1、1课堂达标(九) 二次函数与幂函数A 基础巩固练1(2018吉林东北二模)已知幂函数 f(x) xn， n2，1,1,3的图象关于 y 轴对称，则下列选项正确的是( )A f(2) f(1) B f(2) f(1)C f(2) f(1) D f(2) f(1)解析 由于幂函数 f(x) xn的图象关于 y 轴对称，可知 f(x) xn为偶函数，所以n2，即 f(x) x2 ，则有 f(2) f(2) ， f(1) f(1)1，所以 f(2) f(1)14答案 B2幂函数 y xm24 m(mZ)的图象如图所示，则 m 的值为( )A0 B1C2 D3解析 y xm24 m(mZ)的图象与坐标轴
2、没有交点， m24 m0，即 0 m4，又函数的图象关于 y 轴对称，且 mZ， m24 m 为偶数，因此 m2.答案 C3设函数 f(x) x223 x60， g(x) f(x)| f(x)|，则 g(1) g(2) g(20)( )A56 B112 C0 D38解析 由二次函数图象的性质得，当 3 x20 时， f(x)| f(x)|0， g(1) g(2) g(20) g(1) g(2)112.答案 B4已知函数 f(x) x ，若 0 a b1，则下列各式中正确的是( )12A f(a) f(b) f f B f f f(b) f(a)(1a) (1b) (1a) (1b)C f(a)
3、 f(b) f f D f f(a) f f(b)(1b) (1a) (1a) (1b)解析 因为函数 f(x) x 在(0，)上是增函数，又 0 a b ，故 f(a)12 1b 1a2 f(b) f f .(1b) (1a)答案 C5(2018吉林松原调研)设函数 f(x) x2 x a(a0)，已知 f(m)0，则( )A f(m1)0 B f(m1)0C f(m1)0 D f(m1)0解析 f(x)的对称轴为 x ， f(0) a0，12 f(x)的大致图象如图所示由 f(m)0，得1 m0， m10， f(m1) f(0)0.答案 C6(2018安徽皖北片高三第一次联考)已知函数 f
4、(x) x22 ax1 a 在区间0,1上的最大值为 2，则 a 的值为( )A2 B1 或3C2 或3 D1 或 2解析 函数 f(x) x22 ax1 a 的对称轴为 x a，图象开口向下，当 a0 时，函数 f(x) x22 ax1 a 在区间0,1是减函数， fmax(x) f(0)1 a，由 1 a2，得 a1，当 0 a1 时，函数 f(x) x22 ax1 a 在区间0， a是增函数，在 a,1上是减函数， fmax(x) f(a) a22 a21 a a2 a1，由 a2 a12，解得 a 或 a ，1 52 1 520 a1，两个值都不满足；当 a1 时，函数 f(x) x2
5、2 ax1 a 在区间0,1是增函数， fmax(x) f(1)12 a1 a a， a2.综上可知， a1 或 a2.故选：D.3答案 D7当 0 x1 时，函数 f(x) x1.1， g(x) x0.9， h(x) x2 的大小关系是 _ .解析 如图所示为函数 f(x)， g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知， h(x) g(x) f(x)答案 h(x) g(x) f(x)8对于任意实数 x，函数 f(x)(5 a)x26 x a5 恒为正值，则 a 的取值范围是 _ .解析 由题意可得Error!解得4 a4.答案 (4,4)9(2018长沙模拟)若函数 f(x) x23
6、x4 的定义域为0， m，值域为 ，254， 4则 m 的取值范围是_解析 函数 f(x)图象的对称轴为 x ，且 f ， f(3) f(0)4，由二次32 (32) 254函数的图象知 m 的取值范围为 .32， 3答案 32， 310已知函数 f(x) ax22 ax2 b(a0)，若 f(x)在区间2,3上有最大值 5，最小值 2.(1)求 a， b 的值；(2)若 b1， g(x) f(x) mx 在2,4上单调，求 m 的取值范围解 (1) f(x) a(x1) 22 b a.当 a0 时， f(x)在2,3上为增函数，故Error! Error!Error!当 a0 时， f(x)
7、在2,3上为减函数，故Error! Error!Error!(2) b1， a1， b0，即 f(x) x22 x2.g(x) x22 x2 mx x2(2 m)x2， g(x)在2,4上单调， 2 或 4.2 m2 m 224 m2 或 m6.故 m 的取值范围为(，26，)B 能力提升练1已知 f(x)32| x|， g(x) x22 x， F(x)Error!则 F(x)的最值情况为( )A最大值为 3，最小值为1B最大值为 72 ，无最小值7C最大值为 3，无最小值D既无最大值，又无最小值解析 作出 F(x)的图象，如图实线部分由图象知 F(x)有最大值无最小值，且最大值不是 3. 答
8、案 B2关于 x 的二次方程( m3) x24 mx2 m10 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数 m 的取值范围是( )A3 m0 B0 m3C m3 或 m0 D m0 或 m3解析 由题意知Error!由得3 m0，故选 A.答案 A3若函数 f(x) x2 a|x1|在0，)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _ .解析 f(x)Error!x1，)时， f(x) x2 ax a 2 a ， x(，1)时，(xa2) a24f(x) x2 ax a 2 a .(xa2) a24当 1，即 a2 时， f(x)在 上单调递减，a2 1， a2)在 上单调递增，不合题意；(a2
9、， )当 0 1，即 0 a2 时，符合题意；a25当 0，即 a0 时，不符合题意，a2综上， a 的取值范围是0,2答案 0,24设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在x a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在 a， b上是“关联函数” ，区间 a， b称为“关联区间” 若 f(x) x23 x4 与 g(x)2 x m 在0,3上是“关联函数” ，则 m 的取值范围是 _ .解析 由题意知， y f(x) g(x) x25 x4 m 在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 y m 与 y x25 x
10、4( x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当 x2,3时， y x25 x4 ，故当 m 时，94， 2 ( 94， 2函数 y m 与 y x25 x4( x0,3)的图象有两个交点答案 (94， 25已知函数 f(x) ax22 x1.(1)试讨论函数 f(x)的单调性(2)若 a1，且 f(x)在1,3上的最大值为 M(a)，最小值为 N(a)，令 g(a) M(a)13 N(a)，求 g(a)的表达式(3)在(2)的条件下，求证： g(a) .12解 (1)当 a0 时，函数 f(x)2 x1 在(，)上为减函数；当 a0 时，抛物线 f(x) ax22 x1 开口向上，对称轴为
11、x ，所以函数 f(x)在 上为减函数，在 上为增函数；1a ( ， 1a 1a， )当 a0 时，抛物线 f(x) ax22 x1 开口向下，对称轴为 x ，所以函数 f(x)在1a上为增函数，在 上为减函数( ，1a 1a， )6(2)因为 f(x) a 21 ，(x1a) 1a由 a1 得 1 3，13 1a所以 N(a) f 1 .(1a) 1a当 1 2，即 a1 时，1a 12M(a) f(3)9 a5，故 g(a)9 a 6；1a当 2 3，即 a 时， M(a) f(1) a1，1a 13 12故 g(a) a 2.1a所以 g(a)(3)证明：当 a 时 g( a)1 0，1
12、3， 12 1a2所以函数 g(x)在 上为减函数；13， 12当 a 时， g( a)9 0，(12， 1 1a2所以函数 g(a)在 上为增函数，(12， 1所以当 a 时， g(a)取最小值，12g(a)min g .故 g(a) .(12) 12 12C 尖子生专练(2018浙江瑞安四校联考)已知函数 f(x) x21， g(x) a|x1|.(1)若当 xR 时，不等式 f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)求函数 h(x)| f(x)| g(x)在区间0,2上的最大值解 (1)不等式 f(x) g(x)对 xR 恒成立，即 x21 a|x1|(*)对 xR 恒成立
13、当 x1 时，(*)显然成立，此时 aR；当 x1 时，(*)可变形为 a ，x2 1|x 1|7令 (x) Error!x2 1|x 1|因为当 x1 时， (x)2，当 x1 时， (x)2，所以 (x)2，故此时 a2.综合，得所求实数 a 的取值范围是(，2(2)h(x)Error!当 0 时，即 a0，a2( x2 ax a1) max h(0) a1，(x2 ax a1) max h(2) a3.此时， h(x)max a3.当 0 1 时，a2即2 a0，( x2 ax a1) max h a1，(a2) a24(x2 ax a1) max h(2) a3.此时 h(x)max a3.当 1 2 时，即4 a2，a2( x2 ax a1) max h(1)0，(x2 ax a1) maxmax h(1)，h(2)max0,3 aError!此时 h(x)maxError!当 2 时，即 a4，a2( x2 ax a1) max h(1)0，(x2 ax a1) max h(1)0.此时 h(x)max0.综上： h(x)maxError!
