ( )( )4，AB1 BC1 BB1 BA BB1 BC | |2 ，| |4，AB1 2 BC1 cos ， ，AB1 BC1 24故 tan ， .AB1 BC1 74.如图所示，在三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC， D 是棱 PB 的中点，已知 PA BC2， AB4， CB AB，则异面直线 PC， AD 所成角的余弦值为( )A B301
4、0 305C. D.305 3010解析：选 D 因为 PA平面 ABC，所以 PA AB， PA BC.过点 A 作 AE CB，又 CB AB，则 AP， AB， AE 两两垂直如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB， AE， AP 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， P(0,0,2)， B(4,0,0)， C(4，2,0)因为 D 为 PB 的中点，所以 D(2,0,1)故 (4,2,2)， (2,0,1)CP AD 所以 cos ， .AD CP 6526 3010设异面直线 PC， AD 所成的角为 ，则 cos |cos ， |
5、 .AD CP 30105.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等， E， F， G 分别为 AB， AA1， A1C1的中点，则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为( )A. B.35 563C. D.3310 3610解析：选 A 设正三棱柱的棱长为 2，取 AC 的中点 D，连接DG， DB，分别以 DA， DB， DG 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B1 ， F(1,0,1)，(0， 3， 2)E ， G(0,0,2)，(12， 32， 0) ， ， (1,0 ，1)B1F (1， 3， 1) EF (12， 32， 1)
6、GF 设平面 GEF 的法向量 n( x， y， z)，则 即Error!取 x1，则 z1， y ，3故 n 为平面 GEF 的一个法向量，(1， 3， 1)所以 cosn， ，B1F 1 3 155 35所以 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 .故选 A.356在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. B.12 23C. D.33 22解析：选 B 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)， E ， D(0,1,0)，(1， 0，12) (
7、0,1，1)，A1D ，A1E (1， 0， 12)设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1， y， z)，则 即Error!Error! n 1(1,2,2)又平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，cosn 1，n 2 .231 234即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 .237.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是正方形A1B1C1D1和正方形 ADD1A1的中心，则 EF 和 CD 所成的角的大小是_解析：以 D 为原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系
8、 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则D(0,0，0)， C(0，1,0)， E ， F ， ， (0,1,0)，EF DC cos ， ， ， 135，异EF DC 22 EF DC 面直线 EF 和 CD 所成的角的大小是 45.答案：458.如图，已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形， AD BC， AB BC， AD AB AA12 BC， E 为 DD1的中点， F 为 A1D 的中点则直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为_解析：因为 AB， AD， AA1两两垂直，故以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， AD
9、 所在直线为 y 轴， AA1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 BC1，则 A(0,0,0)， A1(0,0,2)， C(2,1,0)，D(0，2,0)， E(0，2,1)， F(0,1,1)， (0,1,0)，FE (0,2，2)， (2,1,0)A1D CD 设平面 A1CD 的一个法向量为 n(1， y， z)，则 Error!故 n(1,2,2)，则 sin |cosn， |FE |nFE |n|FE | ，|10 21 20|1 4 40 1 0 23故直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 .23答案：239.如图，菱形 ABCD 中， ABC60， AC
10、 与 BD 相交于点 O， AE平面 ABCD， CF AE， AB2， CF3.若直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45，则 AE_.解析：如图，以 O 为原点，以 OA， OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴，5以过点 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系设 AE a，则 B(0， ，0)， D(0， ，0)， F(1,0,3)， E(1,0， a)，3 3 (1,0,3)， (0,2 ，0)， (1， ， a)设平面 BED 的法向量为OF DB 3 EB 3n( x， y， z)，则 即Error!则 y0，令 z1，得 x a，n( a,0,1)，cosn，
11、 .OF a 3a2 110直线 FO 与平面 BED 所成角的大小为 45， ，|a 3|a2 110 22解得 a2 或 a (舍去)， AE2.12答案：210.如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形，AB CD，且 AC BD， AC 与 BD 交于 O， PO底面 ABCD， PO2， AB2， E， F 分别是 AB， AP 的中点则二面角 F OE A 的余弦值为2_解析：以 O 为坐标原点， OB， OC， OP 所在直线分别为 x 轴， y轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，由题知， OA OB2，则 A(0，2,0)， B(2,0,0)
12、， P(0,0,2)， E(1，1,0)，F(0，1,1)，则 (1，1,0)， (0，1,1)，OE OF 设平面 OEF 的法向量为 m( x， y， z)，则 即Error!令 x1，可得 m(1,1,1)易知平面 OAE 的一个法向量为 n(0,0,1)，则 cosm，n .mn|m|n| 33由图知二面角 FOEA 为锐角，所以二面角 FOEA 的余弦值为 .336答案：33B 级中档题目练通抓牢1(2017江苏高考)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，且 AB AD2， AA1 ， BAD120.3(1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值
13、；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值解：(1)在平面 ABCD 内，过点 A 作 AE AD，交 BC 于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1 AE， AA1 AD.故以 AE， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.因为 AB AD2，AA1 ， BAD120，3则 A(0,0,0)， B( ，1,0)， D(0,2,0)， E( ，0,0)， A1(0，0， )，3 3 3C1( ， 1， )3 3(1) ( ，1， )， ( ，1， )A1B 3 3 AC1 3 3则 cos ， .A1B AC1 3 1 377 1
14、7因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 .17(2)可知平面 A1DA 的一个法向量为 ( ，0,0)AE 3设 m( x， y， z)为平面 BA1D 的一个法向量，又 ( ，1， )， ( ，3,0)，A1B 3 3 BD 3则 即Error!不妨取 x3，则 y ， z2，3所以 m(3， ，2)为平面 BA1D 的一个法向量，3从而 cos ，m .AE 3334 34设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos | .347因为 0，所以 sin .1 cos274因此二面角 BA1DA 的正弦值为 .742(2017北京高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD
15、 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC， PA PD ， AB4.6(1)求证：M 为 PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值解：(1)证明：设 AC， BD 的交点为 E，连接 ME.因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDBM E，所以 PDM E.因为底面 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点所以 M 为 PB 的中点(2)取 AD 的中点 O，连接 OP， OE.因为 PA PD，所以 OP AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，
16、OP平面 PAD，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OP OE.因为底面 ABCD 是正方形，所以 OE AD.以 O 为原点，以 ， ， 为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直OD OE OP 角坐标系 Oxyz，则 P(0,0， )， D(2,0,0)， B(2,4,0)，2(4，4,0)， (2,0， )BD PD 2设平面 BDP 的一个法向量为 n( x， y， z)，则 即Error!令 x1，得 y1， z .2于是 n(1,1， )2又平面 PAD 的一个法向量为 p(0,1,0)，8所以 cosn， p .np|n|p| 12由题知
17、二面角 BPDA 为锐角，所以二面角 BPDA 的大小为 60.(3)由题意知 M ， C(2,4,0)，( 1， 2，22)则 .MC (3， 2， 22)设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则 sin |cosn， | .MC |nMC |n|MC | 269所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 .2693(2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90， E12是 PD 的中点(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为
18、 45，求二面角 MABD 的余弦值解：(1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD， EF AD.12由 BAD ABC90，得 BC AD，又 BC AD，所以 EF 綊 BC，12所以四边形 BCEF 是平行四边形， CE BF，又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)由已知得 BA AD，以 A 为坐标原点， 的方向为 xAB 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标AB 系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(1，0,0)， C(1,1,0)， P(0，1， )，3(1,0， )， (
19、1,0,0)PC 3 AB 设 M(x， y， z)(0x1)，9则 ( x1， y， z)， ( x， y1， z )BM PM 3因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量，所以|cos ，n|sin 45， ，BM |z| x 1 2 y2 z2 22即( x1) 2 y2 z20. 又 M 在棱 PC 上，设 ，PM PC 则 x ， y1， z . 3 3由解得Error!(舍去)，或Error!所以 M ，从而 .(122， 1， 62) AM (1 22， 1， 62)设 m( x0， y0， z0)是平面 ABM 的法向量，则 即Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cosm，n .mn|m|n| 105由图知二面角 MABD 为锐角，因此二面角 MABD 的余弦值为 .105
