1、1课时跟踪检测（四十八） 圆的方程(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1经过点(1,0)，且圆心是两直线 x1 与 x y2 的交点的圆的方程为( )A( x1) 2 y21B( x1) 2( y1) 21C x2( y1) 21D( x1) 2( y1) 22解析：选 B 由Error!得Error!即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为 1，故圆的方程为( x1) 2( y1) 21.2已知直线 l： x my40，若曲线 x2 y22 x6 y10 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为( )A2 B2C1 D1解析：选 D 因为曲线
2、 x2 y22 x6 y10 是圆( x1) 2( y3) 29，若圆( x1)2( y3) 29 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则直线 l： x my40 过圆心(1,3)，所以13 m40，解得 m1.3若圆 x2 y22 ax b20 的半径为 2，则点( a， b)到原点的距离为( )A1 B2C. D42解析：选 B 由半径 r 2，得 2.12D2 E2 4F 124a2 4b2 a2 b2点( a， b)到原点的距离 d 2，故选 B.a2 b24点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21 B( x2) 2
3、( y1) 24C( x4) 2( y2) 24 D( x2) 2( y1) 21解析：选 A 设圆上任意一点为( x1， y1)，中点为( x， y)，则Error!即Error!代入x2 y24，得(2 x4) 2(2 y2) 24，化简得( x2) 2( y1) 21.5(2018成都高新区月考)已知圆 C 经过点 A(1,1)和 B(2，2)，且圆心 C 在直线l： x y10 上，则该圆的面积是( )A5 B132C17 D25解析：选 D 法一：设圆心为( a， a1)，半径为 r(r0)，则圆的标准方程为( x a)2( y a1) 2 r2，又圆经过点 A(1，1)和点 B(2
4、，2)，故有Error!解得Error!故该圆的面积是 25.法二：由题意可知圆心 C 在 AB 的中垂线 y ，即 x3 y30 上由12 13(x 32)Error!解得 Error!故圆心 C 为 (3，2)，半径 r| AC|5，圆的面积是 25.6已知圆 C 的圆心是直线 x y10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x y30 相切，则圆 C 的方程为( )A( x1) 2 y22 B( x1) 2 y28C( x1) 2 y22 D( x1) 2 y28解析：选 A 直线 x y10 与 x 轴的交点(1,0)根据题意，圆 C 的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线 x y30 相
5、切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d ，| 1 0 3|12 12 2则圆的方程为( x1) 2 y22.7(2018广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线 x24 y 的焦点，且该圆与直线y x3 相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线 x24 y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2( y1) 2 r2(r0)，因为该圆与直线 y x3 相切，所以 r d ，故该| 1 3|2 2圆的标准方程是 x2( y1) 22.答案： x2( y1) 228在平面直角坐标系内，若曲线 C： x2 y22 ax4 ay5 a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的
6、取值范围为_解析：圆 C 的标准方程为( x a)2( y2 a)24，所以圆心为( a,2a)，半径 r2，故由题意知Error!解得 a2，故实数 a 的取值范围为(，2)答案：(，2)9(2018德州模拟)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C 上，且5圆心到直线 2x y0 的距离为 ，则圆 C 的方程为_455解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线2x y0 的距离 d ，解得 a2，所以圆 C 的半径 r| CM| 3，所以圆2a5 455 4 5C 的方程为( x2) 2 y29.3答案：( x2) 2
7、y2910在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：因为直线 mx y2 m10( mR)恒过点(2，1)，所以当点(2，1)为切点时，半径最大，此时半径 r ，故所求圆的标准方程为( x1) 2 y22.2答案：( x1) 2 y22B 级中档题目练通抓牢1(2018南昌检测)圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程为( )A x2 y210 y0 B x2 y210 y0C x2 y210 x0 D x2 y210 x0解析：选 B 根据题意，设圆心坐标为(0， r)，半
8、径为 r，则 32( r1) 2 r2，解得r5，可得圆的方程为 x2 y210 y0.2(2018银川模拟)方程| y|1 表示的曲线是( )1 x 1 2A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆解析：选 D 由题意知| y|10，则 y1 或 y1，当 y1 时，原方程可化为(x1) 2( y1) 21( y1)，其表示以(1，1)为圆心、1 为半径、直线 y1 上方的半圆；当 y1 时，原方程可化为( x1) 2( y1) 21( y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线 y1 下方的半圆所以方程| y|1 表示的曲线是两个半1 x 1 2圆，选 D.3已知圆 C 与直线 y x
9、 及 x y40 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程为( )A( x1) 2( y1) 22 B( x1) 2( y1) 22C( x1) 2( y1) 22 D( x1) 2( y1) 22解析：选 D 由题意知 x y0 和 x y40 平行，且它们之间的距离为 2 ，|4|2 2所以 r .又因为 x y0 与 x y0， x y40 均垂直，所以由 x y0 和 x y02联立得交点坐标为(0,0)，由 x y0 和 x y40 联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆 C 的标准方程为( x1) 2( y1) 22.4已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点
10、(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C的方程为 _.解析：由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 ，设圆心(0， a), 半234径为 r，则 rsin 1， rcos | a|，解得 r ，即 r2 ，| a| ， 3 3 23 43 33即 a ，故圆 C 的方程为 x2 2 .33 (y33) 43答案： x2 2(y33) 435当方程 x2 y2 kx2 y k20 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y( k1)x2 的倾斜角 _.解析：由题意可知，圆的半径 r 1，当半径 r 取最大值时，12k2 4 4k2 124 3k2圆的面积最大，此时 k
11、0， r1，所以直线方程为 y x2，则有 tan 1，又 0，)，故 .34答案：346已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且| CD|4 .10(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程解：(1)由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1,2)则直线 CD 的方程为y2( x1)，即 x y30.(2)设圆心 P(a， b)，则由点 P 在 CD 上得 a b30.又直径| CD|4 ，10| PA|2 ，10( a1) 2 b240.由解得Error!或Error!圆心 P(3,6)或 P(5，
12、2)圆 P 的方程为( x3) 2( y6) 240 或( x5) 2( y2) 240.7已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2 y26 x50 相交于不同的两点 A， B.(1)求圆 C1的圆心坐标(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程解：(1)把圆 C1的方程化为标准方程得( x3) 2 y24，圆 C1的圆心坐标为 C1(3,0)(2)设 M(x， y)， A， B 为过原点的直线 l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点，由圆的性质知： MC1 MO， 0.MC1 MO 5又 (3 x， y)， ( x， y)，MC1 MO x23 x y20.易知直线 l 的
13、斜率存在，故设直线 l 的方程为 y mx，当直线 l 与圆 C1相切时，圆心到直线 l 的距离 d 2，|3m 0|m2 1解得 m .255把相切时直线 l 的方程代入圆 C1的方程化简得9x230 x250，解得 x .53当直线 l 经过圆 C1的圆心时， M 的坐标为(3,0)又直线 l 与圆 C1交于 A， B 两点， M 为 AB 的中点， x3.53点 M 的轨迹 C 的方程为 x23 x y20，其中 x3，其轨迹为一段圆弧53C 级重难题目自主选做1已知 M(m， n)为圆 C： x2 y24 x14 y450 上任意一点(1)求 m2 n 的最大值；(2)求 的最大值和最
14、小值n 3m 2解：(1)因为 x2 y24 x14 y450 的圆心 C(2,7)，半径 r2 ，设 m2 n t，将2m2 n t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离 d 2 ，|2 27 t|12 22 2解得 162 t162 ，10 10所以 m2 n 的最大值为 162 .10(2)记点 Q(2,3)，因为 表示直线 MQ 的斜率 k，n 3m 2所以直线 MQ 的方程为 y3 k(x2)，即 kx y2 k30.6由直线 MQ 与圆 C 有公共点，得 2 .|2k 7 2k 3|1 k2 2可得 2 k2 ，3 3所以 的最大值为 2 ，最小值为 2 .n
15、 3m 2 3 32已知圆 C 的方程为 x2( y4) 21，直线 l 的方程为 2x y0，点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA， PB，切点为 A， B.(1)若 APB60，求点 P 的坐标；(2)求证：经过 A， P， C(其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为(0,4)，| PC|2，设 P(a，2 a)，则 2，解得 a2 或 a ，a2 2a 4 265所以点 P 的坐标为(2,4)或 .(65， 125)(2)证明：设 P(b,2b)，过点 A， P， C 的圆即是以 PC 为直径的圆，其方程为 x(x b)( y4)( y2 b)0，整理得 x2 y2 bx4 y2 by8 b0，即( x2 y24 y) b(x2 y8)0.由Error! 解得Error!或Error!所以该圆必经过定点(0,4)和 .(85， 165)
