1、1层级快练(五十一)1(2018广东清远一中月考)已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，给出下列命题：lm；lm；lm ；lm ，其中正确命题的序号是( )A BC D答案 D解析 中 l 与 m 可能相交、平行或异面；中结论正确；中两平面 ， 可能平行，也可能相交；中结论正确2设 a，b，c 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则 ab 的一个充分不必要条件是( )Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案 C解析 对于 C，在平面 内存在 cb，因为 a，所以 ac，故 ab；A，B 中，直线a，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出 ab.3(2018江西南昌
2、模拟)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC，那么 D 在平面ABC 内的射影 H 必在( )A直线 AB 上 B直线 BC 上C直线 AC 上 DABC 内部答案 A解析 由 ABAC，BDAC，又 ABBDB，则 AC平面 ABD，而 AC平面 ABC，则平面ABC平面 ABD，因此 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在平面 ABC 与平面 ABD 的交线 AB 上，故选 A.4设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a，b，且 ”的平面，( )A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对答案 D2解析 过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平
3、行时，两直线的公垂线与 b 确定的平面 与 垂直，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线，此垂线与 b 确定的平面 与 垂直故选 D.5(2018保定模拟)如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC答案 D解析 因 BCDF，DF平面 PDF，BC 平面 PDF，所以 BC平面 PDF，A 成立；易证 BC平面 PAE，BCDF，所以结论 B，C 均成立；点 P 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，不在中位线 DE 上，故结论 D 不
4、成立6.已知直线 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系中不正确的是( )APABC BBC平面 PACCACPB DPCBC答案 C解析 AB 为直径，C 为圆上异于 A，B 的一点，所以 ACBC.因为 PA平面 ABC，所以PABC.因为 PAACA，所以 BC平面 PAC，从而 PCBC.故选 C.7.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且
5、平面 ACD平面 BDE答案 C解析 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理，DEAC，由于 DEBEE，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.8.(2017沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC.则下列结论不正确的是( )ACD平面 PAF BDF平面 PAFCCF平面 PAB DCF平面 PAD3答案 D解析 A 中，CDAF，AF面 PAF，CD 面 PAF，CD平面 PAF 成立；B 中，ABCDEF为正六边形，D
6、FAF.又PA面 ABCDEF，DF平面 PAF 成立；C 中，CFAB，AB平面 PAB，CF平面 PAB，CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D.9(2018重庆秀山高级中学期中)如图，点 E 为矩形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿 AE 翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列说法中正确的有( )存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行；平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行；存在点 E 使得 SEBA.A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 A解析 若直线 SA平面 SBC，
7、则 SASC，又 SASE，SESCS，SA平面 SEC，又平面 SEC平面 SBCSC，点 S，E，B，C 共面，与已知矛盾，故错误；平面SBC直线 SAS，故平面 SBC 内的直线与 SA 相交或异面，故错误；在平面 ABCD 内作CFAE，交 AB 于点 F，由线面平行的判定定理，可得 CF平面 SAE，故正确；若SEBA，过点 S 作 SFAE 于点 F，平面 SAE平面 ABCE，平面 SAE平面ABCEAE，SF平面 ABCE，SFAB，又 SFSES，AB平面 SEC，ABAE，与BAE 是锐角矛盾，故错误10(2016课标全国)， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题
8、：如果 mn，m，n，那么 ；如果 m，n，那么 mn；如果 ，m，那么 m；如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为 ，ABCD所在的平面为4，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m知 ml，从而 mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确11.(2017泉州模拟)点 P 在正方体 A
9、BCDA 1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列命题：三棱锥 AD 1PC 的体积不变；A 1P平面 ACD1；DBBC 1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题序号是_答案 解析 对于，VAD 1PCVPAD 1C 点 P 到面 AD1C 的距离，即为线 BC1与面 AD1C 的距离，为定值故正确，对于，因为面 A1C1B面 AD1C，所以线 A1P面 AD1C，故正确，对于，DB 与 BC1就成 60角，故错对于，由于 B1D面 ACD1，所以面 B1DP面 ACD1，故正确12(2018山西太原一模)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，
10、将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为_答案 43解析 当平面 DAC平面 ABC 时，三棱锥 DABC 的体积取最大值此时易知 BC平面DAC，BCAD，又 ADDC，AD平面 BCD，ADBD，取 AB 的中点 O，易得OAOBOCOD1，故 O 为所求外接球的球心，故半径 r1，体积 Vr 3 .43 4313(2018辽宁大连双基测试)如图所示，ACB90，DA平面ABC，AEDB 交 DB 于 E，AFDC 交 DC 于 F，且 ADAB2，则三棱锥DAEF 体积的最大值为_答案 26解析 因为 DA平面 ABC
11、，所以 DABC，又 BCAC，DAACA，所以 BC平面 ADC，所以 BCAF，又 AFCD，BCCDC，所以 AF平面 DCB，所以 AFEF，AFDB，又DBAE，AEAFA，所以 DB平面 AEF，所以 DE 为三棱锥 DAEF 的高因为 AE 为等腰5直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE ，设 AFa，FEb，则AEF 的面积2S ab ，所以三棱锥 DAEF 的体积 V (当且仅当12 12 a2 b22 12 22 12 13 12 2 26ab1 时等号成立)14.(2018湖北宜昌模拟)在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，BC BB1，E，F，M 分别为 A1C1，A
12、B 1，BC 的中点2(1)求证：EF平面 BB1C1C；(2)求证：EF平面 AB1M.答案 (1)略 (2)略证明 (1)连接 A1B，BC 1.因为 E，F 分别为 A1C1，AB 1的中点，所以 F 为 A1B 的中点所以 EFBC 1.因为 BC1平面 BB1C1C，EF平面 BB1C1C，所以 EF平面 BB1C1C.(2)在矩形 BCC1B1，BC BB1，2所以 tanCBC 1 ，tanB 1MB .22 2所以 tanCBC 1tanB 1MB1.所以CBC 1B 1MB .所以 BC1B 1M. 2因为 EFBC 1，所以 EFB 1M.在正三棱柱 ABCA 1B1C1中
13、，底面 ABC平面 BB1C1C.因为 M 为 BC 的中点，ABAC，所以 AMBC.因为平面 ABC平面 BB1C1CBC，所以 AM平面 BB1C1C.因为 BC1平面 BB1C1C，所以 AMBC 1因为 EFBC 1，所以 EFAM.又因为 AMB 1MM，AM平面 AB1M，B 1M平面 AB1M，所以 EF平面 AB1M.15(2018广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD，且 PDAD2EC2，N 为线段 PB 的中点(1)证明：NEPD；(2)求三棱锥 EPBC 的体积答案 (1)略 (2)236解析 (1)证明：连接 AC
14、，与 BD 交于点 F，连接 NF，则 F 为 BD 的中点NFPD，且 NF PD.12又 ECPD 且 EC PD，12NFEC 且 NFEC.四边形 NFCE 为平行四边形，NEFC，即 NEAC.又PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPD.NEAC，NEPD.(2)解：PD平面 ABCD，PD平面 PDCE，平面 PDCE平面 ABCD.BCCD，平面 PDCE平面 ABCDCD，BC平面 ABCD，BC平面 PDCE.三棱锥 EPBC 的体积 VEPBC V BPEC SPEC BC ( 12)2 .13 13 12 2316(2018安徽马鞍山一模)如图，在直角梯形 ABC
15、D 中，ABBC，BCAD，AD2AB4，BC3，E 为 AD 的中点，EFBC，垂足为 F.沿 EF 将四边形ABFE 折起，连接 AD，AC，BC，得到如图所示的六面体 ABCDEF.若折起后 AB 的中点 M 到点 D 的距离为 3.(1)求证：平面 ABFE平面 CDEF；(2)求六面体 ABCDEF 的体积答案 (1)略 (2)83解析 (1)如图，取 EF 的中点 N，连接 MN，DN，MD.根据题意可知，四边形 ABFE 是边长为 2 的正方形，MNEF.由题意，得 DN ，MD3，DE2 EN2 5MN 2DN 22 2( )29MD 2，5MNDN，EFDNN，7MN平面 C
16、DEF.又 MN平面 ABFE，平面 ABFE平面 CDEF.(2)连接 CE，则 V 六面体 ABCDEFV 四棱锥 CABFE V 三棱锥 ACDE .由(1)的结论及 CFEF，AEEF 得，CF平面 ABFE，AE平面 CDEF，V 四棱锥 CABFE S 正方形 ABFECF ，13 43V 三棱锥 ACDE SCDE AE ，13 43V 六面体 ABCDEF .43 43 8317.(2018潍坊质检)直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，底面 ABCD 是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面 BB1C1C；(2)在 A1B1上是否存在一点 P，
17、使得 DP 与平面 BCB1和平面 ACB1都平行？证明你的结论答案 (1)略(2)P 为 A1B1的中点时，DP 与平面 BCB1和平面 ACB1都平行解析 (1)直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，BB 1平面 ABCD，BB 1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC ，CAB45.2BC .BC 2AC 2AB 2，BCAC.2又 BB1BCB，BB 1平面 BB1C1C，BC平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C.(2)存在点 P，P 为 A1B1的中点由 P 为 A1B1的中点，有 PB1AB，且 PB1 AB.12又DCAB，DC AB，12DCPB 1，且 D
18、CPB 1.DCB 1P 为平行四边形，从而 CB1DP.又 CB1平面 ACB1，DP平面 ACB1，DP平面 ACB1.同理，DP平面 BCB1.1(2017温州模拟)正方体 ABCDABCD中，E 为 AC的中点，则直线 CE 垂直于( )8AAC BBDCAD DAA答案 B解析 连接 BD，BDAC，BDCC，且 ACCCC，BD平面 CCE.而 CE平面 CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.2(2018四川成都检测)如图，在长方形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC 上(端点除外)一动点，现将AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABCF
19、.在平面 ABD内过点 D 作 DKAB，K 为垂足，设 AKt，则 t 的取值范围是( )A( ，2) B( ，1)12 12C( ，2) D( ，1)32 32答案 B解析 当点 F 与点 E 无限接近时，不妨令二者重合，可得 t1，当点 C 与点 F 无限接近时，不妨令二者重合，此时有 CD2，CBAB，CBDK，CB平面 ADB，即有 CBBD，对于 CD2，BC1，在直角三角形 CBD 中，得 BD ，3又 AD1，AB2，由勾股定理可得BDA 是直角，ADBD.由 DKAB，可得ADBAKD，可得 t ，12t 的取值范围是( ，1)，故选 B.123.如图所示，已知 PA矩形 A
20、BCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面 PCD.9答案 (1)略 (2)略证明 (1)连接 AC，PA平面 ABCD，PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC 中点AN PC.12PA平面 ABCD，PABC.又 BCAB，PAABA，BC平面 PAB，BCPB.从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，BN PC.ANBN，ABN 为等腰三角形12又 M 为底边的中点，MNAB，又 ABCD，MNCD.(2)PDA45，PAAD，APAD.ABCD 为矩形，ADBC，PABC.又M 为 AB 的中点，AMBM
21、.而PAMCBM90，PMCM，又 N 为 PC 的中点，MNPC.由(1)知 MNCD，PCCDC，MN平面 PCD.4(2018四川成都一诊)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD与 EF 交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且 .将AED，CFD，BEF 分别沿DGGH BRRHDE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图所示(1)求证：GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径答案 (1)略 (2)12解析 (1)依题意，得在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD 两两
22、垂直PD平面 PEF. ，即 ，在PDH 中，GRPD.DGGH BRRH DGGH PRRH10GR平面 PEF.(2)由题意知，PEPF2，PD4，EF2 ，DF2 .2 5S PEF 2，S DPF S DPE 4，SDEF 2 6.12 2 （ 25） 2 （ 2） 2设三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 VPDEF V DPEF 224 (SPEF 2S DPF S DEF )r，解得 r .13 12 13 12三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 .125.(2018河南郑州一中月考)如图所示，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点 M
23、 是棱 BB1上一点(1)求证：B 1D1平面 A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1平面 CC1D1D.答案 (1)略 (2)略 (3)略解析 (1)由 ABCDA 1B1C1D1是直四棱柱，得 BB1DD 1，且 BB1DD 1，所以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 B1D1BD.又 BD平面 A1BD，B 1D1平面 A1BD，所以 B1D1平面 A1BD.(2)因为 BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 BB1AC.因为 BDAC，且 BDBB 1B，所以 AC平面 BB1D1D.而 MD平面 BB1D1D，所以 MDAC.(2)当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D.证明如下：取 DC 的中点 N，D 1C1的中点 N1，连接 NN1交 DC1于点 O，连接 BN，OM，如图因为 N 是 DC 的中点，BDBC，所以 BNDC.因为 DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1的交线，而平面 ABCD平面 DCC1D1，所以 BN平面 DCC1D1.易得 O 是 NN1的中点，所以 BMON 且 BMON，所以四边形 BMON 是平行四边形，所以 BNOM，所以 OM平面 CC1D1D.1因为 OM平面 DMC1，所以平面 DMC1平面 CC1D1D.
